2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设{an}是等比数列，且a1+a3=3，a3+a5=6，则a9+a11=( )
A. 24B. 36C. 48D. 64
2.已知椭圆C：x225+y29=1的左焦点为F，P为C上任意一点，则|PF|的最大值为( )
A. 5B. 9C. 10D. 18
3.若直线y=kx+2k与曲线y= 1−x2有两个不同的交点，则k的取值范围是( )
A. (− 33, 33)B. [0, 33)C. [− 3, 3]D. [0, 3)
4.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为( )
A. 110B. 114C. 124D. 125
5.数列{an}通项公式为an=3n−27，则其前n项和Sn的最小值为( )
A. −105B. −108C. −115D. −118
6.已知点P为直线l：x=−2上任意一点，从点P作抛物线y2=4x的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2+y1y2=( )
A. −4B. 4C. −3D. 3
7.已知直线y=−x+1与双曲线C：x2m−y2=1交于不同两点A，B，O为坐标原点.若三角形AOB的重心在直线2x+3y=0上，则其离心率的值为( )
A. 133B. 53C. 153D. 139
8.数列{an}中，a1=3,an+1=(1+1n)an+2n+2，若∀n∈N*，都有λn9nan−8n≥0恒成立，则实数λ的最小值为( )
A. 83B. 15×(89)7C. 17×(89)8D. 19×(89)9
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )
A. 若点(n,an)在函数y=kx+b(k,b为常数)的图象上，则{an}为等差数列
B. 若{an}为等差数列，则{3an}为等比数列
C. 若{an}为等差数列，a1>0，S11>0，S120)的焦点，且与C交于A，B两点，l为C的准线，则( )
A. p=1B. |AB|=8
C. 以AB为直径的圆与l相切D. S△AOB=4
11.已知P为双曲线C：x2−y28=1上一点，F1，F2为其左右焦点，则( )
A. 若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为4 3
B. 若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的周长为6+2 17
C. 双曲线C上存在一点R，使得|RF1|，|RO|，|RF2|成等差数列
D. |PF1||PF2|+|PF2||PF1|有最大值52
12.已知数列{an}满足an+2=an+4,n为奇数3an,n为偶数,a1=1,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和，则下列说法正确的有( )
A. 当n为奇数时，Sn=n2+n−3+( 3)n+12
B. 设bn=a2n−1a2n+2，则数列{bn}的前n项和Pn小于37
C. 设cn=a2n，则数列{cn(cn−1)(cn+1−1)}的前n项和Tn小于14
D. 设dn=a2n−1，则数列{1dn(dn+1+1)}的前n项和Rn小于1360
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1025=40482023−a999，则S2023= ______ ．
14.已知直线l：y=x+2，圆O：x2+y2=1，则圆O上任意一点到直线l的距离的最小值为______ ．
15.已知数列{an}的前项和为Sn，且2Sn=an+n2，则S20= ______ ．
16.已知点P(3,1)在椭圆C：x212+y24=1上，直线l交椭圆C于M，N两点，且∠MPN=90°，若PQ⊥l，垂足为Q，则|PQ|的最大值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(− 5,0),F2( 5,0)，||MF1|−|MF2||=4，动点M的轨迹为C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)若直线l：y=−34x+t交C于A，B两点，且|AB|=2 11，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an−2n+1．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn=an2，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且C过点( 3,12)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设过点P(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且PB=32PA，求直线l的斜率．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=1，对任意的n∈N*，都有an+1−an=2an2n−1．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn=3nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足an+2=3an+1−2an，且a1=1，a2=3．
(Ⅰ)求证：数列{an+1−an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求证：1a1+1a2+1a3+…+1an0)的焦点F与椭圆y22+x2=1的一个焦点重合，A，B是抛物线C上位于y轴两侧不对称的两动点，且OA⋅OB=12．
(Ⅰ)求证：直线AB恒过一定点M，并求出该点坐标；
(Ⅱ)若点N为y轴上一定点，且∠ANO=∠BNO；
①求出N点坐标；
②当F为△ABN的内心时，求△ABN重心的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}中，设公比为q，
∵a1+a3=3，a3+a5=6，
∴a3+a5a1+a3=a1q2+a3q2a1+a3=q2=2，
∴a9+a11=(a1+a3)q3=3×24=48．
故选：C．
根据已知条件求出公比，即可求出a9+a11的值．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题易知F(−4,0)，设P(x0,y0)，x0∈[−5,5]，则x0225+y029=1可得y02=9(1−x0225)，
∴|PF|= (x0−4)2+y02= x02−8x0+16+y02= x02−8x0+16+9(1−x0225)= 16x0225−8x0+25= 1625(x0−254)2，
由二次函数性质可得当x0=−5时，|PF|取得最大值为9．
故选：B．
由标准方程求得F(−4,0)，设P(x0,y0)并利用两点间距离公式可得|PF|= (x0−4)2+y02= 1625(x0−254)2，结合二次函数性质可求得其最大值为9．
本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
由圆心到直线的距离d=|2k| k2+1=1，可得k=± 33，根据直线y=kx+2k与曲线y= 1−x2有两个不同的交点，即可得出结论．
【解答】
解：由y= 1−x2得x2+y2=1，(y≥0)，对应的轨迹为上半圆，
直线y=kx+2k过定点A(−2,0)，
由圆心到直线的距离d=|2k| k2+1=1，可得k=± 33，
若直线y=kx+2k与曲线y= 1−x2有两个不同的交点，
则0≤k< 33，
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，
可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6
=4−2+8−2+16−2+32−2+64−2=(4+8+16+32+64)−10=114．
故选：B．
由题意写出数列的前15项计算可得所求和．
本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：an=3n−27，
则an+1−an=3n−24−(3n−27)=3，a1=−24，
故数列{an}是以−24为首项，3为公差的等差数列，
a8=−3，a9=0，a10=3，且{an}为递增数列，
故前n项和Sn的最小值为：S9=9×(a1+a9)2=−108．
故选：B．
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为点P为直线l：x=−2上任意一点，从点P作抛物线y2=4x的两条切线，
所以切线的斜率一定存在且不为零，
取点P(−2,0)，设切线PA的方程为：x=my−2，
由x=my−2y2=4x，得y2−4my+8=0，
Δ=16m2−32=0，解得m=± 2，
由抛物线的对称性，不妨取m= 2，则y=2 2，x=2，
即点A(2,2 2)，由对称性可知点B(2,−2 2)，
故x1x2+y1y2=4−8=−4．
故选：A．
特殊值法，取点P为(−2,0)，分别求出直线PA的方程，进而求出点A的坐标，根据抛物线的对称性即可求出点B的坐标，进而求得结果．
本题考查直线与抛物线的位置关系，定值问题，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：联立直线与曲线方程有y=−x+1x2m−y2=1，得(1−m)x2+2mx−2m=0，
因为直线与双曲线有两个交点，则1−m≠0Δ>0，Δ=4m2−4(1−m)(−2m)=−4m2+8m>0，
解得00，则a1+a11=2a6>0，
又S12=(a1+a12)×122