2023-2024学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=3(x+2)2的开口向( )
A. 左B. 右C. 上D. 下
2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.二次函数y=−2x2+4x+1的图象与y轴的交点坐标为( )
A. (1,0)B. (0,1)C. (−1,0)D. (0,−1)
4.体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是( )
A. M
B. N
C. P
D. Q
5.抛物线y=(x−2)2−5的对称轴是( )
A. x=−1B. x=1C. x=2D. x=−2
6.如图，在⊙O中，∠O=50°，则∠A的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 50°
D. 100°
7.二次函数y=x2−2x+1的图象与坐标轴的交点个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.下列二次函数图象的顶点坐标是(1,−1)的是( )
A. y=−3(x+1)2−1B. y=(x−1)2−1
C. y=(x−1)2+1D. y=−3(x+1)2+1
10.如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，则AC的长为( )
A. 4cm
B. 5 2cm
C. 5 3cm
D. 5cm
11.在函数y=2(x+1)2的图象上有两点A(1,y1)、B(−3,y2)，则y1、y2的大小关系是( )
A. y1=y2B. y1>y2C. y112.如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
13.某小区有一块绿地如图中等腰直角△ABC所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P，M，N分别在边AC，BC，AB上，记PM=x，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系分别是( )
A. 二次函数关系B. 正比例函数关系C. 反比例函数关系D. 一次函数关系
14.如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为S1)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为S2)，则S1与S2的关系为( )
A. S1>S2B. S1=S2C. S115.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( )
A. (m,n+1)B. (m+1,n)C. (m,n−1)D. (m−1,n)
16.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若AB=12，OB=5，有以下两个结论：①当AB与⊙O相切时，EA=4；②当OB⊥CD时，AF=5.则判断正确的是( )
A. ①对②错B. ①错②对C. ①②均对D. ①②均错
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式______．
18.如图，半径为2的圆内接正八边形AiA2A1A2…A8的中心为O，连接A4A6，∠A8= ______ °，A4A6= ______ ．
19.已知二次函数y=−x2+nx+c中，函数y与自变量x之间部分对应值如表所示，根据表中的数据，写出n的值为______ ，a的值为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
已知抛物线y=x(x−1)．
(1)求该抛物线与x轴的交点的坐标；
(2)该二次函数的图象是否经过点(−2,5)？判断并说明理由．
21.(本小题7分)
如图，在⊙O中，AC=BC，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD=CE．
22.(本小题7分)
已知二次函数y=x2−2x+3，当−2≤x≤2时，求函数y的取值范围．
小胡同学的解答如下：
小胡的解答正确吗？______ .如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．
23.(本小题7分)
如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，AC=4 2，求⊙O的半径．
24.(本小题7分)
如图，已知抛物线y=−x2+bx+3经过点M(−2,3)．
(1)求b的值；
(2)将该抛物线进行平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式．
25.(本小题8分)
如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，AB=10cm．
(1)若⊙O的直径为8cm，求OA的长；
(2)若sinA=12，求MC．
26.(本小题9分)
根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计

素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：x=3t、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)的变化满足二次函数关系.数据如表所示．
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP=42m.AB=(18 2−24)m．
问题解决：
任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离，当飞机落地(高度为0m)时，求飞机飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内(不包括端点A，B)，求发射台弹射口高度(结果为整数)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=3(x+2)2中a=3，
∴抛物线开口向上．
故选：C．
由抛物线y=3(x+2)2得出a=3，直接判断开口方向即可．
本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】B
【解析】解：y=−2x2+4x+1，
当x=0时，y=1，
即抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)，
故选：B．
把x=0代入求出y，即可得出答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由点M、N、P、Q所在扇形区域中的位置可知，
OP>ON>OQ>OM，
故选：C．
比较线段OM、ON、OP、OQ的长短即可．
本题考查比较线段的长短，掌握线段长短的比较方法是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵y=(x−2)2−5，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
故选：C．
由抛物线解析式可求得其对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k)．
6.【答案】A
【解析】解：如图，在⊙O中，∠O=50°，∠A=12∠O，则∠A=25°．
故选：A．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】C
【解析】解：因为△=b2−4ac=0判断，图象与x轴有一个交点．
∵当x=0时，y=1，
∴函数图象与y轴有一个交点，
∴二次函数与坐标轴有2个交点．
故选：C．
首先用△判定图象与x轴的交点情况；再判定与y轴交点的情况即可解答．
该题考查函数图象与坐标轴的交点关系．
8.【答案】D
【解析】解：∵直线l与半径r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，
∴r>5
故选：D．
根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=5，r>d=5即可得到问题的选项．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d9.【答案】B
【解析】解：A、函数y=−3(x+1)2−1的顶点坐标为(−1,−1)；
B、函数y=(x−1)2−1的顶点坐标为(1,−1)；
C、函数y=(x−1)2+1的顶点坐标为(1,1)；
D、函数y=−3(x+1)2+1的顶点坐标为(−1,1)；
故选：B．
根据函数解析式的顶点式得到该函数的顶点坐标即可判断．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10cm，∠B=30°，
∴AC=12AB=12×10=5(cm)，
∴AC的长为5cm，
故选：D．
首先利用直径所对的圆周角是直角确定△ABC是直角三角形，然后利用30°的直角边是斜边的一半求得AC的长即可．
本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是首先利用圆周角定理得到直角三角形，难度不大．
11.【答案】A
【解析】解：由二次函数y=2(x+1)2可知，对称轴为x=−1，开口向上，
∵二次函数y=2(x+1)2的图象上有两点A(1,y1)，B(−3,y2)，
∴根据二次函数图象的对称性可知，点A(1,y1)与点(−3,y1)关于对称轴对称，
∴y1=y2．
故选：A．
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x=−1，图象开口向上，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：C．
根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：设AB=m(m为常数)，△ABC是等腰直角三角形，
在△CMP中，∠C=45°，CM⊥PM，
∴△CMP为等腰直角三角形，
∴CM=PM=x，
∵四边形PMBN是矩形，
∴PN=BM，
∵CM+BM=PN+PM=CB=AB=m，
∴PN=m−x，
∴S=S△ABC−S矩形PMBN=12AB2−PM⋅PN=12m2−x(m−x)=x2−mx+12m2，
∴S与x成二次函数关系．
故选：A．
设AB=m(m为常数)，根据等腰直角三角形的性质得到CM=PM，根据矩形的性质得到PN=BM，根据三角形和矩形的面积得到结论．
本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：S1=4×4=16，
∵l扇形=nπ×4180=2×4，n=360π，
∴S2=nπR2360=360π×π×42360=16，
∴S1=S2．
故选：B．
分别计算正方形与扇形面积，扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360．
本题考查了扇形面积，熟练运用扇形面积计算公式是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：∵点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，
∴n=am2，
把x=m代入y=a(x+1)2得a(m+1)2≠n+1和n−1，故点(m,n+1)和点(m,n−1)不在抛物线y=a(x+1)2上，故A、C不合题意；
把x=m+1代入y=a(x+1)2得a(m+2)2≠n，故点(m+1,n)不在抛物线y=a(x+1)2上，故B不合题意；
把x=m−1代入y=a(x+1)2得a(m−1+1)2=am2=n，故点(m−1,n)在抛物线y=a(x+1)2上，D符合题意；
故选：D．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P(m,n)代入y=ax2(a≠0)即可求出n=am2，然后将四个选项中的坐标代入y=a(x+1)2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
16.【答案】A
【解析】解：∵当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D，
∴EC=FD=AB=12，
∵OB=5，
∴CD=2×5=10，
∴FC=FD−CD=12−10=2，OE=EC+OC=12+5=17，
∴OF=CF+OC=2+5=7，
当AB与⊙O相切时，
∴OB⊥AB，
∴AO= AB2+OB2=13，
∴EA=OE−OA=17−13=4，
∴①对．
当OB⊥CD时，
∴OA= AB2−OB2= 119，
∴AF=OA−OF= 119−7，
∴②错．
故选：A．
由题意得到EC=FD=AB=12，CD=2×5=10，求出FC=FD−CD=2，OE=EC+OC=17，OF=CF+OC=2+5=7.当AB与⊙O相切时，得到OB⊥AB，由勾股定理求出AO= AB2+OB2=13，得到EA=OE−OA=17−13=4，当OB⊥CD时，由勾股定理求出OA= AB2−OB2= 119，即可得到AF=OA−OF= 119−7，
本题考查勾股定理，切线的性质，直线与圆的位置关系，关键是由勾股定理求出AO的长．
17.【答案】y=−x2(答案不唯一)
【解析】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是y=ax2(a为常数且a<0)，
故取a=−1时答案为：y=−x2．
故答案为：y=−x2(答案不唯一)．
根据开口向下，可知a<0，再根据经过原点，可知c=0，从而可以写出一个符合要求的二次函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18.【答案】135° 2 2
【解析】解：∵多边形AiA2A1A2…A8为正八边形，
∴这个八边形的所有内角相等，
∴∠A8=(n−2)×180°8=135°，
如图，连接OA6，OA4，OA5，
则∠A6OA4=2×360°8=90°，
而OA6=OA4=2，
∴A4A6=2 2．
故答案为：135，2 2．
由于多边形是正八边形，所以各个内角相等，然后利用多边形的内角和定理即可求出∠A8，然后连接OA6，OA4，求出中心角即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，同时也利用了圆周角、圆心角等知识点，解题的关键是熟练掌握多边形的性质．
19.【答案】4 −1
【解析】解：∵x=1和x=3时，函数值都是m，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴−n−2=2，
解得：n=4，
∴y=−x2+4x+c．
将(2,3)代入函数表达式得：
−22+4×2+c=3，
解得：c=−1，
∴二次函数的表达式为y=−x2+4x−1．
将x=0代入y=−x2+4x−1得：
y=−1，即a=−1．
故答案为：4；−1．
根据表格中的数据，可得出抛物线的对称轴，进而求出n，再将点(2,3)代入可求出c，即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能根据表格中的数据得出抛物线的对称轴是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)令y=0，即x(x−1)=0，
解得x1=0，x2=1，
∴该抛物线与x轴的交点的坐标(0,0)，(1,0)；
(2)不在，理由如下：
当x=−2时，y=−2×(−2−1)=6，6≠5，
∴二次函数的图象不经过点(−2,5)．
【解析】(1)令y=0，解关于x的一元二次方程即可求出该抛物线与x轴的交点的坐标；
(2)把x=−2代入二次函数计算，若y=5，则点P(−2,5)在二次函数图象上，如y≠5，则不在．
本题主要考查二次函数的性质以及点与二次函数图象的关系，掌握二次函数解析式的求解方法，能通过计算判断点与二次函数图象的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：在⊙O中，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD=CE．
【解析】首先根据等弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠OC，然后利用角平分线的性质定理求解即可．
此题考查了等弧所对的圆心角相等，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22.【答案】×
【解析】解：小胡的解答过程不正确．
故答案为：×；
正确的解答过程为：
根据题意知，二次函数y=x2−2x+3的图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∵−2≤x≤2，
∴当x=1时，y取得最小值，此时y=1−2+3=2，
当x=−2时，y取得最大值，此时y=4+4+3=11，
∴当−2≤x≤2时，函数y的取值范围为2≤y≤11．
根据二次函数的性质可判断小胡的求解过程是否正确，然后根据二次函数的性质解答即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答的关键是熟练掌握二次函数性质，特别要注意x的取值范围．
23.【答案】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD=12AB，AE=12AC
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵∠ADO=∠A=∠AEO=90°，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OE=AE，
连接OA，

∵AC=4 2，
∴AE=12AC=2 2，
在Rt△AOE中，OA=2 2× 2=4，
∴⊙O的半径是4．
【解析】根据垂径定理求出AD=AE，根据题意推出四边形ADOE是正方形，根据正方形的性质得到OE=AE，根据垂径定理求出AE=2 2，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把M(−2,3)代入y=−x2+bx+3得：
−4−2b+3=3，
解得b=−2；
(2)∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4．
∴设平移后抛物线解析式为：y=−(x+1+a)2+4，
把点(0,0)代入，得−(0+1+a)2+4=0．
解得a=−3或1．
故将该抛物线向左平移1个单位或向右平移3个单位，使其经过坐标原点．
【解析】(1)把点M(−2,3)代入求值即可求得抛物线解析式，可得结论；
(2)设平移后抛物线解析式为：y=−(x+1+a)2+4，然后将点(0,0)代入求得a的值．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
25.【答案】解：(1)连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
AC=12AB=12×10=5(cm)，
∵⊙O直径是8cm，
∴OC=4cm，
∴OA= OC2+AC2= 41(cm)．
(2)∵sinA=12，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴MC的长=60π×4180=4π3(cm)．
【解析】(1)由切线的性质定理得到OC⊥AB，由等腰三角形的性质求出AC=12AB=5(cm)，由勾股定理即可求出OA的长；
(2)由sinA=12，得到∠A=30°，求出∠AOC=60°，由弧长公式即可求出MC的长．
本题考查
26.【答案】解：任务1：设抛物线的表达式为：y=at2+bt+m，
将(0,0)、(2,10)、(4,16)代入上式得：
m=04a+2b+m=1016a+4b+m=16，解得：a=−12b=6m=0，
则y=−12t2+6t；
任务2：由x=3t得：t=13x，
将t=13x代入y=−12t2+6得：y=−118x2+2x，
令y=−118x2+2x=0，
解得：x=0(m)(舍去)或36(m)，
即飞机飞行的水平距离为36m；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时抛物线的表达式为：y=−118x2+2x+c，
当x=AP=42时，y=−118×(42)2+2×42+c=0，
解得：c=14，
当x=BP=(18 2−24)+42=18 2+18时，y=−118×(18 2+18)2+2×(18 2+18)+c=0，
解得：c=18，
即14故发射台弹射口高度为：15m或16m或17m．
【解析】任务1：设抛物线的表达式为：y=at2+bt+m，由待定系数法即可求解；
任务2：由x=3t得：t=13x，得：y=−118x2+2x，即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：y=−118x2+2x+c，当x=AP=42时，y=−118×(42)2+2×42+c=0，解得：c=14；当x=BP=(18 2−24)+42=18 2+18时，同理可解．
本题为二次函数综合题，主要考查的是二次函数的实际应用，正确理解题意和题设中术语的意义是解题的关键．x
…
0
1
2
3
…
y
…
a
m
3
m
…
解：
当x=−2时，则y=(−2)2−2×(−2)+3=11；
当x=2时，则y=22−2×2+3=3；
所以函数y的取值范围为3≤y≤11．
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
…