高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆学案，共9页。

(2)会求椭圆的离心率以及判断直线与椭圆的位置关系．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 椭圆的简单几何性质
批注❶ 离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
(3)椭圆＝1的离心率e＝.( )
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±)．( )
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
3．椭圆＝1的短轴长为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
4．下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1 焦点在x轴上的椭圆的方程为＝1，点P(，1)在椭圆上．
(1)求m的值；
(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．
方法归纳
在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合．
巩固训练1 求椭圆x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
题型2 根据椭圆几何性质求其标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
方法归纳
已知椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤
巩固训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________；
(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________.
题型3 求椭圆的离心率
例3 (1)[2022·湖南株洲测试]如图为学生做手工时画的椭圆C1、C2、C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1、e2、e3，则( )
A．e1＝e2＜e3 B．e2＝e3＜e1
C．e1＝e2＞e3 D．e2＝e3＞e1
(2)已知椭圆C的中心为O，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，右顶点为B，且|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列，则椭圆C的离心率为________.
方法归纳
求椭圆离心率(或范围)的2种常用方法
巩固训练3 (1)[2022·湖南常德市淮阳中学测试]已知椭圆C：＝1(a＞0)的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)已知F是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，若△POF为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
题型4 直线与椭圆的位置关系
例4 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
方法归纳
直线与椭圆位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0，椭圆C：F(x，y)＝0，
由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
Δ＞0⇔直线l与椭圆C有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l与椭圆C有一个公共点；
Δ＜0⇔直线l与椭圆C没有公共点．
巩固训练4 (1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
(2)判断直线y＝2x－2与椭圆＝1是否有公共点，如有，求出公共点的坐标．
易错辨析 忽视隐含条件致错
例5 若直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)
答案：[1，5)
【易错警示】
3．1.2 椭圆的简单几何性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
－a a －b b －a a －b b x y (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
答案：D
3．解析：b2＝16，所以b＝4，所以短轴长为2b＝8.
答案：B
4．解析：由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足＜＜＜，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆＝1的离心率最大，故其形状最扁．
答案：A
5．解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆方程是＝1.
答案：＝1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上，代入，
得＝1，解得m＝2.
(2)由(1)知，椭圆方程为＝1，则a＝2，b＝，c＝，
椭圆的长轴长2a＝4；
短轴长2b＝2；
焦距2c＝2；
离心率e＝＝.
巩固训练1 解析：因为椭圆x2＋9y2＝36的标准方程为＝1，所以a＝6，b＝2，c＝＝4，
故长轴长为12，短轴长为4，焦点坐标为(4，0)，(－4，0)、顶点坐标为(6，0)，(－6，0)，(0，2)，(0，－2)和离心率为.
例2 解析：(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，
由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，
∴c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＝1.
解析：(3)方法一 由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＝1或＝1.
方法二 设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.
巩固训练2 解析：(1)由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)由2a＝18，得a＝9.
又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
解析：(3)因为椭圆的长轴长是6，cs ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＝1或＝1.
答案：(1)B (2)＝1 (3)＝1或＝1
例3 解析：(1)由图知椭圆C1的半长轴和半短轴分别为a＝2，b＝1.5，
椭圆C2的半长轴和半短轴分别为a＝4，b＝2，
椭圆C3的半长轴和半短轴分别为a＝6，b＝3，
所以e1＝＝＝＝＝，
e2＝＝＝ ＝ ＝，
e3＝＝＝ ＝ ＝，
所以e2＝e3＞e1.
(2)设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，
则|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，
由题设可得b2＝ac及b2＝a2－c2可得c2＋ac－a2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝，而e∈(0，1)，
所以椭圆的离心率为e＝.
答案：(1)D (2)
巩固训练3 解析：(1)根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，
所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，
所以椭圆C的离心率为e＝＝.
(2)根据题意，取点P为第一象限的点，过点P作OF的垂线，垂足为H，如图所示：
因为△OPF为等边三角形，又F(c，0)，
故可得|OH|＝cs 60°×c＝，|PH|＝sin 60°×c＝c，
则点P的坐标为(c)，代入椭圆方程可得：＝1，
又b2＝a2－c2，整理得：e2＋＝4，
即e2＝4－2，解得e＝1－(舍)或e＝－1.
答案：(1)C (2)－1
例4 解析：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．综上可得
当－3＜m＜3时，直线l与椭圆有两个公共点；
当m＝－3或m＝3时，直线l与椭圆有一个公共点；
当m＜－3或m＞3时，直线l与椭圆没有公共点．
巩固训练4 解析：(1)把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程组，
解方程组可得或，
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为(0，－2)，()．
答案：(1)C (2)见解析标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
范围
____≤x≤____，____≤y≤____
____≤y≤____，____≤x≤____
对称性
关于____轴、____轴对称，关于原点对称
顶点坐标
A1______，A2____，B1____，B2____
A1____，A2____，B1____，B2____
轴长
长轴长|A1A2|＝____，短轴长|B1B2|＝____
离心率
e＝(0出错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞)．
注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况．