湘教版（2019）选择性必修 第一册2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共7页。

(2)能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系有：________、________、________、________、________.
2．圆与圆的位置关系的判断方法❶
(1)几何法：
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元，一元二次方程
批注❶ 代数法计算量偏大，一般不用此种方法；几何法较简洁，只需比较圆心距d与|r1－r2|、r1＋r2的大小即可得出位置关系．
批注❷ 有四条公切线．
批注❸ 有三条公切线．
批注❹ 两条外公切线．
批注❺ 一条外公切线．
批注❻ 无公切线．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( )
(4)如果两圆相外切，则有公切线3条．( )
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．外切 D．相交
3．已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16，则圆O1与圆O2的位置关系为( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．外离
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为____________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 圆与圆的位置关系的判断
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2
(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
方法归纳
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
巩固训练1 (1)圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1与圆(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )
A．相切 B．内含
C．相交 D．外离
(2)已知圆C1：x2＋(y－a)2＝a2，(a>0)的圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．外离
题型2 两圆相切问题
例2 (1)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________；
(3)[2022·河北石家庄二中测试]已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，若圆C与曲线x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝________．
方法归纳
处理两圆相切问题的策略
巩固训练2 (1)[2022·湖南邵东一中测试]若圆x2＋y2＝4与圆(x－a)2＋y2＝1(a>0)相内切，则a＝________；
(2)与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程是________________．
题型3 两圆相交的问题
例3 已知圆C1过点(，1)、(1，－1)，且圆心在直线y＝1，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1)求圆C1的标准方程；
(2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
方法归纳
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
巩固训练3 (1)[2022·湖南长沙一中测试]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________；
(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
易错辨析 忘记求相交两圆的公共弦方程的前提
致错例4 过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为( )
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0
C．x＋y＋11＝0 D．不存在
解析：由题意得C1(1，1)，r1＝1，C2(2，0)，r2＝5，
∴|C1C2|＝＜r2－r1，∴两圆内含．
∴过两圆交点的直线不存在．故选D.
答案：D
【易错警示】
2．6.2 圆与圆的位置关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．外离 外切 相交 内切 内含
2．(1)d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)相交 内切或外切 外离或内含
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由题意可知
圆O1的圆心O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(0，2)，半径r1＝2，
所以|O1O2|＝，又r2－r1<|O1O2|所以圆O1和圆O2的位置关系是相交．
答案：D
3．解析：圆O1的圆心为(0，0)，半径等于1，
圆O2的圆心为(3，－4)，半径等于4，
所以两圆圆心距为＝5，
恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切．
答案：A
4．解析：两圆的圆心分别是(－1，－1)，(2，1)，半径分别是2，1；
两圆圆心距离：＝>2＋1，说明两圆相离，
因而公切线有四条．
答案：D
5．解析：两圆方程作差可得：6x＋2y＋2＝0，即3x＋y＋1＝0，
∴直线AB的方程为3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1 解析：对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆相离．
(4)当|C1C2|<3即0巩固训练1 解析：(1)因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，
所以两圆内含．
(2)已知圆C1的圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝2，即＝2，
解得a＝2或a＝－6，因为a>0，所以a＝2，
∴圆C1：x2＋(y－2)2＝4的圆心C1的坐标为(0，2)，半径r1＝2，
将圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圆心C2的坐标为(1，2)，半径r2＝1，
圆心距|C1C2|＝＝1＝r1－r2，
∴两圆内切．
答案：(1)B (2)B
例2 解析：(1)由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
(3)根据题意曲线x2＋y2－2x＋8y＋a＝0表示圆且与圆 C外切，
上述方程化简为(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a，又圆 C方程为(x＋2)2＋y2＝4，
根据两圆外切可得＝2＋，解得 a＝8.
答案：(1)D (2)2或－5 (3)8
巩固训练2 解析：(1)圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2；
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a，0)，半径为1.
所以两圆圆心间的距离为d＝|a|，
由两圆相内切得d＝|a|＝2－1＝1，解得：a＝±1.
由于a>0，所以a＝1.
(2)已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得
解得，或，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
答案：(1)1 (2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
例3 解析：(1)由题意可设圆心C1(a，1)，
则＝，
解得a＝0，
此时圆的半径为r1＝＝，
所以圆C1的标准方程为：x2＋(y－1)2＝5.
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，
化简得x－y－1＝0，
所以圆C1的圆心C1(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，
则＝－d2＝5－2＝3，
解得|AB|＝2，
所以所求公共弦长为2.
所以圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为x－y－1＝0，公共弦长为2.
巩固训练3 解析：(1)由圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，
圆x2＋y2－4＝0的圆心O(0，0)，半径r＝2，
则圆心O(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以公共弦长为2＝2.
(2)如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.
答案：(1)2 (2)4位置关系
外离❷
外切❸
相交❹
内切❺
内含❻
图示
d与r1、
r2的关系
________
________
________
________
________
出错原因
纠错心得
忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A.
只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定．