2023-2024学年河南省洛阳市孟津重点中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市孟津重点中学高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数g(x)=lg3(x+1)的定义域为A，不等式x+2x−1≤0的解集为B，则A∩B=( )
A. (−1,1)B. [−2,−1)C. [−1,1)D. [−2,1)
2.已知α∈R，则“csα=0”是“sinα=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知命题p：∃x∈(0,4)，x<1或x>3，则命题的否定是( )
A. ∃x∈(0,4)，x≥1或x≤3B. ∃x∈(0,4)，1≤x≤3
C. ∀x∈(0,4)，x≥1或x≤3D. ∀x∈(0,4)，1≤x≤3
4.三个实数a=lg34，b=lg25，c=3−12的大小关系为( )
A. a5.若tan(π4+θ)=−13，则sin(π2+θ)(1−sin2θ)sin(π−θ)+cs(π+θ)=( )
A. 3B. 35C. 15D. −35
6.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=|lg3x|，若0A. (1.+∞)B. [1,+∞)C. (2 2,+∞)D. [2 2,+∞)
7.函数f(x)=ln|x−1||1−x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=lg( x2+10+x)，则f[lg(lg2)]+f[lg(lg25+1)]=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为幂函数y=f(x)的大致图象，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=x35
B. f(x)=x23
C. f(x)=x13
D. f(x)=x25
10.已知cs(α+β)=− 55，cs2α=−45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是( )
A. sin2α=35B. cs(α−β)=−225 5
C. csαcsβ= 510D. tanαtanβ=13
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π)的部分图象如图所示，有以下变换：
①向左平移π2个单位长度；
②向左平移5π6个单位长度；
③各点的横坐标变为原来的12倍；
④各点的横坐标变为原来的35倍.
则使函数y=2sinx的图象变为函数f(x)的图象的变换次序可以是( )
A. ③①B. ④①C. ①③D. ②④
12.已知函数f(x)对任意x，y∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(2)=−4，则下列结论中正确的是( )
A. f(1)=−2
B. f(x)是定义在R上的奇函数
C. f(x)在(−∞,+∞)上单调递增
D. 若f(x)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α是第三象限角，且tanα=2，则sinα+csα等于______ ．
14.已知某扇形的圆心角为3 rad，周长为10 cm，则该扇形的面积为______ cm2．
15.已知函数f(x)=ax2+bx+a(a>0)，f(1)=1，则f(1a)的最小值为______ ．
16.已知函数f(x)和g(x)是定义在R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=ax2+x+2，则f(x)=______；若对于任意1−2，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x−ax+1<0,x∈R}，B={x|−1≤x<1}．
(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知α，β为锐角，csα=35，cs(α+β)=− 55．
(1)求sin2α的值；
(2)求csβ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x−a⋅2x+1+3(a∈R)．
(1)若f(x)≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的单调递增区间是[0,+∞)，求a的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx−2mcs2x+m(m∈R)．
(1)若m=1，求f(x)的单调递减区间；
(2)若m= 3，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最值．
21.(本小题12分)
近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M(单位：t)，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m(单位：t)，火箭的飞行速度为v(单位：km/s)，初始速度为v0(单位：km/s)，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：v=v0+ω⋅ln(1+Mm)，其中ω是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设v0=0km/s，m=25t.(参考数据：e16.73≈261.56，ln80≈4.382)
(1)若ω=3km/s，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度(16.7km/s)时，求相应的M；(精确到小数点后一位)
(2)如果希望火箭飞行速度达到16.7km/s，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问ω的最小值为多少？(精确到小数点后一位)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=kx−lg2(2x+1)(k∈R)的图像关于y轴对称．
(1)求k的值；
(2)若函数g(x)=212x−f(x)−m⋅21+kx−1，x∈[0,lg29]，m∈R，求g(x)的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：函数g(x)=lg3(x+1)的定义域为A，不等式x+2x−1≤0的解集为B，
∴A={x|x>−1}，B={x|−2≤x<1}，
则A∩B={x|−1故选：A．
求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由csα=0，则sin2α=1−cs2α=1⇒sinα=±1，可知充分性不成立，
由sinα=1，则cs2α=1−sin2α=0⇒csα=0，可知必要性成立，
综上所述，“csα=0”是“sinα=1”的必要不充分条件．
故选：B．
根据同角三角函数的平方关系，结合必要不充分性的判断加以求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为：∀x∈(0,4)，1≤x≤3．
故选：D．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4.【答案】B
【解析】解：b=lg25>lg35>lg34=a>lg33=1，
c=3−12<1，
∴c故选：B．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：tan(π4+θ)=−13⇒1+tanθ1−tanθ=−13⇒tanθ=−2，
所以sin(π2+θ)(1−sin2θ)sin(π−θ)+cs(π+θ)=csθ(sinθ−csθ)2sinθ−csθ=csθsinθ−cs2θ=csθsinθ−cs2θsin2θ+cs2θ=tanθ−1tan2θ+1=−35．
故选：D．
根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可．
本题主要考查了和差角公式，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，−lg3m=lg3n，化简可得：mn=1．
∴2m+n≥2 2mn=2 2，当且仅当2m=n时，等号成立．
故2m+n的取值范围为[2 2,+∞)，
故选：D．
由题意可得，−lg3m=lg3n，化简可得mn=1，再利用基本不等式求得2m+n的范围．
本题主要考查带有绝对值的函数，基本不等式的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=ln|x−1||1−x|的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且图象关于x=1对称，排除B，C，
取特殊值，当x=12时，f(x)=2ln12<0，
故选：D．
求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．
本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=lg( x2+10+x)，
∴f(−x)=lg( x2+10−x)
∴f(x)+f(−x)=lg10=1．
则f[lg(lg2)]+f[lg(lg25+1)]=f[lg(lg2)]+f[lg(1lg2)]
=f[lg(lg2)]+f[−lg(lg2)]=1，
故选：B．
先由题意判断f(x)+f(−x)=lg10=1，再利用对数的运算性质，化简要求的式子，可得结果．
本题主要对数的运算性质，考查解决本题的关键细心观察自变量的相反关系，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A、C，f(x)=5x3，f(x)=3x，显然为奇函数，且指数在0到1之间，在第一象限是越增越慢的，故A、C正确；
对于B、D，f(x)=3x2，f(x)=5x2，显然为偶函数，故B、D错误．
故选：AC．
根据奇函数的性质，以及幂函数的性质，可得答案．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为cs(α+β)=− 55，cs2α=−45(α,β为锐角)，
故sin2α= 1−cs22α=35，故A正确；
因为sin(α+β)=2 55，
所以cs(α−β)=cs[2α−(α+β)]=cs2αcs(α+β)+sin2αsin(α+β)=−45×(− 55)+35×2 55=2 55，故B错误；
由cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=2 55，
cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=− 55，
故csαcsβ=12×[cs(α−β)+cs(α+β)]=12×(− 55+2 55)= 510，故C正确；
且sinαsinβ=12×[cs(α−β)−cs(α+β)]=12×(2 55+ 55)=3 510，所以tanαtanβ=3，故D错误．
故选：AC．
根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解．
本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，难度不大，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据函数的图象：f(0)=2sinφ=1，故sinφ=12，由于φ∈(0,2π)，故φ=π6或5π6；
由函数的图象，将函数y=2sinx的图象向左平移φ个单位长度，再将函数的图象上所有点的坐标变为原来的1ω倍，得到函数f(x)的图象，
所以−π2=(−5π6)⋅1ω，解得ω=53，
故函数f(x)=2sin(53x+5π6)；
①按照y=2sinx的图象各点的横坐标变为原来的35倍．得到函数y=2sin53x的图象，再将函数的图象向左平移π2个单位长度，得到y=2sin(53x+5π6)的图象，故B正确；
②按照y=2sinx的图象各点的横坐标向左平移5π6个单位长度，得到y=2sin(x+5π6)的图象，再将各点的横坐标变为原来的35倍，得到y=2sin(53x+5π6)的图象，故D正确．
故选：BD．
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
12.【答案】ABD
【解析】解：令x=y=1，得f(2)=2f(1)=−4，
解得f(1)=−2，故A正确；
令x=y=0，得f(0)=2f(0)，
解得f(0)=0；
令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)=0，
即f(x)是定义在R上的奇函数，故B正确；
不妨设x1，x2∈R，且x1>x2，
f(x1)−f(x2)=f(x1−x2+x2)−f(x2)=f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)，
∵x1−x2>0，∴f(x1−x2)<0，即f(x1)则f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，故C错误；
f(x)则f(x)max因为f(x)在[−2,2]上单调递减，所以f(x)max=f(−2)=−f(2)=4，
则有4化简得：m2−2am−3>0，
构造g(a)=−2ma+m2+3，a∈[−1,1]，
则g(a)>0在[−1,1]恒成立，
所以g(−1)>0且g(1)>0，
即m2−2m−3>0且m2+2m−3>0，
化简得：(m−3)(m+1)>0且(m+3)(m−1)>0，
解得：m>3或m<−3，故D正确；
故选：ABD．
利用赋值法判断出A，B选项；根据函数单调性的定义判断出C选项；利用函数的最值解决恒成立问题，判断出D选项．
本题考查抽象函数的性质，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
13.【答案】−3 55
【解析】解：∴tanα=2，即sinαcsα=2，sinα=2csα．
由于sin2α+cs2α=1，得出5cs2α=1，cs2α=15．
角α是第三象限角，所以csα=− 55，sinα=−2 55．
所以sinα+csα=−3 55
故答案为：−3 55．
由同角三角函数基本关系式分别求出sinα，csα再相加即可．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用：三角式求值．属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：设扇形半径为r，弧长为l，
则lr=3l+2r=10，解得r=2l=6，
扇形面积为S=12lr=12×6×2=6．
故答案为：6．
求出弧的半径和弧长后可得面积．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
15.【答案】2 2−2
【解析】解：由f(1)=1可得：a+b+a=1，则b=1−2a，
所以f(x)=ax2+(1−2a)x+a，
则f(1a)=a×1a2+(1−2a)×1a+a=2a+a−2≥2 2a⋅a−2=2 2−2，
当且仅当2a=a，即a= 2时取等号，此时最小值为2 2−2，
故答案为：2 2−2．
由f(1)=1可得：b=1−2a，然后求出f(1a)的关系式，再利用基本不等式化简即可求解．
本题考查了二次函数的性质以及基本不等式的应用，属于基础题．
16.【答案】x [−12,+∞)
【解析】解：根据题意，f(x)+g(x)=ax2+x+2，则f(−x)+g(−x)=ax2−x+2，
两式相加可得f(x)+f(−x)+g(x)+g(−x)=2ax2+4，
又由f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，
所以2g(x)=2ax2+4，即g(x)=ax2+2，f(x)=x．
若对于任意1−2，变形可得[g(x1)+2x1]−[g(x2)+2x2]x1−x2>0，
令h(x)=g(x)+2x，则h(x)=g(x)+2x在(1,2)上单调递增，
所以h(x)=g(x)+2x=ax2+2x+2，
若a=0，则h(x)=2x+2在(1,2)上单调递增，满足题意；
若a≠0，则h(x)=ax2+2x+2是对称轴为x=−1a的二次函数，
若h(x)在(1,2)上单调递增，只需a>0−1a≤1或a<0−1a≥2，解得a>0或−12≤a<0，
综上，a≥−12.即a的取值范围为：[−12,+∞)．
故答案为：x；[−12,+∞)．
由题意，根据构造方程的思想，结合奇偶函数的性质，可得函数解析式；根据单调性的定义，整理不等式，构造函数，分a=0和a≠0两种情况，结合一次函数和二次函数的性质，可得答案．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为A={x|(x−2)(x+1)<0}={x|−1故A∪B={x|−1≤x<2}．
(2)若A∩B=A，则A⊆B．
由于A={x|(x−a)(x+1)<0}，当a=−1时，A=⌀，符合A⊆B．
②a<−1，A=(a,−1)，不符合A⊆B，故舍去．
③a>−1，A=(−1,a)，结合A⊆B可得−1综上，实数a的取值范围为[−1,1]．
【解析】(1)解分式不等式可得A集合，后根据并集的定义运算即可．
(2)由题可得A⊆B，然后分类讨论，结合子集的定义即得．
本题主要考查分式不等式的解法，集合间的运算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为α为锐角，csα=35，
所以sinα= 1−cs2α= 1−925=45，
则sin2α=2sinαcsα=2×35×45=2425；
(2)由于α，β为锐角，则0<α+β<π，
又cs(α+β)=− 55⇒sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−15=2 55，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=− 55×35+2 55×45= 55．
【解析】(1)根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；
(2)根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可．
本题考查同角三角函数的基本关系以及和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可知，4x−a⋅2x+1+3≥0对x∈R恒成立，
令t=2x，则t>0，
∴t2−2at+3≥0对∀t∈(0,+∞)恒成立，
转化为2a≤t+3t对∀t∈(0,+∞)恒成立，
∵y=t+3t≥2 t⋅3t=2 3，当且仅当t=3t，即t= 3时，等号成立，
∴2a≤2 3，
∴a≤ 3，
即a的取值范围(−∞, 3]；
(2)函数f(x)=4x−a⋅2x+1+3，
令t=2x，则t=2x在[0,+∞)上单调递增，且t≥1，
g(t)=t2−2at+3在(−∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
∵函数f(x)的单调递增区间是[0,+∞)，而t∈[1,+∞)，
∴a=1．
【解析】(1)由题意可知，4x−a⋅2x+1+3≥0对x∈R恒成立，令t=2x，则t>0，转化为2a≤t+3t对∀t∈(0,+∞)恒成立，再利用基本不等式求出t+3t的最小值即可；
(2)函数f(x)=4x−a⋅2x+1+3，令t=2x，则t=2x在[0,+∞)上单调递增，且t≥1，再利用复合函数的单调性求解．
本题主要考查了函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，以及复合函数的单调性，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若m=1，函数f(x)=2sinxcsx−2mcs2x+m=2sinxcsx−2cs2x+1
=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4).
令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，k∈Z，求得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，k∈Z，
可得f(x)的单调递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8]，k∈Z．
(2)若m= 3，可得f(x)=2sin(2x−π3)，
将f(x)=2sin(2x−π3)的图象向左平移π12个单位长度后，
得到函数g(x)=2sin(2x+π6−π3)=2sin(2x−π6)的图象，
当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，
当2x−π6=−π6 即x=0时，g(x)取最小值为−1；
当2x−π6=π2即x=π3时，g(x)取最大值为2．
所以函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值为−1，最大值为2．
【解析】本题主要考查正弦函数的单调性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
(1)由题意利用三角恒等变化，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，求得函数g(x)在区间[0,π2]上的最值．
21.【答案】解：(1)由题意可得：v=3ln(1+M25)，
令v=3ln(1+M25)=16.7，则M=25(e16.73−1)≈6514.0(t)，
故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度(16.7km/s)时，相应的M为6514.0t；
(2)由题意可得：v=ω⋅ln(1+M25)=ω⋅lnM+2525，
令v=ω⋅lnM+2525=16.7，则ln(M+25)=16.7ω+ln25≤ln2000，
∴ω≥16.7ln2000−ln25=16.8ln80≈3.8，
故ω的最小值为3.8．
【解析】(1)根据题意可得v=3ln(1+M25)，令v=16.7运算求解；
(2)根据题意可得v=ω⋅lnM+2525，令v=16.7整理可得ln(M+25)=16.7ω+ln25，解不等式ln(M+25)≤ln2000即可得结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=kx−lg2(2x+1)(k∈R)的定义域为R，
由x∈R，且f(−x)=f(x)恒成立，可知−kx−lg2(12x+1)=kx−lg2(2x+1)恒成立，
化简得(2k−1)x=0，对任意x∈R恒成立，所以2k−1=0，解得k=12；
(2)由(1)知：f(x)=12x−lg2(2x+1)，
∴g(x)=2lg2(2x+1)−2m( 2)x−1=2x−2m( 2)x，x∈[0,lg29]
令t=( 2)x，t∈[1,3]，问题转化为求h(t)=t2−2mt，t∈[1,3]的最大值；
因为函数h(t)的图象是开口向上的抛物线，关于直线t=m对称，所以分两种讨论：
①当m≤2时，g(m)=h(3)=9−6m；②当m>2时，g(m)=h(1)=1−2m．
综上所述，g(x)的最大值g(m)=9−6m,m≤21−2m,m>2．
【解析】(1)根据偶函数定义结合对数的运算法则，求出实数k的值；
(2)由题意可得g(x)属于指数函数与二次函数的复合类型的函数，利用分类讨论求最值，即可得到本题的答案．
本题主要考查对数函数的图象与性质、二次函数在闭区间上的最值求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．