2023-2024学年甘肃省兰州重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
3.从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米.其中9000000000用科学记数法表示为( )
A. 9×108B. 9×109C. 9×1010D. 9×1011
4.若∠A=42°，则∠A的补角的度数为( )
A. 48°B. 58°C. 138°D. 148°
5.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. a4−a3=aC. (a2)3=a6D. a6÷a3=a2
6.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=( )
A. 3.5cmB. 3cmC. 4.5cmD. 6cm
7.方程2x=3x+1的解为( )
A. x=1B. x=−1C. x=2D. x=−2
8.我们知道压强P，是指物体单位面积S上受到的压力F，即P=FS.如果50N的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于500Pa，则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是( )
A. S小于0.1m2B. S大于0.1m2C. S小于102D. S大于10m2
9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的13名运动员的成绩如表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为( )
A. 1.70米，1.65米B. 1.65米，1.70米C. 1.75米，1.65米D. 1.70米，1.70米
10.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是( )
A. 8x+3=y7x−4=y
B. 8x−3=y7x+4=y
C. 8x+3=y7x+4=y
D. 8x−3=y7x−4=y
11.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=(x+3)2+2B. y=(x−1)2+2C. y=(x−1)2+4D. y=(x+3)2+4
12.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C=40°.则∠AOB的度数是( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.因式分解：2x2−8=____________．
14.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．
15.关于x的一元二次方程x2−5x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．
16.一个仅装有球的不透明布袋里只有8个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则n= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.化简：(a+1a−1+1)÷2aa2−1．
四、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：( 5+ 2)( 5− 2)−( 3− 2)2
19.(本小题4分)
解一元一次不等式组2x+1>x①x0)的图象交于点A(2,3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点C．
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题6分)
先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
22.(本小题6分)
小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度OA，但手中只有一把刻度模糊的45°直角三角板，无法直接测量，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿DA重合，如图①，一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽．
【实践探究】小红受到小星的启发，将39°的∠DAB按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图②，AB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米，求该刻度尺的宽度OA的长；
【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的∠DAC放置在刻度尺上，求OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米.(结果精确到0.1厘米)
(参考数据sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45)
23.(本小题6分)
阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
24.(本小题6分)
青少年健康问题越来越引起社会的广泛关注，某学校九年级的学生有600人，该校为了解学生的健康状况，对九年级的学生进行了一次心理健康和体质健康的测试，调查小组从九年级学生的测试成绩中抽取了40人的测试成绩进行了整理描述和分析，下面给出了部分信息：
a.40名学生的心理健康测试成绩的频数分布直方图如图①：
b.40名学生的心理健康测试成绩在70≤x≤80分这一组的是：
71 72 73 73 74 75 75 78 79 79
c.40名学生的心理健康测试成绩和体质健康测试成绩情况统计图如图②；
d.甲同学的心理测试成绩是74分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲同学心理测试成绩在抽取的样本中排名第______；
(2)某位同学的体质测试成绩排名最高，那他的心理健康测试成绩为______分；
(3)下列推断合理的是______．
①乙同学更需要加强心理方面的素质；
②丙同学相较于乙同学测试成绩总的排名更高．
25.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．
26.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=2 3，求BD的长．
27.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，点D为AB的中点，射线CB上有动点E，F，连接DE，DF，使得∠EDF=∠A．
小军根据学习函数的经验，对线段CE，BF，DE长度之间的关系进行了探讨，下面是小军的探究过程，请补充完整．
(1)列表：如表的已知数据是根据取点、画图、测量得到：
在线段CE，BF，DE的长度这三个量中，确定______的长度是自变量x，另外两条线段的长度都是这个自变量的函数y；
(2)描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的两个函数图象；
(3)解决问题：当BF−CE=1时，CE的长度大约是______cm.(保留两位小数)
28.(本小题9分)
综合与实践：
【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
3.【答案】B
【解析】解：9000000000=9×109．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|