人教A版 (2019)7.1 复数的概念图片课件ppt

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7.1.1 数系的扩充和复数的概念
截至目前,我们学习过哪些数集?这些数集之间有什么关系?为什么要扩充数系?到此,数系扩充的脚步就停止了吗?
数系的发展史在人类社会发展的初期,人们还不会用数来表示物体的多少,随着生产的发展和交换增多的需要,人们渐渐把数从具体物体的集合中抽象出来.之后,随着文字的发展,产生了阿拉伯数字,后来人们对数的认识逐渐增加,数越来越大,这样就产生了进位制,从而产生了自然数.数系的扩充过程以自然数为基础,类似于方程x+2=0的事实产生了在自然数范围内无法解决的问题.由此需要定义负数:一个数的“负数”,即它与该数之和等于0,由此产生负自然数,与自然数合称为整数.
类似于方程2x=1的事实产生了在整数范围内无法解决的问题.由此需要定义分数:一个数的“分数”,即它与该数之积等于1,进而将整数和分数合称为有理数.随着数系的发展,人们又发现在有理数范围内无法解决类似于方程x2-2=0的问题,从而引入无理数,并将有理数和无理数合称为实数.
数系的扩充原则:增加新元素;加法与乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律均得到保留;新数系能解决旧数系中的矛盾.
1.虚数单位x2=-1在实数集中有解吗?为什么无实数解? 在实数集中x2=-1没有解,因为在实数集中对-1开平方没有意义.怎样才能使x2=-1这样的方程有解?类比前面数系的扩充,你能想到什么?引入新数扩充实数集,使负实数开平方在新数集中有意义.
i是瑞士数学家欧拉最早引入的,它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头,并把它称为虚数单位.规定i2=-1.
2.复数的概念数系扩充保留运算律,那么在实数集中引入新数i后,新的数集中包含哪些数?以实数2和-1为例,请写出它们和i进行加法和乘法运算的结果.借鉴有理数的代数形式形成的经验,你能从以上例子归纳出它们的代数形式吗?
(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.(2)复数集:全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.(3)表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
2+i与1+2i相等吗?如何定义两个复数相等?(4)在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈ R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
(1)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0且b≠0时,它叫做纯虚数.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
你能用Venn图表示出复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系吗?(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示:
回顾本节课所学主要知识,并回答下列问题:(1)什么样的数称为复数?实数是复数吗?(2)目前你学习的数的最大范围是什么?你能用图形表示所学数集之间的关系吗?(3)两个复数相等的充要条件是什么?(4)为什么要学习复数?结合本节课的学习,你对数系的扩充有什么不同的认识?