专题3.3 空间向量及其运算的坐标表示（6类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc26002" 【考点1：空间直角坐标系】 PAGEREF _Tc26002 \h 1
\l "_Tc4783" 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc4783 \h 2
\l "_Tc1504" 【考点3：空间向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc1504 \h 4
\l "_Tc28116" 【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】 PAGEREF _Tc28116 \h 6
\l "_Tc731" 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 PAGEREF _Tc731 \h 8
\l "_Tc5526" 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 PAGEREF _Tc5526 \h 11
【考点1：空间直角坐标系】
【知识点：空间直角坐标系】
1．（2021秋•房山区期末）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2，4）B．（﹣1，﹣1，2）C．（2，1，3）D．（4，2，6）
2．（2021秋•潍坊月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，2，4）关于xOy平面的对称点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣2，4）B．（﹣1，2，4）C．（1，2，﹣4）D．（﹣1，﹣2，4）
3．（2019春•和平区期末）已知M为z轴上一点，且点M到点A（﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等，则点M的坐标为（ ）
A．（3，0，0）B．（0，﹣2，0）C．（0，0，6）D．（0，0，﹣3）
【考点2：空间向量运算的坐标表示】
【知识点：空间向量运算的坐标表示】
设，.
1．（2022春•江苏月考）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点B的坐标是（ ）
A．（1，﹣6，3）B．（5，4，﹣3）C．（﹣1，6，﹣3）D．（2，5，﹣3）
2．（2021秋•河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2a→+3b→等于（ ）
A．（﹣4，6，14）B．（﹣4，0，6）C．（﹣4，3，6）D．（2，1，18）
3．（2021秋•包河区校级期中）已知i→，j→，k→是空间直角坐标系O﹣xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且OA→=3i→，AB→=i→+j→+k→，则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣1，1）B．（4，1，1）C．（1，4，2）D．（4，1，2）
4．（2021秋•乌兰察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→=12c→−2a→，则c→=（ ）
A．（0，3，﹣6）B．（0，6，﹣20）C．（0，6，﹣6）D．（6，6，﹣6）
5．（2022春•浦东新区校级期末）已知点A（1，﹣2，0），向量a→=(−1，2，2)且AB→=2a→，则点B的坐标为 ．
6．（2021秋•虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若AC→=2CB→，则C点坐标为 ．
【考点3：空间向量垂直的坐标表示】
【知识点：空间向量垂直的坐标表示】
设，.
1．（2021秋•迎江区校级月考）已知向量a→=(λ，−2，0)，b→=(1+λ，1，λ2)，若a→⊥b→，则实数λ的值为（ ）
A．1B．1或﹣2C．﹣2D．2
（多选）2．（2020秋•海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
3．设有三点A（1，2，﹣1）、B（0，3，1）、C（4，﹣1，2），求：
（1）△ABC的面积S；
（2）与向量AB→、AC→同时垂直的单位向量．
【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】
【知识点：空间向量平行（共线）的坐标表示】
设，.
1．（2021秋•昌平区校级期中）已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若PQ→=3MN→，则Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2，﹣5）B．（3，4，1）C．（﹣4，﹣1，0）D．（2，5，6）
2．（2021秋•安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，则y﹣2z＝（ ）
A．﹣20B．﹣17C．11D．4
3．（2021秋•屯溪区校级期中）已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→−b→与2a→+b→互相平行，则k＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
4．（2021秋•金东区校级期中）已知AB→=(2，−3，2)，C(2，12，−1)，D（x，y，0），且AB→∥CD→，则x，y的值分别为（ ）
A．3，1B．4，−52C．3，﹣1D．1，1
【考点5：空间向量长度的坐标表示】
【知识点：空间向量长度的坐标表示】
设，.
1．（2022春•宁德期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则|BC→|=（ ）
A．5B．34C．41D．52
2．（2021秋•临沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣5），则|AC→|=（ ）
A．5B．10C．5D．10
3．（2021秋•定远县校级期中）若点A（2，3，2）关于Ozx平面的对称点为A′，点B（﹣2，1，4）关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于（ ）
A．30B．36C．5D．21
4．（2021秋•平顶山期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC=π3，AE→=2BD1→，则|B1E|＝（ ）
A．25B．5C．14D．14
5．（2021秋•宣城期末）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AC=π3，点E、F满足AE→=12AA1→，BF→=12BC→，则|EF→|=（ ）
A．6B．5C．2D．2
6．（2022春•永昌县校级月考）若向量a→=(1，−2，3)，b→=(−2，3，−1)，则|a→+2b→|=（ ）
A．27B．5C．26D．42
7．（2021春•普陀区校级期末）设空间向量a→=（﹣1，2，m），b→=（2，n，﹣4），若a→∥b→，则|a→−b→|＝ ．
【考点6：空间向量夹角的坐标表示】
【知识点：空间向量夹角的坐标表示】
设，.
1．（2021秋•渭滨区期末）已知a→=(1，0，1)，b→=(x，1，−2)，且a→⋅b→=−3，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．5π6B．2π3C．π3D．π6
2．（2021秋•禅城区校级期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0），若a→与b→夹角为2π3，则k的值为（ ）
A．−2B．2C．﹣1D．1
3．（2022春•成都期中）已知a→=(csα，−1，sinα)，b→=(sinα，−1，csα)，则向量a→+b→与a→−b→的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
4．（2022春•乌苏市校级期中）已知空间向量a→=（2，4，﹣2），b→=（﹣1，0，2），c→=（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若a→∥c→，求|c→|；
（Ⅱ）若b→⊥c→，求cs＜a→，c→＞的值．
5．（2021秋•辽源期末）已知：a→=（x，4，1），b→=（﹣2，y，﹣1），c→=（3，﹣2，z），a→∥b→，b→⊥c→，求：
（1）a→，b→，c→；
（2）a→+c→与b→+c→所成角的余弦值．
6．（2022春•萧县校级月考）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．
（Ⅰ）用a→，b→，c→表示向量OP→；
（Ⅱ）若|a→|=|b→|=|c→|=1，且满足______（从下列三个条件中任选一个，
填上序号：
①＜a→，b→＞=＜b→，c→＞=＜c→，a→＞=π3；
②＜a→，b→＞=＜c→，a→＞=π3，＜b→，c→＞=π2；
③＜a→，b→＞=＜c→，a→＞=π2，＜b→，c→＞=2π3，则可求出|OP→|的值；并求出|OP→|的大小．
向量表示
坐标表示
数量积
a1b1＋a2b2＋a3b3
向量表示
坐标表示
垂直
＝0(≠0，≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
向量表示
坐标表示
共线
，，
向量表示
坐标表示
模
向量表示
坐标表示
夹角