新教材2023版高中数学第4章计数原理4.3组合学案湘教版选择性必修第一册

4.3　组合最新课程标准(1)通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式．(2)能解决简单的实际问题．新知初探·课前预习——突出基础性教 材 要 点要点一　组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序❶地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．要点二　组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数❷，用符号Cnm表示．要点三　组合数公式及其性质1Cnm＝AnmAmm＝________＝________．2Cn0＝1；Cnm＝________；Cn+1m＝________．批注❶　取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求．批注❷　从集合的角度理解组合数的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}，则组合数即为集合A的元素个数．基 础 自 测1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C32.(　　)(2)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　　)(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫作“从3个不同元素中取出2个的组合数”．(　　)(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　　)2．(多选)下列问题中是组合问题的是(　　)A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？D．3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？3．若Cn2＝28，则n＝(　　)A．9　　　B．8 C．7　　　D．64．学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为(　　)A．5　　　B．12 C．20　　　D．1205．现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为________．　　题型探究·课堂解透——强化创新性题型1　与组合数公式相关的计算例1　(1)若Cn10＝Cn8，则C20n＝(　　)A．380　　 B．190C．18　 D．9(2)化简：Cm9-Cm+19 +Cm8＝________；(3)已知Cn+17-Cn7＝Cn8，则n＝________．方法归纳进行组合数的相关计算时，注意以下几点：(1)像排列数公式一样，公式Cnm＝nn-1n-2…n-m+1m！一般用于计算，而公式Cnm＝n！m！n-m！及Cnm＝AnmAmm一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)当m>n2时计算Cnm，用性质Cnm＝Cnn-m转化，减少计算量．巩固训练1　1C62+C75的值为(　　)A．72　　　B．36 C．30　　　D．42(2)已知C12x-2＝C122x-4，则x的值是(　　)A．2　　　 B．6 C．12　　　 D．2或6(3)计算：C9997+C9998 +C10099＝________．题型2　组合问题例2　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．方法归纳组合问题常有的两种题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．巩固训练2　(1)某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有(　　)A.C95种　B.A73种 C.C73种　D.C75种(2)[2022·湖南雅礼中学]从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)题型3　分组与分配问题例3　6本不同的书，按下列要求分组或分配，求各有多少种不同的分法．(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)平均分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；(5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人得1本；(7)分给甲、乙、丙三人，甲1本，乙2本，丙3本；(8)甲3本，另外两人中有1人1本，1人2本．方法归纳1．分组问题注意以下几点：(1)整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)不等分问题，解题时需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(4)分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．2．解决分组与分配问题的步骤：第一，要弄清分配问题与分组问题的不同．把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题．第二，解决分配问题，应先分组再分配．巩固训练3　(1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)A. 120种 B. 90种C. 60种 D. 30种(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．易错辨析　忽略元素无序，造成计数重复例4　5本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________．解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整体，有C52种方法．第2步，把4堆书分给4名同学，有A44种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分法种数为C52 ·A44＝240.答案：240【易错警示】4．3　组合新知初探·课前预习[教材要点]要点三(1)nn-1·…·n-m+1m！　n！m！n-m！(2)Cnn-m　Cnm +Cnm－1[基础自测]1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：AC与顺序有关，是排列问题；BD与顺序无关，是组合问题．答案：BD3．解析：Cn2＝nn-12＝28，解得n＝8.答案：B4．解析：从物理和历史中任选1科，有C21＝2种，然后从其他4科中任选2科，有C42＝6种，共有2×6＝12种．答案：B5．解析：由题意得，不同选法的种数为C62＝15.答案：15题型探究·课堂解透例1　解析：1∵Cn10＝Cn8，∴n＝18，∴C20n＝C2018＝C202＝20×192×1＝190.(2)原式＝Cm9+Cm8－Cm+19＝Cm+19 -Cm＋19＝0.(3)根据题意，Cn+17-Cn7＝Cn8，变形可得Cn+17＝Cn8 +Cn7，由组合数的性质，可得Cn+17＝Cn+18，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.答案：(1)B　(2)0　(3)14巩固训练1　解析：1C62+C75＝C62 +C72＝15＋21＝36.(2)由题可得0≤x-2≤120≤2x-4≤12，解得2≤x≤8，结合组合数性质Cnm＝Cnn-m可得x－2＝2x－4或(x－2)＋(2x－4)＝12，解得x＝2或x＝6.3C9997+C9998+C10099＝C10098 +C10099＝C10199＝C1012＝101×1002×1＝5 050.答案：(1)B　(2)D　(3)5 050例2　解析：(1)一名女生，四名男生，故共有C51·C84＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C113＝165(种)．(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C21·C114+C22 ·C113＝825(种)或采用排除法：C135-C115＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法共有：C52·C83+C51·C84 +C85＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选，选法种数为C124；第二类女队长不当选，选法种数为C41·C73+C42·C72+C43·C71+C44.故选法共有：C124+C41·C73+C42·C72+C43·C71 +C44＝790(种)．巩固训练2　解析：(1)只需再从其他7名队员中选3人，即C73种选法．(2)第一类，先选1女3男，有C63C21＝40种，这4人选2人作为队长和副队有A42＝12种，故有40×12＝480 种；第二类，先选2女2男，有C62C22＝15种，这4人选2人作为队长和副队长有A42＝12种，故有15×12＝180种，根据分类加法计数原理共有480＋180＝660种．答案：(1)C　(2)660例3　解析：(1)这是平均分配问题，分3步．第一步：从6本书中选2本给甲，有C62种选法；第二步：从其余的4本书中选2本给乙，有C42种选法；第三步：把余下的2本书全部给丙，有C22种选法，根据分步乘法计数原理得，共有C62·C42 ·C22＝90种不同的分法．(2)这是平均分组问题，共有C62·C42·C22A33＝15种不同的分法．(3)这是不平均分组问题，共有C61·C52 ·C33＝60种不同的分法．(4)这是不平均分配问题，在(3)的基础上再进行全排列，所以共有C61·C52·C33 ·A33＝360种不同的分法．(5)这是部分均匀分组问题，共有C64·C21·C11A22＝15种分法．解析：(6)这是部分均匀分配问题，在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人，共有C64·C21·C11A22·A33＝90种不同的分法．(7)这是直接分配问题，从6本不同的书中选1本分配给甲，有C61种方法，再从剩下的5本不同的书中选2本分配给乙，有C52种方法，最后剩下的3本不同的书全给丙，有C33种方法．根据分步乘法计数原理，共有C61·C52 ·C33＝60种不同的分法．(注意与(4)的区别)(8)由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C63种选法．再把剩下的3本书分成本数分别为1，2的两份，有C31·C22种分组方法，把分好组的两份书分给乙、丙两个人，有A22种分法．根据分步乘法计数原理，可得共有C63·C31·C22 ·A22＝120种不同的分法．巩固训练3　解析：(1)首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C61；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C52；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C61 ·C52＝6×10＝60种．(2)先把4名学生分为2，1，1共3组，有C42C21C11A22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．答案：(1)C　(2)36　出错原因纠错心得解答此题时易得到如下错解：先从5本书中取4本分给4名同学，有A54种方法，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为4×A54＝480.该解题过程中出现了重复选取的情况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．按照上述分法可能有如下的表1和表2：表1甲乙丙丁abcde表2甲乙丙丁ebcda表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲．从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数．对于元素无序的分配问题，一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数．