河南省许昌市建安区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省许昌市建安区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（1-8为单选择题，每题5分，共计40分）
1.若向量，向量，则向量（ ）
A.B.C.D.
2.已知数列1，，，，3，，…，，...，则是这个数列的（ ）
A.第1011项B.第1012项C.第1013项D.第1014项
3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知直线，，，若且，则（ ）
A.B.10C.D.2
5.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）
A.1B.C.D.
6.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A.60°B.90°C.105°D.75°
7.直线与曲线有两个交点，则实数b取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（9—12为多选题，选不全得2分，错选为0分，全对得5分，共计20分）
9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A.直线l的倾斜角是B.若直线，则
C.点到直线l的距离是2
D.过与直线l平行的直线方程是
10.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知双曲线与椭圆的一个交点为M，A、B分别是双曲线的左、右顶点，S、T分别是椭圆的左、右顶点，则（ ）
A.直线与直线的斜率之积为1B.若，则
C.若，则D.若的面积为，则
12.在如图所示的四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点Q是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.平面B.与平面所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
D.四棱锥的外接球的表面积为
三、填空题（每题5分，共计20分）
13.等比数列的前n项和为，若，，则公比q的值为________.
14.已知两点，，直线l过点且与线段有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.
15.已知直线l的方向向量且过点，则点到直线l的距离_________.
16.如图，点，为双曲线的左右焦点，点A、B、C分别为双曲上三个不同的点，且经过坐标原点O，并满足，，则双曲线的离心率为_________.
四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，写出必要的文字说明及解答过程，共计70分）
17.（本题10分）
设等差数列的前n项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.（本题12分）
在数列的首项为，且满足.
（1）求证：是等比数列.
（2）求数列的前n项和.
19.（本题12分）
如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，为正三角形，且平面平面，E为线段的中点，M在线段上.
（1）当M是线段的中点时，求证：平面；
（2）当时，求二面角的正弦值.
20.（本题12分）
已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列.
（2）若，求满足条件的最大整数n.
21.（本题12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且，求线段所在直线的方程.
22.（本题12分）
在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，数列满足，为数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求证：.
许昌市建安区重点中学高二年级12月月考
数学试题参考答案
一、选择题（1--8为单选择题，每题5分，共计40分）
二、多选题（9—12为多选题，选不全得2分，错选为0分，全对得5分，共计20分）
三、填空题
13.或1
14.
15.
16.
四、解答题
17、解（1）设等差数列的首项和公差分别为和d，
即
解得
，
（2）由（1）知.
当时；
当时，
当，时，，
当时，.
综上，
18、（1）由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
当n为偶数时，可得；
当n为奇数时，可得，
综上可得，.
19、（1）证明：如图，连接，交于点O，连接，由底面为菱形，得O为的中点，
又M为的中点，.
又平面，平面，平面.
（2）连接.为正三角形，E为的中点，
，又平面平面，平面平面，
平面，又底面为菱形，，E为线段的中点，
.以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，
又，即，可得，
，.
设平面的法向量为，
则，令，则.
由平面，得平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
20、（1）由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以
设数列的前n项和为，
则
，
若，即
因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数n的值为99.
21、解：（1）由已知可设椭圆标准方程为，得，
，，
所求椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知焦点M的坐标为.
当直线的斜率不存在时，验证可知不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设，，过A，B的直线方程为，
由得，
由得.
消去得，
解得，
所求直线的方程为或
22、解：（1）设等比数列的公比为，
由，且，，成等差数列，得，
即，，
解得或（舍去）﹒
，
.
（2）证明：由（1）知，，
，
令，则，
两式作差得
，
，即.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
C
D
B
C
A
题号
9
10
11
12
答案
CD
BC
ACD
BD