初中数学28.2 解直角三角形及其应用导学案

这是一份初中数学28.2 解直角三角形及其应用导学案，共7页。学案主要包含了解直角三角形，解直角三角形的应用举例等内容，欢迎下载使用。

1）解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系。
2）能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
3）通过解直角三角形解决实际问题的过程，让学生加深对属性结合、方程、转化等数学思想。
学习重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系。
学习难点：通过解直角三角形解决实际问题。
学习过程
1）知识点回顾
∠A的正弦值：sin A= ∠A所对的边斜边 = ac
∠A的余弦值：cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc
∠A的正切值：tan A= ∠A所对的边邻边 = ab
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：
2）课堂探究
一、解直角三角形
一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。
【问题】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
直角三角形五个元素：
边：a、b、c 边与边之间的关系：勾股定理（a2+b2=c2）
角：∠A、∠B 角与角之间的关系： A+∠B=90°
边与角之间的关系：sin A= ∠A所对的边斜边 = ac sin B= ∠B所对的边斜边 = bc
cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc cs B= ∠B所邻的边斜边 = ac
tan A= ∠A所对的边邻边 = ab tan B= ∠B所对的边邻边 = ba
二、解直角三角形的应用举例
【情景一】 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）
解：设∠POQ=α，而AQ是⊙O的切线，则△AOQ是直角三角形
∵cs α =OQAO = 64006400+343≈0.9491 ∴ α ≈18.36°
∴弧PQ的长为α πr180= 18.36×3.142×6400180=2051 km，则最远点与点P之间的距离
【情景二】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
解：∵a=30°，β=60°， AD＝120．
∴tan a = BDAD ，tan β = CDAD
∴BD=AD•tan a =403 m
CD=AD•tan β =1203 m
则BC=BD+DC=1603≈277 m 答：楼高277米
【情景三】 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为_____________
∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米
【练一练】
1．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
2．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A．B．C．D．
【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角，
故选D．
3．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（ ）米．
A．B．C．D．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠A=35°，BC=50米，
∴sin35°=，
∴AB=(米)．
故选：C．
4．如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴csa=，∴AC=4csa米，
故选： A．
5．如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：连接AC，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sinB=，csB=，tanB=，
∴AC=AB•sinB，BC=AB•csB，AC=BC•tanB，
观察四个选项，选项B正确，
故选；B．
6．在 Rt△ABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  4 ．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tan B B．ct B C．sin B D．cs B 
【详解】解：如图：
∵C  90 ， AB  5 ， AC  4
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ， 则（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，
∵
设BC=3x，则AC=4x，
根据勾股定理可得：
，
故选：B
8．在中，，，，则的（ ）
A．3B．4C．6D．8
【详解】解：如图，
在中，，
，
，
在中，．
故选D．
9．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【详解】解：根据题意：∠ACB= 90°
由勾股定理可得：
BC=米
40米= 0.04千米，
2秒=小时；
0.04÷= 72千米/时> 70千米/时；
所以超速了．
10．如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．
【详解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，
∴∠A＝90°-30°＝60°，
，
∴，
∴c＝40，
由勾股定理知，
∴，
解得：．
【学后反思】通过本节课的学习你，你收获了什么？