山东省济南市历城职业中等专业学校高三2023-2024学年上学期期末考试数学试卷

这是一份山东省济南市历城职业中等专业学校高三2023-2024学年上学期期末考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出）
1．（3分）若集合M＝{x|x2﹣1＝0}，N＝{x||x+1|≤1，x∈N}，则M∪N等于（ ）
A．{0}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
2．（3分）若a，b均为实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣b＞﹣aB．a2＞b2C．＞D．|a|＞|b|
3．（3分）设命题p：∅∈{0}，命题q：1≥1，则下列结论正确的是（ ）
A．p∨q为真B．p∧q为真C．p为真D．￢q为真
4．（3分）已知tanα＝，且α为第三象限角，则sin2α＝（ ）
A．B．C．﹣D．
5．（3分）已知函数f（x）在x∈R上为偶函数，在（﹣∞，0]为减函数，则下列各式正确的是（ ）
A．f（3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（﹣1）＞f（2）＞f（﹣3）D．f（﹣1）＞f（﹣2）＞f（3）
6．（3分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣8＝0，则圆上点到直线4x+3y+1＝0的最大距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（3分）在等差数列{an}中，已知a1＝2，a3+a7＝8，则S8的值为（ ）
A．26B．32C．30D．28
8．（3分）已知＜，＞＝90°，||＝3，|+|＝，则||＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
9．（3分）已知a，b，c∈R，则“ac＝b2”是“a，b，c为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（3分）点A，B为二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3与x轴的交点，点C为f（x）上一动点，且在第一象限中，则△ABC的最大面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
11．（3分）用0，1，2，3，4，5这6个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数（ ）
A．216B．156C．360D．144
12．（3分）若双曲线的一个焦点和抛物线y2＝﹣20x的焦点重合，虚轴长为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x
13．（3分）已知函数f（x）＝lgx，求f（2x+1）≤0的解集（ ）
A．[﹣，0]B．（﹣∞，0]C．（﹣，0]D．[﹣，]
14．（3分）已知函数f（x）＝ax3﹣2bx+1，a，b为非零常数，f（1）＝2，则f（﹣1）（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
15．（3分）已知直线x+y﹣3＝0与圆x2+y2﹣2y﹣3＝0相交于A，B两点，则线段AB长（ ）
A．B．2C．D．2
16．（3分）（x﹣）6的二项展开式中，常数项是（ ）
A．20B．﹣20C．160D．﹣160
17．（3分）满足线性约束条件，则线性目标函数z＝2x﹣y的最大值是（ ）
A．0B．3C．﹣3D．6
18．（3分）袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
19．（3分）点A在抛物线y2＝﹣8x上且为第三象限的点，它到准线的距离为4，则点A到x轴的距离（ ）
A．2B．2C．4D．2
20．（3分）在正方体中，BD1与B1C是（ ）
A．相交直线B．平行直线
C．异面直线D．相交且垂直的直线
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知一个扇形的半径为2，弧长为，则这个扇形的圆心角是 度。
22．（4分）已知向量＝（4m+2，6），＝（2，m），若向量，是反向向量，则m的值为 。
23．（4分）某校3个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组）。
已知用分层抽样的方法从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则★处的值为 。
24．（4分）一个正四棱锥的底边和侧棱长都是2，则它的体积为 。
25．（4分）在△ABC中，c＝，a＝1，acsB＝bcsA，则△ABC的面积为 。
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
26．（7分）已知二次函数f（x）满足f（0）＝1和f（x+1）﹣f（x）＝2x。
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值。
27．（7分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）。
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间。
28．（8分）如图，三棱柱中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC。
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）若AC＝2，且异面直线BB1与A1C所成的角为45°，点O为A1C中点，求点O到底面ABC的距离。
29．（8分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2﹣an。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn。
30．（10分）已知椭圆方程为+＝1，离心率e＝，且椭圆经过点（2，﹣3）。
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆以P（﹣1，2）为中点的弦所在直线的方程。
山东省济南市历城职业中等专业学校2022-2023学年高三上学期
期末考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出）
1．（3分）若集合M＝{x|x2﹣1＝0}，N＝{x||x+1|≤1，x∈N}，则M∪N等于（ ）
A．{0}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
【分析】先求解出集合M，N，再利用并集的运算求出M∪N。
【解答】解：集合M＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，
集合N＝{x||x+1|≤1，x∈N}＝{0}，
M∪N＝{﹣1，0，1}，
故选：D。
【点评】本题考查并集的运算，属于基础题。
2．（3分）若a，b均为实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣b＞﹣aB．a2＞b2C．＞D．|a|＞|b|
【分析】根据不等式的基本性质求解即可。
【解答】解：∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，A选项正确，
当a＝2，b＝﹣2时，a2＝b2，|a|＞|b|，，BCD选项错误，
故选：A。
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键在于掌握不等式的基本性质，为基础题。
3．（3分）设命题p：∅∈{0}，命题q：1≥1，则下列结论正确的是（ ）
A．p∨q为真B．p∧q为真C．p为真D．￢q为真
【分析】根据命题逻辑基本性质求解即可。
【解答】解：∵∅是个集合，{0}是个集合，
∴∅⊆{0}，
∵命题p：∅∈{0}是假命题，命题q：1≥1为真命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢q为假命题，
故选：A。
【点评】本题主要考查命题逻辑，解题的关键在于掌握命题逻辑的判断和基本性质，为基础题。
4．（3分）已知tanα＝，且α为第三象限角，则sin2α＝（ ）
A．B．C．﹣D．
【分析】先将sin2α用二倍角公式展开，再根据同角三角函数的平方关系将原式构造成分式结构，利用同角三角函数的商数关系将分子分母同时除以cs2α，变成只关于tanα的式子，再代入tanα＝进行求值即可。
【解答】解：因为tanα＝，且α为第三象限角，
所以sin2α＝2sinαcsα＝＝＝＝，
故选：D。
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了同角三角函数的基本关系以及齐次式下的弦切互化，属于基础题。
5．（3分）已知函数f（x）在x∈R上为偶函数，在（﹣∞，0]为减函数，则下列各式正确的是（ ）
A．f（3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（﹣1）＞f（2）＞f（﹣3）D．f（﹣1）＞f（﹣2）＞f（3）
【分析】由偶函数的性质可知f（x）在（0，+∞）上为增函数，由此可得f（1）＜f（2）＜f（3），进而得解.
【解答】解：由于f（x）为偶函数，且在（﹣∞，0]上为减函数，
则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则f（1）＜f（2）＜f（3），即f（3）＞f（﹣2）＞f（1）.
故选：A。
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.
6．（3分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣8＝0，则圆上点到直线4x+3y+1＝0的最大距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由题意可知，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d加上半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线4x+3y+1＝0的距离d，即可求出圆上点到直线4x+3y+1＝0的最大距离。
【解答】解：由题意可知，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d加上半径r，
圆的方程x2+y2﹣2x﹣8＝0可整理为（x﹣1）2+y2＝9，
可知圆心坐标为（1，0），半径r＝3，
由点到直线的距离公式，可得圆心（1，0）到直线4x+3y+1＝0距离d＝＝1，
所以圆上点到直线4x+3y+1＝0的最大距离为3+1＝4，
故选：B。
【点评】本题考查圆的一般方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题。
7．（3分）在等差数列{an}中，已知a1＝2，a3+a7＝8，则S8的值为（ ）
A．26B．32C．30D．28
【分析】根据a1＝2，a3+a7＝8可求出公差d，再根据等差数列的前n项和公式即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝2，a3+a7＝8，
∴2a1+8d＝8，
∴d＝，
∴S8＝8×2+＝16+14＝30.
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和，难度不大．
8．（3分）已知＜，＞＝90°，||＝3，|+|＝，则||＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据向量的模长公式即可求解．
【解答】解：∵＜，＞＝90°，
∴＝0，
∴|+|2＝||2+2+||2＝9+||2＝13，
∴||2＝4，
∴||＝2.
故选：D．
【点评】本题考查向量的模长公式，难度不大．
9．（3分）已知a，b，c∈R，则“ac＝b2”是“a，b，c为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的基本概念求解即可。
【解答】解：∵a，b，c为等比数列，
∴ac＝b2，
当a＝c＝b＝0时，不能推出a，b，c为等比数列，
∴a+c＝2b，
∴“ac＝b2”不能够推出“a，b，c为等比数列”，“a，b，c为等比数列”能够推出“ac＝b2”，
∴“ac＝b2”是“a，b，c为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B。
【点评】本题主要考查充分必要条件的基本概念，解题的关键在于掌握充分必要条件的基本概念，为基础题。
10．（3分）点A，B为二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3与x轴的交点，点C为f（x）上一动点，且在第一象限中，则△ABC的最大面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
【分析】先根据x2﹣2x﹣3＝0求解得到A（3，0），B（﹣1，0），再求解得到函数的顶点坐标为（1，4）且顶点位于第一象限即可求解。
【解答】解：∵f（x）＝﹣x2+2x+3＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（3，0），B（﹣1，0），
∴|AB|＝4，
∵f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数的顶点坐标为（1，4）且顶点位于第一象限，
∴△ABC的最大面积为＝8，
故选：C。
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键在于求解二次函数的顶点坐标以及函数与x轴的交点，为基础题。
11．（3分）用0，1，2，3，4，5这6个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数（ ）
A．216B．156C．360D．144
【分析】先确定个位是否为0，再确定首位的数字即可求解．
【解答】解：当个位为0时，共有＝60个没有重复数字的四位偶数；
当个位不为0时，共有＝96个没有重复数字的四位偶数；
综上所述，能组成60+96＝156个没有重复数字的四位偶数．
故选：B．
【点评】本题考查简单排列问题以及分类加法计数原理，难度不大．
12．（3分）若双曲线的一个焦点和抛物线y2＝﹣20x的焦点重合，虚轴长为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x
【分析】根据题意可得双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，b＝4，进而求得a＝3，由此可得渐近线.
【解答】解：y2＝﹣20x的焦点坐标为（﹣5，0），则双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，
又虚轴长为8，则2b＝8，即b＝4，
则，
则所求渐近线方程为。
故选：A。
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
13．（3分）已知函数f（x）＝lgx，求f（2x+1）≤0的解集（ ）
A．[﹣，0]B．（﹣∞，0]C．（﹣，0]D．[﹣，]
【分析】先根据f（x）＝lgx，f（2x+1）≤0得到lg（2x+1）≤0，再求解不等式即可。
【解答】解：∵f（x）＝lgx，f（2x+1）≤0，
∴lg（2x+1）≤0，
∴1≥2x+1＞0，
∴﹣＜x≤0，
故选：C。
【点评】本题主要考查对数函数和不等式，解题的关键在于掌握对数函数的基本性质以及不等式的求解，为基础题。
14．（3分）已知函数f（x）＝ax3﹣2bx+1，a，b为非零常数，f（1）＝2，则f（﹣1）（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】根据奇函数的性质求解即可。
【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣2bx+1，
∴g（x）＝f（x）﹣1，
∵g（x）＝ax3﹣2bx，g（﹣x）＝﹣ax3+2bx，
∴g（x）为奇函数，
∴g（﹣1）＝﹣g（1），
∵f（1）＝2，
∴g（1）＝1，
∴g（﹣1）＝﹣1，
∴f（﹣1）＝0，
故选：A。
【点评】本题主要考查函数值的求解，解题的关键在于掌握奇函数的性质和数值运算，为基础题。
15．（3分）已知直线x+y﹣3＝0与圆x2+y2﹣2y﹣3＝0相交于A，B两点，则线段AB长（ ）
A．B．2C．D．2
【分析】可先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长|AB|．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣2y﹣3＝0的圆心为（0，1），半径r＝＝2，
∴圆心到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆相交的性质，难度不大．
16．（3分）（x﹣）6的二项展开式中，常数项是（ ）
A．20B．﹣20C．160D．﹣160
【分析】根据二项式定理即可求解．
【解答】解：∵（x﹣）6第r+1项展开式为Tr+1＝x6﹣r＝•（﹣2）r•x6﹣2r，
∴当6﹣2r＝0时，r＝3，
∴常数项是•（﹣2）3＝20×（﹣8）＝﹣160．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理，难度不大．
17．（3分）满足线性约束条件，则线性目标函数z＝2x﹣y的最大值是（ ）
A．0B．3C．﹣3D．6
【分析】作出可行域，结合可行域找到最优解，即可求得答案.
【解答】解：作出可行域如下图阴影部分所示，
由图象可知，当直线2x﹣y＝0过原点时，目标函数z＝2x﹣y取得最大值为2×0﹣0＝0，
故选：A。
【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题.
18．（3分）袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出任意摸出2个的所有可能，再求出至少摸出1个黑球的可能，最后根据古典概型即可求解．
【解答】解：∵从中任意摸出2个共有＝6种可能，至少摸出1个黑球有+＝5种可能，
∴至少摸出1个黑球的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型，难度不大．
19．（3分）点A在抛物线y2＝﹣8x上且为第三象限的点，它到准线的距离为4，则点A到x轴的距离（ ）
A．2B．2C．4D．2
【分析】先求出抛物线的准线方程，再根据点A到准线的距离为4即可求解．
【解答】解：∵抛物线y2＝﹣8x的准线方程为x＝2，
又点A在抛物线y2＝﹣8x上且为第三象限的点且它到准线的距离为4，
∴点A的横坐标为﹣2，
∴A（﹣2，﹣4），
∴点A到x轴的距离为4.
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程以及性质，难度不大．
20．（3分）在正方体中，BD1与B1C是（ ）
A．相交直线B．平行直线
C．异面直线D．相交且垂直的直线
【分析】根据直线与直线的位置关系即可求解．
【解答】解：∵BD1与B1C既不平行也不相交，
∴BD1与B1C是异面直线．
故选：C．
【点评】本题考查直线与直线的位置关系，难度不大．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知一个扇形的半径为2，弧长为，则这个扇形的圆心角是 45 度。
【分析】先根据扇形的弧长公式求出圆心角的弧度数，再根据π＝180°将弧度数化为角度数。
【解答】解：这个扇形的圆心角的弧度数为α，
则有＝2α，
所以α＝，
又＝180°＝45°，
故答案为：45。
【点评】本题考查了扇形的弧长公式，考查了弧度制与角度制的互化，属于基础题。
22．（4分）已知向量＝（4m+2，6），＝（2，m），若向量，是反向向量，则m的值为 ﹣2 。
【分析】根据向量，反向，可知与共线，利用共线向量的坐标表示进行求解即可。
【解答】解：因为向量，是反向向量，
所以∥，
则由＝（4m+2，6），＝（2，m），
可得（4m+2）•m﹣6×2＝0，
解得m＝或﹣2，
当m＝时，与方向相同，不合题意舍去；
当m＝﹣2时，满足题意，
故答案为：﹣2。
【点评】本题考查了共线向量的坐标表示，属于基础题。
23．（4分）某校3个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组）。
已知用分层抽样的方法从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则★处的值为 30 。
【分析】根据分层抽样即可求解．
【解答】解：∵用分层抽样的方法从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，设高一乐器组x人，
∴＝，
∴x＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查分层抽样，难度不大．
24．（4分）一个正四棱锥的底边和侧棱长都是2，则它的体积为 。
【分析】根据题意求的四棱锥的高，再由体积公式求解即可.
【解答】解：依题意，正四棱锥底面正方形的对角线长为，
则该正四棱锥的高为，
所以体积为.
故答案为：.
【点评】本题考查正四棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
25．（4分）在△ABC中，c＝，a＝1，acsB＝bcsA，则△ABC的面积为 。
【分析】根据acsB＝bcsA利用正弦定理的推论进行化简求得角A与B的关系，进而可求得b，再根据余弦定理的推论csC＝求出角C，最后根据三角形的面积公式SΔABC＝absinC进行求解即可。
【解答】解：因为acsB＝bcsA，
所以sinAcsB＝sinBcsA，
sinAcsB﹣sinBcsA＝0，
sin（A﹣B）＝0，
因为0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
所以A﹣B＝0，所以A＝B，
所以b＝a＝1，
则在△ABC中，由余弦定理可得，
csC＝＝＝﹣，
因为0°＜C＜180°，
所以C＝120°，
所以SΔABC＝absinC＝×＝，
故答案为：。
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，属于中档题。
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
26．（7分）已知二次函数f（x）满足f（0）＝1和f（x+1）﹣f（x）＝2x。
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值。
【分析】（1）设出f（x）的解析式，根据题意求得a，b，c的值，即可得解；
（2）得到函数f（x）的单调性，进而可得最值情况.
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由于f（0）＝1，则c＝1，
又f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2ax+a+b＝2x，
则2a＝2，a+b＝0，
解得a＝1，b＝﹣1，
所以f（x）＝x2﹣x+1；
（2）函数f（x）的对称轴为，
又函数f（x）的开口向上，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，
则，f（x）max＝f（﹣1）＝3.
【点评】本题考查二次函数的解析式及其最值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
27．（7分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）。
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间。
【分析】（1）根据函数在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2），即可知A＝2，函数的最小正周期T满足＝2π，根据T求出ω，再代入点（0，1）求出φ即可；
（2）根据正弦函数的图象与性质即可知当﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z时，函数单调递增，化简不等式组即可。
【解答】解：（1）因为y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2），
所以A＝2，函数的最小正周期T满足＝x0+2π﹣x0＝2π，
所以T＝4π，
所以＝4π，
所以ω＝，
所以f（x）＝2sin（x+φ），
又因为函数f（x）与y轴的交点为（0，1），
即f（0）＝2sinφ＝1，
所以sinφ＝，
因为|φ|＜，
所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（x+）；
（2）由（1）知，f（x）＝2sin（x+），
所以当﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，
即﹣+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z时，f（x）单调递增，
所以f（x）的单调递增区间为[﹣+4kπ，+4kπ]，k∈Z。
【点评】本题考查了正弦型函数图象与性质，考查了正弦型函数的周期公式，单调区间，考查了特殊角的三角函数值，属于中档题。
28．（8分）如图，三棱柱中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC。
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）若AC＝2，且异面直线BB1与A1C所成的角为45°，点O为A1C中点，求点O到底面ABC的距离。
【分析】（1）根据AA1⊥底面ABC，AB⊥AC可证AB⊥平面ACC1A1，从而证明AB⊥A1C；
（2）根据异面直线BB1与A1C所成的角为45°可知∠A1CC1＝45°，从而求出CC1，再根据点O为A1C中点即可求解．
【解答】解：（1）∵AA1⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，
∴AA1⊥AB，
∵AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，
∴AB⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，
∴AB⊥A1C；
（2）∵异面直线BB1与A1C所成的角为45°，BB1∥CC1，
∴∠A1CC1＝45°，
∵AC＝2，
∴CC1＝A1C1＝AC＝2，
∵点O为A1C中点，
∴点O到底面ABC的距离为＝1．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质以及异面直线所成的角，难度中等．
29．（8分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2﹣an。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn。
【分析】（1）根据an与Sn的关系可求出数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）先求出cn，再根据分组求和即可求解．
【解答】解：（1）∵Sn＝2﹣an，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2﹣a1，
∴a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2﹣an﹣2+an﹣1＝an﹣1﹣an，
∴2an＝an﹣1，
∴＝，
∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴an＝；
（2）∵cn＝4an+1＝4×+1，
∴Tn＝c1+c2+...+cn＝4×+n＝2﹣+n．
【点评】本题考查an与Sn的关系、等比数列的通项公式、前n项和以及分组求和，难度中等．
30．（10分）已知椭圆方程为+＝1，离心率e＝，且椭圆经过点（2，﹣3）。
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆以P（﹣1，2）为中点的弦所在直线的方程。
【分析】（1）根据离心率e＝，且椭圆经过点（2，﹣3）即可求解；
（2）根据椭圆的对称性可知直线的斜率存在，设直线方程，再联立直线方程与椭圆方程，最后根据韦达定理以及中点坐标公式即可求解．
【解答】解：（1）∵椭圆方程为+＝1，离心率e＝，
∴＝，
∴a＝2c，
∴a2＝4c2＝4（a2﹣b2），
∴a2＝，
∵椭圆经过点（2，﹣3），
∴，
∴+＝1，
∴b2＝12，
∴a2＝16，
∴椭圆方程为+＝1；
（2）∵椭圆关于x轴和y轴对称，
∴椭圆以P（﹣1，2）为中点的弦所在直线的斜率存在，设直线方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+k+2＝0，设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，
∴12x2+16[k（x+1）+2]2＝192，
∴（12+16k2）x2+（32k2+64k）x+16k2+64﹣192＝0，
∴x1+x2＝＝﹣2，
∴32k＝12，
∴k＝，
∴所求直线方程为，即3x﹣8y+19＝0．
【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及中点坐标公式，难度中等
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
★
高二
15
20
10
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