福建省福州第三中学2023-2024学年高一上学期半期考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第三中学2023-2024学年高一上学期半期考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.
C.D.或
2．下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
3．已知,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4．下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A.,B.,
C.,D.,
5．已知函数,且,则实数a等于( )
A.-1B.1C.2D.3
6．已知函数,则使成立的实数x的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数满足对于任意实数,都有成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知表示不超过实数x的最大整数,若函数,则下列说法正确的是( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.在上单调递增D.的值域为
二、多项选择题
9．若函数的图象为如图所示的曲线m和线段n,曲线m与直线l无限接近,但永不相交,则下列说法正确的是( )
A.定义域为
B.值域为
C.在的定义域内任取一个值,总有唯一的y值与之对应
D.在的值域内任取一个值,总有唯一的x值与之对应
10．函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
11．已知,,且,则( )
A.B.ab的最小值为36
C.的最小值为12D.最小值为
12．定义在上的函数满足如下条件：①,②当时,;则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.在上单调递增
D.不等式的解集为
三、填空题
13．已知集合,若,则实数m的值为_______________．
14．已知函数是幂函数,且在上单调递减,则实数___________.
15．已知关于x的不等式的解集为,且实数,,满足,,则实数m的取值范围是_______________.
16．对于函数,若对于任意的a,b,,,,为某一三角形的三边长,则称为“可构造三角形函数”,已知函数是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是__________．
四、解答题
17．已知集合,.
（1）若,求、;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．已知函数,.

（1）在同一坐标系中画出函数,的图象;
（2）,用表示,中的最小者,记作,分别用图象法和解析法表示函数,并写出的单调区间.
19．设,.
（1）若“,”是真命题,求实数m的取值范围;
（2）解关于x的一元二次不等式.
20．已知是奇函数,.
（1）求m;
（2）判断函数在上的单调性,并用定义证明;
（3）若实数a满足,求a的取值范围.
21．某厂家为满足市场需求,拟加大某产品的生产力度.已知该厂家生产该种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本（单位：万元）.当年产量不足50千件时,;年产量不小于50千件时,.该产品每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：千件）函数解析式;
（2）当年产量x为多少时,该厂家所获利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数.
（1）若.
（i）求不等式的解集;
（ii）若对任意的,,求实数m的取值范围;
（2）若存在实数a,对任意的都有恒成立,求实数n的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由得：或,或,
又,.
故选：B.
2．答案：D
解析：对于A,若,,则,A错误;
对于B,若,则,B错误;
对于C,若,,则,即,C错误;
对于D,若,则,即,D正确.
故选：D.
3．答案：A
解析：由得,此不等式与不等式同解,解得或.
所以,当时,一定成立,故充分性成立;
当即或时,不一定成立,故必要性不成立.
综上所述,“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：C
解析：A.函数的定义域为,的定义域为R,故不是同一函数;
B.的定义域为R,的定义域为,故不是同一函数;
C.的定义域都是R,且解析式相同,故是同一函数;
D.的定义域为,的定义域为或,故不是同一函数,
故选：C.
5．答案：D
解析：,,
,解得：.
故选：D.
6．答案：A
解析：因为的定义域为R,
又,
所以为偶函数,
当时,与单调递增,
所以单调递增,
故由得,则,
则,解得．
故选：A．
7．答案：D
解析：依题意,对于任意实数,都有成立,
不妨设,则,
所以在R上单调递减,
所以,解得.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为,故函数图象如图所示,易知选项ABC错误,选项D正确.
故选：D.
9．答案：BC
解析：由题意得：定义域为,A错误;
的最小值为1,故值域为,B正确;
由函数定义及图象可知：在的定义域内任取一个值,总有唯一的y值与之对应,C正确,
在的值域内任取一个值时,此时有两个x值与之对应,D错误.
故选：BC.
10．答案： ABC
解析：当时,,则选项C符合;
当,故排除D;
当时,的定义域为R,
当时,当且仅当时取等号,
由于在为减函数,为增函数,
则函数在上为增函数,在为减函数,
,是奇函数,
则奇偶性可得在,上的单调性,故选项B符合;
当时,的定义域为,
当,,由于在,为增函数,
则在,为减函数,
是奇函数,
则由奇偶性可得在,上的单调性,故A符合.
故选：ABC.
11．答案：AB
解析：对于A,由得：,
,,又,,,A正确;
对于B,,
,解得：,
（当且仅当,即,时取等号）,
即ab的最小值为36,B正确;
对于C,由得：,
由A知：,,即,
,即,
又,,则（当且仅当,即,时取等号）,
即的最小值为13,C错误;
对于D,由C知：,（当且仅当,即,时取等号）,
即的最小值为,D错误.
故选：AB.
12．答案：ACD
解析：令,得,所以,故A正确;
因为对于,,
当时,令,则有,
假设成立,则,
,
因为当时, ,所以不恒为0,
所以,这与矛盾,故B错误;
设,,,,,
,,
,
,,
所以在上单调递增,C选项正确;
,,由定义域可得,
,在上单调递增,
,,
,D选项正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：当,即时,集合,不满足互异性,故舍去;
当,即（舍）或,此时,集合满足题意.
综上所述,实数m的值为.
故答案为：.
14．答案：2
解析：在幂函数中,
令,得,解得或,
当时,,函数,在上单调递减,满足题意;
当时,,函数,在上单调递增,不满足题意,
所以实数.
故答案为：2.
15．答案：或
解析：因为的解集为,
所以,是的两根,
所以,,
所以,则,
即,解得或.
故答案为：或.
16．答案：
解析：由题意得恒成立,
即,因为,
当时,满足;
当时,由 得;
当时,由 ,得;
因此实数t的取值范围是
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
（2）,
①若;
②若.
综上所述,.
18．答案：（1）见解析
（2）的单调递增区间为和;单调递减区间为和
解析：（1）,图象如下图所示,

（2）令,即,
当时,,解得：;
当时,,解得：;
则当时,;
当时,;
当时,;
;
图象法表示如下：

由图象可知：的单调递增区间为和;单调递减区间为和.
19．答案：（1）
（2）时,原不等式的解集为;
时,原不等式的解为;
时,原不等式的解集为;
时,原不等式的解集为
解析：（1）由题可得,“,”是真命题,
若,则恒成立,满足题意;
若,要使“,”是真命题,
则必有,解得,
综上实数m的取值范围为.
（2）因为是一元二次不等式,所以,
又由可得,,
方程的两个根为,.
（i）若,即时,原不等式的解为;
（ii）若,即时,原不等式的解集为;
（iii）若,即时,原不等式的解集为;
（iiii）若,即时,原不等式的解集为;
综上,时,原不等式的解集为;
时,原不等式的解为;
时,原不等式的解集为;
时,原不等式的解集为.
20．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）由题意,
在中,函数是奇函数,
,
解得：.
（2）由题意及（1）证明如下,
在中,,
设存在任意的,
,
,,,,
,
在上为减函数.
（3）由题意（1）及（2）得,
在中,
当时,解得：或2,
在中,
当时,,
当时,,
解得：或.
a的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）当年产量为70千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润是270万元
解析：（1）每千件商品售价为50万元,
x千件产品销售额为,
当时,,
当时,．
综上所述,
（2）当时,,
则万元,
当时,,
当且仅当,即时,等号成立,
由于,
则当年产量为70千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润是270万元．
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,;
（i）由二次函数性质知：在R上单调递增,
,由得：,即不等式的解集为.
（ii）①当时,,
则由得：,
又在R上单调递增,,;
当时,不成立;
当时,,与矛盾,不合题意;
当时,恒成立,又,
不存在满足题意的m;
②当时,,
则由得：,
又在R上单调递增,,,
,,;
综上所述：实数m的取值范围为.
（2）由得：;
当时,恒成立,,
又在上单调递减,,解得：;
由得：,,
①当时,,,
存在实数a,满足,,
解得：,;
②当时,,,
存在实数a,满足,,解得：或,
;
综上所述：实数n的取值范围为.