2023-2024学年广西柳州高级中学高一上学期10月月考数学试题

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（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是
A. 0∈AB. {1}∈AC. ∅⊆AD. {0，1}⊆A
【答案】B
【解析】
【详解】根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确；
根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假；
∅是任意集合的子集，故C正确；
根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确；
故选B．
点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题.
2. 若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1>y2B. y1＝y2
C. y1【答案】A
【解析】
【分析】采用作差法，判断差的正负，从而可判断y1与y2的大小关系.
【详解】 ,
故 ，
故选：A
3. 已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.
【详解】依题意，所以集合B的子集的个数为，
故选：C.
4. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
5. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；
【详解】解：对于A：当时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确；
故选：D
6. 一般认为，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于，而且这个比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ ）．
A. 变坏了B. 变好了C. 不变D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用字母表示窗户面积与地板面积的比值，再利用作差法，即可比较大小.
【详解】设和分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，（面积单位都相同），
由题意得，，则，
因为，所以，又因为，则，
所以，即，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.
故选：B
7. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.
【详解】由可知
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
以上三个不等式两边同时相乘，可得
（当且仅当时等号成立）
故选：D
8. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可
【详解】因为方程的两根分别是和，
所以，解得或，
，，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否完全一致即可.
【详解】选项A，当时，，，
所以与对应关系不完全一致，故不是同一个函数；
选项B，与定义域都为，
且对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项C，与的定义域都为，
且，对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项D，对，由，解得，
所以的定义域为，
对，由，解得或，
所以的定义域为，
两函数定义域不同，故不是同一个函数.
故选：BC.
10. 给出下列四个条件：其中能成为的充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的性质即可得出结论.
【详解】A中，若，则不能得到，A错误；
B中，若，则有，满足充分性，B正确；
C中，若，则有，是的充分条件，C正确；
D中，若，则，不能得到，D错误.
故选：BC
11. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则；
B. 若，则；
C. 使不等式成立的一个充分不必要条件是或
D. 若是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相等”的充分不必要条件
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；
B选项：由不等式的同向可乘性可以判断；
C选项：通过检验就可以判断；
D选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.
【详解】A选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题:,.则:,，A是假命题；
B选项：，
，，，B是真命题；
C选项：若或，则成立，故满足充分性；当时，或，不满足必要性，C是真命题；
D选项：设，则
所以不等式等价于.
若，此时等价于，此时两者解集相等；
若，此时等价于，此时两者解集不相等；
若不等式和解集为，则两个不等式的系数没有关系.
所以“”是“不等式和解集相等”的既不充分也不必要条件，D是假命题.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 若a，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 设x，y为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合特例法、绝对值的性质逐一判断即可.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：，当且仅当时取等号，即当时取等号，故B正确；
C：当，时，，当且仅当时取等号，
即当时取等号，，当且仅当时取等号，
即当时取等号，
相加可得，故C正确；
D：，
所以，当且仅当时，等号成立，可得，
，时取最大值，故的最大值为，D选项正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用基本不等式、特例法.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又函数有意义，得，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 若或是或的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
分析】不妨设或，或，由题意可得，由此即可得解．
【详解】不妨设或，或，
若或是或的必要不充分条件，则有，
所以有（等号不同时成立），解得.
故答案为：.
15. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出分母范围即可得到值域.
【详解】由，
则的值域为，
故答案为：.
16. 已知为正实数，则的最小值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】由题得，
设，则.
当且仅当时取等.
所以的最小值为6.
故答案为：6
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （1）若不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（2）已知a，b是正实数，且满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）题目转化为分和讨论即可；
（2）利用乘“1”法即可求出最值
【详解】（1）当时，，此时对任意实数x都成立，∴；
当时，则满足，即，解得；
综上可得，实数k的取值范围为.
（2）.
则
当且仅当时，等号成立，由实数，
∴，时，.
18. 已知集合，集合，
（1）若，求和；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.
【小问1详解】
当时，，∴，
或，
∴；
【小问2详解】
若，则
①时，即，即，满足：
②时，则满足，或，解得
综上可得，实数a的取值范围为
19. 已知不等式的解集为或.
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式（其中c为实数）.
【答案】（1），，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、的值；
（2）不等式化为，然后分，和讨论即可求出不等式的解集．
小问1详解】
不等式的解集为，或，
所以1和是方程的解，
所以，解得；
由根与系数的关系知，解得；
所以，；.
【小问2详解】
由（1）知，不等式为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，解不等式得；
当时，若，即时，解不等式得或，若，即时，解不等式得，若，即，解不等式得或，
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或．
20. 已知，是实数，求证：成立充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【详解】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
21. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额）
【答案】（1）3 （2）方案二更合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；
（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.
【小问1详解】
设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
【小问2详解】
方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
22. 已知函数，
（1）若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据在区间上的单调性，结合零点存在性定理可得；
(2)将问题转化为两个函数值域的包含关系问题，然后可解.
【小问1详解】
的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点，所以，解得，即实数a的取值范围为.
【小问2详解】
记函数，的值域为集合A，，的值域为集合B.则对任意的，总存在，使得成立.
因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，得.
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，因为，所以，解得；
当时，的值域为，因为，所以，解得.
综上，实数a的取值范围为