专题6.5 正态分布（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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\l "_Tc752" 【基础知识】 PAGEREF _Tc752 \h 1
\l "_Tc9720" 【考点1：正态曲线的性质】 PAGEREF _Tc9720 \h 2
\l "_Tc18896" 【考点2：正态分布的概率】 PAGEREF _Tc18896 \h 6
\l "_Tc27148" 【考点3：正态分布的实际应用】 PAGEREF _Tc27148 \h 9
【基础知识】
【知识点：正态分布】
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；,σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.))
2．正态分布
[方法技巧]
利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(2)P(X(3)P(a [方法技巧]
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)标准差σ.
(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
【考点1：正态曲线的性质】
【知识点：正态曲线的性质】
1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X∼Nμ,σ2，且PX≥a=0.5,P(XA．0.25B．0.3C．0.5D．0.75
2．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量ξ服从正态分布N6,σ2，若Pξ<3a−3=Pξ>−a+1，则a的值为（ ）
A．9B．7C．5D．4
3．（2023·全国·高二专题练习）某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差X~N0,σ2．已知P0≤X≤5=0.12，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（ ）
A．34B．36C．38D．40
4．（2021春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）设X~Nμ1,σ12，Y~Nμ2,σ22，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．PY≥μ2≥PY≥μ1B．PX≤σ2≤PX≤σ1
C．对任意正数t，PX≤t≤PY≤tD．对任意正数t，PX≥t≥PY≥t
5．（2023·辽宁·校联考一模）随机变量X∼Nμ,σ2且PX≤2=0.5，随机变量Y∼B3,p，若EY=EX，则（ ）
A．μ=2B．Dx=2σ2C．p=23D．D3Y=6
6．（2023秋·江苏·高三统考期末）若X∼Nμ,σ2，则下列说法正确的有（ ）
A．P(X<μ+σ)=P(X>μ−σ)
B．P(μ−2σC．P(X<μ+σ)不随μ,σ的变化而变化
D．P(μ−2σ7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）某产品的质量指标值服从正态分布N100,σ2，则下列结论正确的是（ ）
A．σ越大，则产品的质量指标值落在99.9,100.1内的概率越大
B．该产品的质量指标值大于100的概率为0.5
C．该产品的质量指标值大于100.01的概率与小于99.99的概率相等
D．该产品的质量指标值落在99.9,100.2内的概率与落在100,100.3内的概率相等
8．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）如图，若一个随机变量X服从某正态分布X~Nμ,σ2，且已知函数fx=1σ2πe−x−μ22σ2的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望EX=______________，方差DX=______________．
9．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量X∼N−2,σ2，且PX≤−1=23，则PX≤−3=___________
10．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量ξ服从正态分布N10,σ2，若Pξ≤3a+1=0.5，则实数a=______．
【考点2：正态分布的概率】
【知识点：正态分布的概率】
1．（2021春·河北衡水·高二校联考阶段练习）若X∼N7,2.25，则PX≤10=（ ）
（参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ=0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ=0.9973）
A．0.97725B．0.9545C．0.9973D．0.99865
2．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X∼Nμ,σ2，且PX≥a=0.5,P(XA．0.25B．0.3C．0.5D．0.75
3．（2022春·北京通州·高二统考期末）假设随机变量X服从正态分布N30,62，随机变量Y服从正态分布N34,22，关于随机变量X，Y有以下三个结论：①P(X≤34)A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）已知函数fx=lg2x,x≥1,x+ξ,x<1,在R上单调递增的概率为12，且随机变量ξ~Nu,1．则P0<ξ≤1等于（ ）
[附：若ξ~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤x≤μ+σ=0.6827，
Pμ−2σ≤x≤μ+2σ=0.9545．]
A．0.1359B．0.1587C．0.2718D．0.3413
5．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量X∼N−2,σ2，且PX≤−1=23，则PX≤−3=___________
6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N(1.5,σ2)，且P(1.57．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且PX2−4X+3≤0=0.6827，则P(X<−1)=___________.（附：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973）
【考点3：正态分布的实际应用】
【知识点：正态分布的实际应用】
1．（2023·福建莆田·统考二模）“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布N8,σ2，且P(ξ≤7)=0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在7,9间的个数记为X，则（ ）
A．P(7<ξ<9)=0.8B．E(X)=1.8
C．E(ξ)>E(5X)D．P(X≥1)>0.9
2．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）某种食盐的袋装质量X服从正态分布N400,16，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间396,408的约有______袋．（质量单位：g）
附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ3．（2023·全国·高二专题练习）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布N100,102，若测量10000株水稻，株高在80,90的约有_______．（若X~Nμ,σ2，P(μ−σ≤X≤μ−σ)≈0.6827,P(μ−2σ≤X≤μ−2σ)≈0.9545）
4．（2021春·陕西渭南·高二统考期末）某校统计了高三年级全体学生利用假期参加社会实践活动的时间X（单位：小时）.根据统计发现X近似服从正态分布N30,σ2，且PX≥10=0.90，该校高三年级学生利用假期参加社会实践活动的时间在10,50的人数为1600，估计该校高三年级的学生人数为______.
5．（2023春·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ．
(1)求μ和σ；
(2)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布Nμ,σ2，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则：
Pμ−σPμ−3σ6．（2023·重庆·统考二模）某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为23，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827；Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545；Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973．
7．（2023·山西·校联考模拟预测）2022年河南､陕西､山西､四川､云南､宁夏､青海､内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文､数学､外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试､满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.
附：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.
8．（2023·全国·高二专题练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在70,80内的学生获三等奖，得分在80,90内的学生获二等奖，得分在90,100内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
附参考数据，若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973．
9．（2023·全国·高二专题练习）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布Nμ,σ2（用样本平均数x和标准差s分别作为μ，σ的近似值），已知样本标准差s≈8.65，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？
(3)从80,100的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测i1≤i≤6份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的i份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ10．（2023秋·浙江·高三期末）第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯（FIFA Wrld Cup Qatar．2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
(1)求这100份试卷成绩的平均数；
(2)假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布Nμ,σ2．其中，μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有84.135%的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(3)知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为310，选择两个选项的概率为12，选择三个选项的概率为15．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：若X~Nμ,σ2，则：P(μ−σ表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)
三个常
用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4
成绩（分）
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
频数
2
5
15
40
30
8