2023-2024学年内蒙古通辽市科中旗重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

展开

这是一份2023-2024学年内蒙古通辽市科中旗重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a∈R，“幂函数f(x)=xa−1在(0,+∞)上为增函数”是“指数函数g(x)=(2a−3)x为增函数”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，B={2,3}，则A∩(∁UB)=( )
A. {4,5}B. {2,3}C. {1}D. {2}
3.命题“∃x∈R，x2>x”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2C. ∀x∈R，x2≤xD. ∃x∈R，x2≤x
4.设集合A={0,1,2,3}，B={1,2,3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3}B. {0,3}C. {1,2,3}D. ⌀
5.已知a=ln0.3，b=30.3，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>c>aB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a
6.把23π弧度化成角度是( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
7.若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )
A. sinα−tanαB. sinα+csαC. tanα+sinαD. csα−tanα
8.函数y=lg13(−x2+2x+3)的单调增区间是( )
A. (−1,1]B. (−∞,1)C. [1,3)D. (1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，哪些函数的图象关于y轴对称( )
A. y=x+1xB. y=2x2+1C. y= |x|D. y=x−1x
10.作函数y=e1−x2的图象，下列中不正确的是( )
A. B. C. D.
11.设b>a>0，则下列不等关系正确的是( )
A. 1b<1aB. ba12.设α为第二象限角，则2α可能是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数g(x+3)=2x+3，则g(3)=______．
14.已知指数函数y=ax(其中a>1)在闭区间[1,2]上的最大值比最小值大a3，则实数a=______．
15.已知tanα=43，则sinα+csαsinα−csα=______．
16.已知α是第三象限角，sinα=−513，则cs(π−α)= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P(−35,−45).求sin(α+π)的值．
18.(本小题12分)
求值：
(1)(−1.8)0+(32)−2×3(338)2−1 0.01+ 93；
(2)2lg32−lg3329+lg38+lg927+4lg413．
19.(本小题12分)
化简求值．
(1)计算：sin(−14π3)−cs(−29π6)+tan(−53π6)+sin(19π2)−cs25π．
(2)化简：sin(2π−α)cs(3π+α)cs(32π+α)sin(−π+α)sin(12π+α)．
20.(本小题12分)
(1)解不等式−2x2−x+1<0；
(2)若不等式ax2−x+b<0的解集为(12,1)，求实数a，b的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a+2．
(1)求a的值；
(2)设g(x)=a2xa2x+2，求g(x)+g(1−x)的值；
(3)设h(x)=a−x2+4x−2，求h(x)的值域．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x21+x2(x≠0)．
(1)分别计算f(2)+f(12)，f(3)+f(13)的值；
(2)证明你发现的规律并利用规律计算f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)+f(12)+f(13)+⋅⋅⋅+f(12022)的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：a∈R，∵幂函数f(x)=xa−1在(0,+∞)上为增函数，
∴a−1>0，解得a>1，
∴2a−3>−1，指数函数g(x)=(2a−3)x不一定为增函数，
∵指数函数g(x)=(2a−3)x为增函数，
∴2a−3>1，解得a>2，
此时幂函数f(x)=xa−1在(0,+∞)上为增函数，
∴a∈R，“幂函数f(x)=xa−1在(0,+∞)上为增函数”
是“指数函数g(x)=(2a−3)x为增函数”成立的必要不充分条件．
故选：B．
幂函数f(x)=xa−1在(0,+∞)上为增函数时a>1，指数函数g(x)=(2a−3)x不一定为增函数；指数函数g(x)=(2a−3)x为增函数时，a>2，幂函数f(x)=xa−1在(0,+∞)上为增函数，由此能求出结果．
本题考查充分条件、必要条件、充分条件的判断，考查幂函数、指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，B={2,3}，
∴∁UB={1,4,5}
A∩∁UB={1,2}∩{1,4,5}={1}
故选：C．
利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB
本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．
3.【答案】C
【解析】解：命题“∃x∈R，x2>x”的否定是∀x∈R，x2≤x．
故选：C．
直接利用含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为集合A={0,1,2,3}，B={1,2,3}，所以A∩B={1,2,3}．
故选：C．
集合A与集合B都是含有三个元素的集合，且有一个公共元素1和2，所以A∩B可求．
本题考查了交集及其运算，两个集合的交集是有两个集合的公共元素组成的集合，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵a=ln0.3b=30.3>30=1，
0∴a，b，c的大小关系是b>c>a．
故选：A．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
6.【答案】D
【解析】解：因为π=180°，所以23π=23×180°=120°．
故选：D．
利用弧度制与角度制的转化可得解．
本题主要考查了角度与弧度的相互转化，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵α是第二象限的角，
∴−1∴tanα+sinα=sinα(1+1csα)<0．
故选：C．
由α为第二象限的角，得到−1本题考查了三角函数的符号，考查了同角三角函数的基本关系式，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：令t=−x2+2x+3，
由−x2+2x+3>0，得−1函数t=−x2+2x+3的对称轴方程为x=1，
二次函数t=−x2+2x+3在[1,3)上为减函数，
而函数y=lg13t为定义域内的减函数，
∴函数y=lg13(−x2+2x+3)的单调增区间是[1,3)．
故选：C．
由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．
本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，y=x+1x为奇函数，图象关于原点对称，故A不符合题意；
对于B，y=2x2+1为偶函数，图象关于y轴对称，故B符合题意；
对于C，y= |x|为偶函数，图象关于y轴对称，故C符合题意；
对于D，y=x−1x为奇函数，图象关于原点对称，故D不符合题意；
故选：BC．
根据题意，分析各个选项函数的奇偶性即可得答案．
本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：令y=f(x)=e1−x2，x∈R，
∵f(−x)=f(x)，
∴y=e1−x2为偶函数，其图象关于y轴对称，A、B错误；
又y=e1−x2>0，D错误；
综上，不正确的是ABD．
故选：ABD．
令y=f(x)=e1−x2，x∈R，分析其奇偶性，得到A、B错误；再利用y=e1−x2>0，得到D错误，从而可得答案．
本题考查函数的图象与图象的变换，考查推理能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为b>a>0，故1b<1a，故A正确；
因为b>a>0，故1a>1b>0，故ba>ab>0，B错误；
由b>a>0，不等式两边同时除以b，可得0由b>a>0可得b2>ab>0，故b2a>a2b>0，D正确．
故选：ACD．
根据不等式的性质一一判断各选项，即可得答案．
本题主要考查不等式的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：因为α为第二象限角，
所以2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z)，
所以4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z)，
所以2α可能是第三象限角，也可能是第四象限角．
故选：CD．
由已知结合象限角的表示即可求解．
本题考查象限角的概念，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
13.【答案】3
【解析】解：∵g(x+3)=2x+3，
∴g(3)=g(0+3)=2×0+3=3，
故答案为：3．
由x+3=3，得x=0，代入函数的解析式求出即可．
本题考查了函数求值问题，是一道基础题．
14.【答案】43
【解析】【分析】利用指数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数的单调性，是基础题．
【解答】
解：∵a>1，
∴指数函数y=ax(其中a>1)在闭区间[1,2]上单调递增，
∴a2−a=a3，
解得a=43，
故答案为：43．
15.【答案】7
【解析】解：∵tanα=43，
∴sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=43+143−1=7．
故答案为：7．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】1213
【解析】解：因为α是第三象限角，sinα=−513，
所以csα=− 1−sin2α=−1213，
则cs(π−α)=−csα=1213．
故答案为：1213．
由已知利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：由角α的终边过点P(−35,−45)，得sinα=−45，
所以sin(α+π)=−sinα=45．
【解析】先求出sinα=−45，再求sin(α+π)的值．
本题主要考查三角函数的坐标定义和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
18.【答案】解：(1)(−1.8)0+(32)−2×3(338)2−1 0.01+ 93=1+94×49−10+27=19．
(2)2lg32−lg3329+lg38+lg927+4lg413=lg34×932×8+32lg33+13=2+32+13=332．
【解析】(1)根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查指数函数的公式，以及对数函数的公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)sin(−14π3)−cs(−29π6)+tan(−53π6)+sin(19π2)−cs25π=sin(−14π3+4π)−cs(29π6)+tan(−53π6+8π)+sin(19π2−8π)−cs(25π−24π)
=sin(−2π3)−cs(29π6−4π)+tan(−5π6)+sin(3π2)−csπ=− 32+ 32+ 33−1+1= 33．
(2)sin(2π−α)cs(3π+α)cs(32π+α)sin(−π+α)sin(12π+α)=−sinα⋅(−csα)⋅sinα−sinα⋅csα=−sinα．
【解析】由题意，根据诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，特殊角的三角函数值，属于基础题．
20.【答案】解：(1)−2x2−x+1<0即2x2+x−1>0，
则(2x−1)(x+1)>0，解得x>12或x<−1，
即不等式的解集为{x|x>12或x<−1}；
(2)不等式ax2−x+b<0的解集为(12,1)，
∴方程ax2−x+b=0的解为12和1，
∴14a−12+b=0a−1+b=0，
解得a=23，b=13．
【解析】(1)把原不等式的左边分解因式后，在不等式两边都除以−1，不等式号方向改变，然后把不等式化为2x−1与x+1同号，即可得原不等式的解集．
(2)根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值即可．
此题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系应用问题，考查了转化的思想，是一道基础题．
21.【答案】解：(1)由于ax与lga(x+1)的单调性相同，
∴f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上为单调函数，
∴f(0)+f(1)=a0+lga(0+1)+a1+lga(1+1)=a+2，
解得：a=2；
(2)由(1)知g(x)=22x22x+2=4x4x+2，
∴g(1−x)=41−x41−x+2=44+2×4x=24x+2，
∴g(x)+g(1−x)=4x4x+2+24x+2=1；
(3)由(1)知h(x)=2−x2+4x−2，
∵−x2+4x−2=−(x−2)2+2，∴−x2+4x−2≤2，
∴0<2−x2+4x−2≤4，
得h(x)的值域为(0,4]．
【解析】(1)判断f(x)为单调函数，得f(x)的最值在[0,1]端点上取到，直接计算f(0)+f(1)=a+2解得a的值；
(2)代入a=2，直接计算g(x)+g(1−x)即可；
(3)代入a=2，先求出−x2+4x−2的值域，进而得到h(x)的值域．
本题考查指数函数，对数函数的单调性及最值问题，考查学生的计算能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)f(2)+f(12)=221+22+(12)21+(12)2=45+15=1，
f(3)+f(13)=321+32+(13)21+(13)2=910+110=1．
(2)由f(x)=x21+x2，可得f(1)=12，
f(x)+f(1x)=x21+x2+(1x)21+(1x)2=x21+x2+11+x2=1+x21+x2=1，
故f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)+f(12)+f(13)+⋯+f(12022)
=f(1)+[f(2)+f(12)]+[f(3)+f(13)]+⋯+[f(2022)+f(12022)]
=12+2021=40432．
【解析】(1)将数字代入解析式计算即可；
(2)先证明f(x)+f(1x)=1，再利用此结论分组求和即得答案．
本题考查指数函数的运算，属于基础题．