北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题（含答案）

这是一份北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，，则
（A）（B）（C）（D）
（2）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为
（A）（B）（C）（D）
（3）已知直线，直线，且，则
（A）1（B）（C）4（D）
（4）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则
（A）（B）4（C）5（D）
（5）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为
（A）4（B）2（C）（D）
（6）已知，直线与交于，两点．若为直角三角形，则
（A）（B）（C）（D）
（7）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为
（A）10（B）（C）2（D）
（8）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）已知是公比为的等比数列，为其前项和．若对任意的，恒成立，则
（A）是递增数列（B）是递减数列
（C）是递增数列（D）是递减数列
（10）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成．设，，则上顶的面积为
（参考数据：，）
（A）（B）（C）（D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在的展开式中，的系数为__________．
（12）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________．
（13）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________．
（14）已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为，则能使得为某一个等差数列的前项和的一组，的值为__________，__________．
（15）已知函数．给出下列四个结论：
①任意，函数的最大值与最小值的差为2；
②存在，使得对任意；
③当时，对任意非零实数，；
④当时，存在，使得对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（17）（本小题14分）
在中，．
（I）求的大小；
（II）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．
条件①：的面积为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（I）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（II）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（III）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系．
（19）（本小题15分）
已知椭圆过点，焦距为．
（I）求椭圆的方程，并求其短轴长；
（II）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点．设直线的斜率为，求的最大值．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（I）当时，求证：
①当时，；
②函数有唯一极值点；
（II）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值．
（21）（本小题15分）
对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数．
（I）对以下两个数表，，写出，，，的值；

（II）若中恰有个正数，中恰有个正数．
求证：；
（III）当时，求的最小值．
海淀区2023-2024学年第一学期期末练习
高三数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）D （5）C
（6）A （7）D （8）B （9）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）2 （13） （14）1 1（答案不唯一） （15）②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（I）连接．
在四棱柱中，侧面为平行四边形，
所以，．
因为，，为中点，
所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形．
所以．
因为平面，
所以平面．
（II）在正方形中，．
因为平面平面，
所以平面．
所以．
因为，平面，与相交，
所以平面．
所以．
如图建立空间直角坐标系．
不妨设，则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则即
令，则，．于是．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（17）（共14分）
解：（I）由正弦定理及，得．①
因为，
所以．②
由①②得．
因为，所以．
所以．
因为，
所以．
（II）选条件②：．
由（I）知，．
所以
．
所以．
因为，所以．
所以，即．
所以是以为斜边的直角三角形．
因为，
所以．
所以边上的中线的长为1．
选条件③：．
由余弦定理得．
设边上的中线长为，由余弦定理得
．
所以边上的中线的长为1．
（18）（共13分）
解：（I）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则．
（II）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．
所以的所有可能取值为0，1，2．
，，．
所以的分布列为
所以．
（III）．
（19）（共15分）
解：（I）由题意知，．
所以，．
所以椭圆的方程为，其短轴长为4．
（II）设直线的方程为，，，则．
由得．
所以．
由得直线的方程为．
由得．
因为，
所以，．
所以．
因为为的中点，且，
所以．
所以直线的斜率
．
当时，．
当时，
因为，当且仅当时，等号成立．
所以．
所以当时，取得最大值．
（20）（共15分）
解：（I）①当时，．
记，则．
所以在上是增函数．
所以当时，．
所以当时，．
②由得，且．
当时，．
因为，，
所以．
因为对任意恒成立，
所以当时，．
所以0是的唯一极值点．
（II）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，，其斜率分别为，，则．
因为，
所以．
所以．
不妨设，则．
因为，
由“优切线”的定义可知．
所以．
由“优切线”的定义可知，
所以．
当，，时，取，，则
，，，，
符合题意．
所以．
（21）（共15分）
解：
（I），；，．
由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变．因为为奇数，，所以，均不为0．
（II）当或时，不妨设，即，．
若，结论显然成立；
若，不妨设，，则，，．
所以，结论成立．
当且时，不妨设，，，，
则当时，；当时，．
因为当，时，，，
所以．
所以．
同理可得：，，．
所以．
（III）当时，的最小值为．对于如下的数表，．
下面证明：．
设中恰有个正数，中恰有个正数，．
①若或，不妨设，即，．
所以当时，．
由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则，且
，．
所以．
②由①设且．若或，不妨设，则由（II）中结论知：．
因为，
所以．
③由①②设且．
若，则由（II）中结论知：．
因为，
所以．
若，，不妨设，，，且，由（II）中结论知：．所以．
若数表中存在为1，将其替换为后得到数表．
因为，，
所以．
所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小．
所以不妨设．
因为，，
所以．
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1