数学选择性必修 第一册1.3 等比数列学案

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 等比数列学案，共7页。

(2)理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
(3)理解与等比数列的前n项和有关的性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，前n项和为Sn ，
当q＝1时，Sn＝________；
当q≠1时，Sn＝＝.
要点二 等比数列前n项和的性质
1．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn❷，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
2．等比数列的项数为2n项时，＝________；项数为2n＋1项时，＝________．
批注❶ (1)当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
批注❷ 当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．( )
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．( )
2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于( )
A．93 B．－93 C．45 D．－45
3．若等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．－1
4．Sn为等比数列{an}的前n项和，且a3＝3，S2＝6，则a5的值为( )
A． B．3或12 C．3或 D．12或
5．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 等比数列前n项和的基本运算
例1 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
方法归纳
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，由等比数列的通项公式和求和公式，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
巩固训练1 (1)已知公比不为1的等比数列{an}，其前n项和为Sn，＝5，则＝( )
A．2 B．4
C．5 D．25
(2)[2022·湖南娄星高二期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，则S8＝________．
题型2 等比数列前n项和性质的应用
例2 (1)等比数列{an}前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为________；
(2)已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．
方法归纳
解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．
巩固训练2 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B．
C． D．3
(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，且前3项之积为64，求该数列的通项公式．
题型3 等比数列前n项和公式的实际应用
例3 [2022·湖南长沙一中高二期中]政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款，一位大学毕业生想自主创业，经过市场调研，测算，有两个方案可供选择．
方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年获得比上一年增加25%；
方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加获利1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算(参考数据：1.259＝7.45，1.2510＝9.3，1.029＝1.20，1.0210＝1.22)
(1)10年后，方案1，方案2的总获利分别有多少万元？
(2)10年后，哪一种方案的利润较大？(利润＝总获利－贷款－贷款总利息)
方法归纳
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
巩固训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
易错辨析 忽略对公比q的讨论致误
例4 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________．
解析：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意，此时a3＝a1＝2.
若q≠1时，则 S3＝＝＝6，
解得q＝－2，此时a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上a3的值为2或8.
答案：2或8
【易错警示】
1．3.3 等比数列的前n项和
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
na1
要点二
2．q q
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：S5＝＝＝93.
答案：A
3．解析：∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，
a3＝S3－S2＝18.
由a1·a3＝得(3＋a)·18＝62，
∴a＝－1.
答案：D
4．解析：设公比为q，则解得q＝－或q＝1，故a5＝a3q2＝或a5＝3.
答案：C
5．解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，
解得a1＝192.
答案：192
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝
(2)方法一 由题意知
解得从而S5＝＝.
方法二 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
巩固训练1 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
则＝＝＝1＋q2＝5，所以q2＝4，
则＝＝q2＝4.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，
∴，
解得a1＝1，q＝2，
∴S8＝＝255.
答案：(1)B (2)255
例2 解析：(1)设等比数列{an}的前3n项的和为S，因为S2n＝60，所以q≠－1，则54，60－54，S－60成等比数列，所以54×(S－60)＝(60－54)2，解得S＝60.
(2)设该等比数列为{an}，公比为q，项数为n，由题意得：＝＝q＝＝2，Sn＝＝2n－1＝85＋170＝255，则2n＝256，n＝8，所以数列的公比为2，项数为8.
答案：(1)60 (2)2 8
巩固训练2 解析：(1)方法一 设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.
方法二 由＝3，得S6＝3S3.
设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3，所以＝.
(2)设该数列的首项为a1，公比为q，奇数项之和、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵该数列的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式an＝12·.
答案：(1)B (2)见解析
例3 解析：(1)方案1是等比数列，方案2是等差数列，
①方案1，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，即4万元，
获利：4[1＋(1＋25%)＋(1＋25%)2＋…＋(1＋25%)9]＝4×＝132.8(万元)，
方案2，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，即3万元，
获利：3＋(3＋1.5)＋(3＋2×1.5)＋…＋(3＋9×1.5)，
＝10×3＋×1.5＝97.50(万元)；
(2)方案1，银行贷款本息：40(1＋2%)10≈48.8(万元)，
故方案1纯利：132.8－48.8＝84(万元)．
方案2，银行贷款本息：20(1＋2%)10≈24.4(万元)，
故方案2纯利：97.50－24.4＝73.1(万元)．
∴方案1的利润较大．
巩固训练3 解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度．
由题意，得an＋1＝an.
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．
出错原因
纠错心得
忽略了对公比q的讨论，直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而漏解致误．
解答有关等比数列求和问题时，应考虑公比q两种情况q＝1或q≠1，否则容易出错．