福建省莆田市城厢区重点学校2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题(含解析)

这是一份福建省莆田市城厢区重点学校2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题(含解析)，共15页。试卷主要包含了下列运算正确的是，如果a＝，若分式方程无解，则k的值为等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣2B．7×10﹣4C．7×10﹣3D．7×10﹣5
3．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（ ）边形．
A．9B．10C．11D．12
4．下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．a﹣5＝（a3）-2C．a3 ÷ a2＝a D．(x+y) 2=x2+y2
5．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则它的周长为（ ）
A．8或10B．8C．10D．6或12
6．如图，点B，E，C，F共线，AB∥DE，∠A＝∠D，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠ACB＝∠FC．BE＝CFD．AC＝DF
7．如图，E为△ABC边AC上一点，且CE＝CB，CD平分∠ACB，与BE相交于D，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5B．2C．1D．0.5
8．如果a＝（﹣π）0，b＝（﹣0.2）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三个数的大小为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a
9．若分式方程无解，则k的值为（ ）
A．-2B．2C．1D．﹣1
10．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二．填空题（每小题4分，总共24分）
11．若等式（a﹣3）0＝1成立，则实数a的取值范围是 ．
12．分解因式： -3a2 b +9ab2 c＝ ．
13．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝15°，则∠A的度数是 ．
15．已知4x2 +(k-3)xy+9y2 是完全平方式，则k= ．
16．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的是 ．
（1）F（48）＝；
（2）15和26是“吉祥数”；
（3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
（4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1．
三．解答题（8小题，总共86分）
17．计算：
（1）； （2）2024×2022﹣20232（用乘法公式计算）．
．
18．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
19．先化简，再求值： ÷再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
20．为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用420元购买甲种跳绳与用520元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
（1）利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；
②连接BE并延长交AP于点F．
（2）猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
22．阅读下列材料：
对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（2）＝＝．
（1）求值：f（3）+f（）＝ ；f（4）+f（）＝ ．
（2）猜想f（x）+f（）＝ ，并证明你的猜想；
（3）应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值：
f（2023）+f（2022）+f（2021）+…+f（2）+f（1）+…+f（）+…+f（）+f（）+f（）．
23．定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．
例如：
如图1，在△ABC中，
∵AD⊥BC于D，且BD＝AD，
∴△ACD是直角三角形，
△ABD是等腰三角形，
∴△ABC是等直三角形，
AD是△ABC的一条等直分割线段．
（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段；
（2）若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．
24．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB＝b，且b2﹣4a2＝0．
（1）直接写出∠BAO的度数；
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6，求点M的坐标；
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，连接AF交BC于点P，求的值．
参考答案与试题解析
选择题（共10小题）
1-5：ABDCC 6-10:BCBAB
10．【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，
∴P点在AD的垂直平分线上，
作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，
由对称性可知，B'P＝BP，
∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，
∵AD＝BB'，AD＝BC，
∴BB'＝BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB＝∠B'＝45°，
∴∠B'BP＝45°，
∴∠PBC＝45°，
故选：B．
填空题（共6小题）
11．a≠3 12．-3ab(a-3bc) 13．-10
14．50° 15.15或-9 16. （1）（2）（3）（4）
16．【解答】解：（1）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，而48﹣1＞24﹣2＞16﹣3＞12﹣4＞8﹣6，6×8是48的最佳分解，
∴F（48）＝＝，故正确；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59，故正确；
（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，
∵＞＞＞＞，
∴“吉祥数”中，F（t）的最大值为，故正确．
（4）∵m是一个完全平方数，
设m＝x2（x＞0），
∴x×x是m的最佳分解，
∴F（m）＝＝1，故正确；
故说法正确的有4个．
三．解答题（共9小题）
17．【解答】解：（1）
＝a2b4+a2b4
＝a2b4；
（2）2024×2022﹣20232
＝（2023+1）×（2023﹣1）﹣20232
＝20232﹣1﹣20232
＝﹣1．
18．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
又∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°，
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
19．【解答】解：原式＝[ ]•
＝•
＝，
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
则当x＝0时，原式＝＝﹣1．
20．【解答】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+10）元，
由题意得：
解得：x＝42，
经检验，x＝42是原方程的解，且符合题意，
则x+10＝52，
答：甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52．
21．【解答】解：（1）如图所示；
（2）AF∥BC，且AF＝BC，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，
由作图可得∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C＝∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E为AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF＝BC．
22．【解答】解：（1）f（3）+f（）
＝+
＝+
＝1，
f（4）+f（）
＝+
＝+
＝1，
故答案为：1，1；
（2）f（x）+f（）＝1，
f（x）+f（）
＝+
＝+
＝
＝1，
故答案为：1；
（3）原式＝[f（2023）+f（）]+[f（2022）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1+1+…+1+0.5
＝2022.5．
23．【解答】证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
又∵∠C＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD是△ABC的一条等直分割线段；
（2）如图，AD，AE是△ABC的两条等直分割线段，
∴AD＝BD，∠BAE＝90°，AE＝CE，∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
24．【解答】解：（1）Ⅰ的面积是×3×4＝6，内部格点数是N＝3，边上的格点数是L＝8，N+＝7，
Ⅲ的面积是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，内部格点数是N＝2，边上的格点数是L＝9，N+＝6.5．
故答案为：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．
（2）由（1）可以总结出结论：S＝N+﹣1，
故答案为：S＝N+﹣1．
（3）长方形的面积＝mn，内部格点数是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，边上的格点数是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），
∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，
∴S＝N+﹣1．
25．【解答】解：（1）∵点A（a，0）在x轴负半轴上，
∴AO＝﹣a，a＜0，
∵b2﹣4a2＝0，∴b+2a＝0或b﹣2a＝0，
∵AB＝b，
∴b+2a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴AB＝2OA，
在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，如图1所示：
∵点B在y轴正半轴上，
∴OB⊥AC，
∴AB＝BC，
又∵AC＝2OA，
∴AC＝AB，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAO＝60°；
（2）连接BM，如图2所示：
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，
∵∠BAO＝60°，
∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB，
∵∠ABO＝30°，
∴AO＝AB，
∴AD＝AO，
在△AQD和△APO中，
，
∴△AQD≌△APO（SAS），
∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，
即DQ⊥AB，
∴AM＝BM，
∴△ABM为等边三角形，
∴OM＝AB＝3，
∴M（3，0）；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，如图3所示：
则∠BCA＝∠FMB，
∵∠CBF＝∠AEB，
∴∠BEC＝∠MBF，
在△BEC和△FBM中，
，
∴△BEC≌△FBM（AAS），
∴EC＝BM，BC＝MF，
由（1）可知，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∴AC＝MF，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OC＝OA＝﹣a，
∴AC＝BC＝﹣2a，
又∵E是OC的中点，
∴OE＝EC＝﹣a＝BM，
∵MF∥AC，
∴∠ACP＝∠FMP，
在△PAC和△PFM中，
，
∴△PAC≌△PFM（AAS），
∴CP＝MP，
又∵MC＝BC+BM＝﹣2a﹣a＝﹣a，
∴BP＝MC﹣BM＝×（﹣a）﹣（﹣a）＝﹣a，CP＝MC＝﹣a，
∴＝＝．
多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
N+
Ⅰ




Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ




Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
15.5
11
11
16.5