湘教版（2019）选择性必修 第一册4.1 两个计数原理导学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册4.1 两个计数原理导学案，共7页。

通过实例，了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 分类加法计数原理❶
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(也称“加法原理”)
要点二 分步乘法计数原理❷
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(也称“乘法原理”)
批注❶ 确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法是不同的方法，也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.
批注❷ 根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同. ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事. ( )
(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．( )
(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有( )
A．3种 B．4种
C．7种 D．12种
3．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( )
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为( )
A．10个 B．6个
C．8个 D．9个
5．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 分类加法计数原理的应用
例1 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
方法归纳
利用分类加法计数原理解题的一般步骤
巩固训练1 (1)一项工作可以用两种方法完成，有3人会用第1种方法完成，有5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同的选法种数是( )
A．8 B．15
C．16 D．30
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．
题型2 分步乘法计数原理的应用
例2 用0，1，2，3，4这五个数字
(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个四位密码？
方法归纳
(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，做到不重不漏．
巩固训练2 (1)[2022·湖南测试]某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有________种；
(2)如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
题型3 两个计数原理的综合应用
例3 现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
方法归纳
使用两个原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
巩固训练3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
易错辨析 分类标准不清致误
例4 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，问有多少种不同的冠军获得情况？
解析：可先举例说出其中的1种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．
第1步，产生数学学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；
第2步，产生物理学科冠军，因为夺得数学学科冠军的同学还可以去争夺物理学科冠军，所以物理学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；
第3步，产生化学学科冠军，同理，也有4种不同的获得情况．
由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4＝43＝64(种)．
【易错警示】
第4章 计数原理
4．1 两个计数原理
4．1.1 分类加法计数原理
4．1.2 分步乘法计数原理
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
m1＋m2＋…＋mn
要点二
m1×m2×…×mn
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．
答案：C
3．解析：分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种)．
答案：C
4．解析：因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
答案：D
5．解析：不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．
答案：16
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
方法二 按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
巩固训练1 解析：(1)第1类，从会第1种方法的3人中选1人，有3种不同的选法；第2类，从会第2种方法的5人中选1人，有5种不同的选法，共有5＋3＝8(种)不同的选法．
(2)有三类不同方案：
第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；
第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；
第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
答案：(1)A (2)15
例2 解析：(1)直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：
第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．
由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
间接法：将5个数字不重复排在4个位置上有5×4×3×2＝120种排法，其中不合要求的有4×3×2＝24种排法．所以排成无重复数字的四位数为120－24＝96个．
解析：(2)完成“组成四位密码”这件事，可以分为四步：
第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有5种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有5种选取方法．
由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×5×5×5＝625个．
巩固训练2 解析：(1)每位上的数字有10个数字可选，由乘法原理总共有106种．
(2)按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，
第一步，m1＝3种，
第二步，m2＝2种，
第三步，m3＝1种，
第四步，m4＝1种，
所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N＝3×2×1×1＝6种．
答案：(1)106 (2)见解析
例3 解析：(1)分四类：第1类，从一班学生中选1人，有7种选法；第2类，从二班学生中选1人，有8种选法；第3类，从三班学生中选1人，有9种选法；第4类，从四班学生中选1人，有10种选法．
由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步：第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．
由分步乘法计数原理知共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
巩固训练3 解析：(1)分为三类：
从国画中选，有5种不同的选法；
从油画中选，有2种不同的选法；
从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法；
(2)分为三步：
第一步从国画中选，有5种不同的选法；
第二步从油画中选，有2种不同的选法；
第三步从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)分为三类：
第一类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自油画，有2种不同的选法；
由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，
由分步乘法计数原理知，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，有2种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，
由分步乘法计数原理知，有2×7＝14(种)不同的选法，
所以根据分类加法计数原理，共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．出错原因
纠错心得
错解：分四步完成这件事．
第1步，甲同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况．
由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有3×3×3×3＝34＝81(种)．
要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”．但错解中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．
用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．