高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.3 两条直线的位置关系学案设计

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.3 两条直线的位置关系学案设计，共6页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)能判断两条直线是否相交并求出交点坐标．
(2)体会两条直线相交与二元一次方程组的联系．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 两条直线的交点
设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点．
要点二 两条直线的位置关系
批注❶ (1)判断l1与l2相交还可以用A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)来判断．
(2)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条直线不相交就平行．( )
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )
(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解.( )
(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解．( )
2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1)
C．(1，2) D．(2，1)
3．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
4．下列直线中，与直线2x－y－3＝0相交的直线是( )
A．2x－y＋6＝0 B．y＝2x
C．y＝2x＋5 D．y＝－2x＋3
5．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 判断两条直线的位置关系
例1 是否存在实数a，使三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能围成一个三角形？请说明理由．
方法归纳
分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行(且都不重合)，且三条直线不相交于同一点．
巩固训练1 (多选)若三条直线2x－y＝0，x＋4y－3＝0，ax＋y＋1＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为( )
A．－2 B． C．－5 D．
题型2 由交点坐标求参数或范围
例2 (1)若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为( )
A．－2 B．－
C．3 D．
(2)已知直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为( )
A．k<－ B．0C．－0
方法归纳
两条直线相交的3种判定方法
巩固训练2 (1)若方程组有且只有一组解，则k的取值范围是________；
(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k＝________．
题型3 过两条直线交点的直线系方程
例3 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
变式探究 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
方法归纳
求过两条直线交点的直线方程的2种方法
巩固训练3 直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
易错辨析 求点的坐标时因位置关系不清而致误
例4 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A(－1，－2)，B(3，1)，C(0，2)，求这个平行四边形第四个顶点D的坐标．
解析：设第四个顶点D的坐标为(x，y)．
(1)若四边形ABCD是平行四边形，
则解得
所以点D的坐标为(－4，－1)．
(2)若四边形ABDC是平行四边形，
则解得
所以点D的坐标为(4，5)．
(3)若四边形ACBD是平行四边形，
则解得
所以点D的坐标为(2，－3)．
综上所述，这个平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．
【易错警示】
2．3.2 两条直线的交点坐标
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
平行 重合
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：由得交点坐标为(1，2)，故选C.
答案：C
3．解析：解方程组得故两条直线的交点坐标为(2，3)．
答案：B
4．解析：因为直线2x－y－3＝0的斜率为2，而A，B，C的直线的斜率都是2，所以这些直线都与直线2x－y－3＝0平行．
答案：D
5．解析：由题意得6a－12≠0，即a≠2.
答案：a≠2
题型探究·课堂解透
例1 解析：①对于l1与l2，当－a＝－，即a＝±1时，l1与l2平行或重合．②对于l1与l3，当－a＝－1，即a＝1时，l1与l2重合．③对于l2与l3，当－＝－1，即a＝1时，l2与l3重合．④当l1与l2，l3相交于同一点时，由得l2与l3的交点(－1－a，1)，将其代入l1：ax＋y＋1＝0中，得a＝－2或a＝1.故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．
巩固训练1 解析：当ax＋y＋1＝0与2x－y＝0平行时，a＝－2此时符合题意；当ax＋y＋1＝0与x＋4y－3＝0平行时，a＝此时符合题意；由可得，所以直线2x－y＝0与x＋4y－3＝0交点坐标为()，将()代入ax＋y＋1＝0，可得a＋＋1＝0，可得a＝－5，综上所述，实数a的取值可能为－2，，－5.
答案：ABC
例2 解析：(1)联立得，
把代入2x＋ky＋8＝0得k＝3.
(2)因为直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0相交，
∴≠，即k≠，
联立，解得，
又直线l与m的交点在第一象限，
∴，解得k<－.
答案：(1)C (2)A
巩固训练2 解析：(1)当直线kx－y＝0与y＝3x＋12平行时，由＝3可得k＝2，此时两直线不重合，方程组无解．故当方程组有且只有一组解时，k≠2.
(2)在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝，将(0，)代入x－ky＋12＝0中，解得k＝±6.
答案：(1)k≠2 (2)±6
例3 解析：方法一 解方程组
得所以两直线的交点坐标为(－，－)．
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有得λ＝，代入(*)式得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.
变式探究 解析：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
巩固训练3 解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.
答案：B方程组的解的情况
一组解
无解
无数组解
直线l1，l2的公共点个数
一个
零个
无数个
直线l1，l2的位置关系
相交❶
________
________
出错原因
纠错心得
误认为ABCD是平行四边形，考虑不全面而漏解
考虑问题时，弄清平行四边形顶点的顺序，本题除了平行四边形ABCD外，还有平行四边形ABDC，平行四边形ACBD.