选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案

这是一份选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案，共9页。

(1)掌握双曲线的定义及其应用．
(2)掌握双曲线的标准方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 双曲线的定义
平面上到两个定点F1，F2的__________________________为正常数(小于|F1F2|❶)点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的________．
用集合语言描述双曲线的定义：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|}．
要点二 双曲线的标准方程
批注❶ 若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
批注❷ 焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．( )
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．( )
(4)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．( )
2．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C.两条射线 D．一条射线
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.＝1
B.＝1
C.＝1或＝1
D.＝0或＝0
4．双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(±，0) B．(0，±2)
C.(0，±) D．(±2，0)
5．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 双曲线定义的应用
例1 (1)[2022·湖南怀化测试]已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．＝1(x≤－)
B．＝1(x≥)
C．＝1
D．＝1
(2)设点P在双曲线＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于( )
A．22 B．16
C．14 D．12
方法归纳
应用双曲线定义的3种策略
巩固训练1 (1)已知在△ABC中，C(－2，0)，B(2，0)，sin B－sin C＝sin A，则顶点A的轨迹方程为________；
(2)已知F1，F2为双曲线＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，满足|PF1|＝2|PF2|，求△PF1F2的面积为________．
题型2 双曲线方程的判断
例2 (1)(多选)设θ∈(－，0)，π)，则关于x，y的方程＝1所表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
(2)已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2方法归纳
1．判断双曲线的类型首先要将方程化为标准方程．
2．若方程为＝1(mn≠0)，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若，则双曲线的焦点在y轴上．
巩固训练2 (1)(多选)关于x，y的方程＝1(其中m2≠6)表示的曲线可能是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．长轴长为4的椭圆
(2)若方程＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
题型3 求双曲线的标准方程
例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
方法归纳
求双曲线标准方程的2种方法
巩固训练3 (1)已知双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2022·湖南石门测试]与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2，1)的双曲线方程是( )
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．x2－＝1
题型4 双曲线中的焦点三角形问题(数学探究)
例4 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
方法归纳
求双曲线中的焦点三角形面积的步骤
巩固训练4 如图，已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝＝12，则双曲线的标准方程为________．
易错辨析 忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值致错
例5 若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝13或1，
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去．
答案：13
【易错警示】
3．2 双曲线
3．2.1 双曲线的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
距离之差的绝对值 焦距
要点二
(－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) a2＋b2
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
答案：D
3．解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
答案：C
4．解析：由双曲线的标准方程－y2＝1知，a2＝3，b2＝1，c2＝3＋1＝4，则c＝±2.
因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±2，0)．
答案：D
5．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.
答案：22或2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设动圆M的半径为r，又圆C1与圆C2的半径均为，
则由已知得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又点C1(－4，0)，C2(4，0)，
则|C1C2|＝8，所以2＜|C1C2|，
根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
于是点M的轨迹方程为＝1(x≥)．
解析：(2)由题意知|F1F2|＝2＝10，由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，
∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为：3＋9＋10＝22.
答案：(1)B (2)A
巩固训练1 解析：(1)由正弦定理及sin B－sin C＝sin A，得|AC|－|AB|＝|BC|<|BC|，
由双曲线的定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3，
∴顶点A的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
(2)由题意得|PF1|＝2|PF2|，
又|PF1|－|PF2|＝4，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝4，又|F1F2|＝4，
∴|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
∴∠F1F2P＝，
＝·|PF2|·|F1F2|＝×4×4＝8.
答案：(1)x2－＝1(x>1) (2)8
例2 解析：(1)当θ∈(－，0)时，sin θ<0，cs θ>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确．
当θ∈(，π)时，sin θ>0，cs θ<0，则方程表示的曲线是在x轴上的双曲线，B正确．
(2)∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即或
解得k>5或－2答案：(1)AB (2)B
巩固训练2 解析：(1)m2＋2－(6－m2)＝2(m2－2)，
当m＝±时，m2＋2＝6－m2＝4，此时＝1表示圆，故B正确．
当－＜m＜，则6－m2＞m2＋2＞0，
故＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
若此时长轴长为4，则6－m2＝8即m2＝－2，矛盾，故D错误．
若m＜－或m＞，则6－m2＜0，
故＝1表示焦点在x轴上的双曲线，故A错误，C正确．
若－＜m＜－或＜m＜，则m2＋2＞6－m2＞0，
故方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
若长轴长为4，则m2＋2＝8即m＝±，矛盾，故D错误．
解析：(2)由题意知解得－3答案：(1)BC (2)A
例3 解析：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为＝1.
(2)方法一 ∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①
∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1. ②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1.
方法二 设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为＝1.
解析：(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为＝1.
巩固训练3 解析：(1)因为双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，所以c＝5，a＝3；
∴b2＝c2－a2＝16.
∴该双曲线的标准方程是＝1.
(2)由椭圆方程可得焦点坐标为(±，0)，设与其共焦点的双曲线方程为＝1(0＜m＜3)，
双曲线过点Q(2，1)，则＝1，整理可得m2－8m＋12＝0，
结合0＜m＜3可得m＝2，则双曲线方程为－y2＝1.
答案：(1)A (2)A
例4 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝4，
在△F1PF2中，由余弦定理，
cs ∠F1PF2＝
＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
答案：2
巩固训练4 解析：由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs 60°＝
＝
＝＝，
整理得|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，
所以＝|PF1||PF2|sin 60°＝2b2·＝b2，
因为＝12，可得b2＝12，解得b2＝12，
又由c＝2a，且c2＝a2＋b2，可得a2＝4，
所以双曲线的标准方程为＝1.
答案：＝1焦点在x轴上
焦点在y轴上❷
标准方程
＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1______，F2______
F1______，F2______
a，b，c的关系
c2＝________
出错原因
纠错心得
由双曲线定义求得错解|PF2|＝1或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a＝2.
利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时，若有两解，一定要检验解是否满足|PF|≥c－a.