2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末达标检测试题

这是一份2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末达标检测试题，共20页。试卷主要包含了下列事件中，是必然事件的是，抛物线y=2等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）．
A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
C．有两个交点，且它们均在轴同侧D．无交点
3．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1B．a＝1C．a＝﹣1D．a＝±1
4．给出四个实数，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．B．2C．0D．-1
5．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天一定有雾霾
B．国家队射击运动员射击一次，成绩为10环
C．13个人中至少有两个人生肖相同
D．购买一张彩票，中奖
6．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
8．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2等于( )
A．30°B．45°C．60°D．70°
9．抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）
10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，已知，把沿轴负方向向左平移到的位置，此时在同一双曲线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，如图，E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点）的坐标（ ）
A．（-2，1）B．（2，-1）C．（2，-1）或（-2，-1）D．（-2，1）或（2，-1）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．图形之间的变换关系包括平移、______、轴对称以及它们的组合变换．
14．将一元二次方程写成一般形式_____．
15．已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．
16．如图，一抛物线与轴相交于，两点，其顶点在折线段上移动，已知点，，的坐标分别为，，，若点横坐标的最小值为0，则点横坐标的最大值为______.
17．如图所示的的方格纸中，如果想作格点与相似（相似比不能为1），则点坐标为___________.
18．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
20．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于70元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入−成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
21．（8分）某校为了弘扬中华传统文化，了解学生整体阅读能力，组织全校的1000名学生进行一次阅读理解大赛．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制了频数分布表和频数分布直方图：
（1）频数分布表中的 ；
（2）将上面的频数分布直方图补充完整；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，估计该校进入决赛的学生大约有 人．
22．（10分）2019年6月，总书记对垃圾分类工作作出重要指示.实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.兴国县某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其它垃圾”（如下图，分别记为A、B、C、D）.小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶（简记为水瓶）和一张擦了汗的面巾纸（简记为纸巾）随机扔进了两个不同的垃圾桶。说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其它垃圾”.
（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，恰好分类正确的概率是_____；
（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法，求出两个垃圾都分类错误的概率．
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；
（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；
（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．
24．（10分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cs13°≈0.974，tan13°≈0.231，ct13°≈4.331）
25．（12分）已知直线与是的直径，于点．
（1）如图①，当直线与相切于点时，若，求的大小；
（2）如图②，当直线与相交于点时，若，求的大小．
26．已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据旋转的性质得出AO=A′O，得出等边三角形AOA′，根据等边三角形的性质推出即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A′在AB上，
∴AO=A′O，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
即旋转角α的度数是60°，
故选：C
本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA′是等边三角形，题目比较典型，难度不大．
2、B
【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上
则该二次函数的图像与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧
故选B.
本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.
3、C
【解析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，解得a＝−1
故选C．
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
4、D
【分析】根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案.
【详解】根据题意 ：负数是-1，
故答案为：D.
此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键.
5、C
【分析】必然事件是一定发生的事情，据此判断即可．
【详解】A．明天有雾霾是随机事件，不符合题意；
B．国家队射击运动员射击一次，成绩为10环是随机事件，不符合题意；
C．总共12个生肖，13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，符合题意；
D．购买一张彩票，中奖是随机事件，不符合题意；
故选：C．
本题考查了必然事件与随机事件，必然事件是一定发生的的时间，随机事件是可能发生，也可能不发生的事件，熟记概念是解题的关键．
6、C
【解析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
7、B
【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.
【详解】解：∵从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度=360°×=240°，
∴留下的扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径cm；
故选：B.
此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8、C
【解析】试题分析：如图，连接AD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ABC中，∠CAD=90°，∠1=30°， ∴∠DAB=60°； 又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等），
∴∠2=60°
考点：圆周角定理
9、B
【解析】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B．
10、D
【分析】先根据圆的周长公式计算出圆锥的底面周长，然后根据扇形的面积公式，即可求出圆锥侧面展开图的面积.
【详解】解：圆锥的底面周长为：2×4=，
则圆锥侧面展开图的面积是.
故选：D.
此题考查的是求圆锥的侧面面积，掌握圆的周长公式和扇形的面积公式是解决此题的关键.
11、C
【分析】作CN⊥x轴于点N，根据证明，求得点C的坐标；设△ABC沿x轴的负方向平移c个单位，用c表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式．
【详解】作CN⊥轴于点N，
∵A(2，0)、B(0，1)．
∴AO=2，OB=1，
∵，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，
又∵点C在第一象限，
∴C(3，2)；
设△ABC沿轴的负方向平移c个单位，
则，则 ，
又点和在该比例函数图象上，
把点和的坐标分别代入，
得，
解得：，
∴，
故选：C．
本题是反比例函数与几何的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质．
12、D
【分析】由E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点的坐标．
【详解】解：∵E（-4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，
∴点E的对应点的坐标为：（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
本题考查位似变换；坐标与图形性质，利用数形结合思想解题是关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、旋转
【分析】图形变换的形式包括平移、旋转和轴对称．
【详解】图形变换的形式，分别为平移、旋转和轴对称
故答案为：旋转．
本题考查了图形变换的几种形式，分别为平移、旋转和轴对称，以及他们的组合变换．
14、
【分析】先去括号，然后移项，最后变形为一般式．
【详解】
故答案为：．
本题考查完全平方公式、去括号和移项，需要注意，移项是需要变号的．
15、2
【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（2，0），可得结论．
【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x==1．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点．
故填为2．
本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．
16、7
【分析】当点横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，据此可求出抛物线的a值，再根据点横坐标的最大值时，顶点在E点，求出此时的抛物线即可求解.
【详解】当点横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，
设该抛物线的解析式为：y=a(x+2)2+8,代入点B（0,0）
得：0= a(x+2)2+8，
则a=−2，
即：B点横坐标取最小值时,抛物线的解析式为：y= -2(x+2)2+8.
当A点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取E,
则此时抛物线的解析式：y=-2 (x−8)2+2，
令y=0，解得x1=7,x2=9
∴点A的横坐标的最大值为7.
故答案为7.
此题主要考查二次函数的平移问题，解题的关键是熟知待定系数法求解解析式.
17、（5，2）或（4，4）．
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】解：根据题意得：OA=1，OB=2，AB=，
∴当AB与AC对应时，有或者，
∴AC=或AC=5，
∵C在格点上，
∴AC=（不合题意），则AC=5，如图：
∴C点坐标为（4，4）
同理当AB与BC对应时，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合题意，
如图：
此时C点坐标为（5，2）
∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．
故答案为：（5，2）或（4，4）．
本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用．
18、3
【分析】作出D关于AB的对称点D'，则PC+PD的最小值就是CD'的长度．在△COD'中根据边角关系即可求解．
【详解】作出D关于AB的对称点D'，连接OC，OD'，CD'．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，
∴∠BAD'∠CAB=15°，
∴∠CAD'=45°，
∴∠COD'=90°．∴△COD'是等腰直角三角形．
∵OC=OD'AB=3，
∴CD'=3．
故答案为：3．
本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）方法1、先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；
方法2、判断出OP是CD的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.
【详解】解：（1）方法1、连接OC，OD，
∴OC＝OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，
∴∠DOP＝∠COP，
∵OD＝OC，
∴OP⊥CD；
方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，
∴PD＝PC，
∵OD＝OC，
∴P，O在CD的中垂线上，
∴OP⊥CD
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，
∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，
∴∠COD＝60°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP＝＝．
本题考查圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数.
20、（1）y=﹣2x+180；（2）W=﹣2x2+240x﹣5400；（3）当x=60时，W取得最大值，此时W=1．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【详解】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
则 ，
解得k=-2,b=180.
即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+180；
（2）由题意可得，W=（x﹣30）（﹣2x+180）=﹣2x2+240x﹣5400，
即W与x之间的函数表达式是W=﹣2x2+240x﹣5400；
（3）∵W=﹣2x2+240x﹣5400=﹣2（x﹣60）2+1，30≤x≤70，
∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大；
当60≤x≤70时，W随x的增大而减小；
当x=60时，W取得最大值，此时W=1．
考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
21、（1）14；（2）补图见解析；（3）1.
【解析】（1）根据第1组频数及其频率求得总人数，总人数乘以第2组频率可得a的值；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整；
（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．
【详解】（1）∵被调查的总人数为6÷0.12=50人，
∴a=50×0.28=14，
故答案为：14；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该校进入决赛的学生大约有1000×0.08=1人，
故答案为：1．
此题考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．
22、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式即可得答案；
（2）画出树状图，可得出总情况数和两个垃圾都分类错误的情况数，利用概率公式即可得答案.
【详解】（1）∵共有4组，每组4个桶，
∴共有16个桶，
∵分类正确的有4个桶，
∴分类正确的概率为=.
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个垃圾都分类错误的情况有7种：BA，BC，CA，CB，DA，DB，DC
∴P(两个垃圾都分类错误)＝．
本题考查利用列表法或树状图法求概率，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键.
23、 (1)见解析;(3) 直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）3.3或4.3
【分析】（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可；
（3）由题意连结OD，交BC于F，判断并证明OD⊥DE于D以此证明直线DE与⊙O的位置关系；
（3）由题意根据相关条件证明平行四边形CFDE是矩形，从而进行分析求解.
【详解】（1）如图．

（3）判断：直线DE是⊙O的切线．
证明：连结OD，交BC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴．
∴OD⊥BC于F．
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE于D．
∴直线DE是⊙O的切线．
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=1．
∵∠BOF=∠ACB=90°，
∴OD∥AC．
∵O是AB中点，
∴OF==3．
∵OD==5，
∴DF=3．
∵DE∥BC，OD∥AC，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵∠ODE=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形．
∴CE=DF=3．
本题结合圆考查圆的尺规作图以及圆的切线定义和矩形的证明，分别掌握其方法定义进行分析.
24、（1）这个车库的高度AB为5米；（2）斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
【解析】（1）根据坡比可得＝，利用勾股定理求出AB的长即可；（2）由（1）可得BC的长，由∠ADB的余切值可求出BD的长，进而求出CD的长即可.
【详解】（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，
在Rt△ABC中，i＝＝，
设AB＝5x，则BC＝12x，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝13x，
∵AC＝13，
∴x＝1，
∴AB＝5，
答：这个车库的高度AB为5米；
（2）由（1）得：BC＝12，
在Rt△ABD中，ct∠ADC＝，
∵∠ADC＝13°，AB＝5，
∴DB＝5ct13°≈21.655（m），
∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
此题主要考查了坡角的定义以、锐角的三角函数及勾股定理等知识，正确求出BC，BD的长是解题关键．
25、（1）30°；（2）18°
【分析】(1)连接OC,根据已知条件得出，，根据平行线的性质得出，进而求得答案
(2)连接EB，得出，从而得出，与为同弧所对的角，因此两角相等.
【详解】解：（1）连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
（2）连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
本题是一道关于圆的综合性题目，考查到的知识点有圆的切线定理，平行线的性质，等边三角形的判定以及圆周角定理等，通过作辅助线综合分析是解题的关键.
26、另一根为-3，m=1
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出a+1=﹣m，a×1=﹣3，解方程组即可．
【详解】设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+1=﹣m，a×1=﹣3，
解得：a=﹣3，m=1，
答：方程的另一根为﹣3，m=1．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键．
…
…
…
…
x
...
－1
0
1
2
...
y
...
0
3
4
3
...
售价x（元/千克）
40
50
60
销售量y（千克）
100
80
60
分组/分
频数
频率
50≤x＜60
6
0.12
60≤x＜70
0.28
70≤x＜80
16
0.32
80≤x＜90
10
0.20
90≤x≤100
4
0.08