专题2.1 不等式性质与基本不等式（九个重难点突破）-高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版必修第一册）

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知识点1 不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
知识点2 两个实数大小的比较
如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对.
这个基本事实可以表示为:.
从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.
知识点3 等式的基本性质
性质1.如果,那么;
性质2.如果,那么;
性质3.如果,那么;
性质4.如果,那么;
性质5.如果,那么
知识点4 不等式的性质
重难点1 作差(商)法比较大小
1．（多选）对于实数，，，正确的命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则，D．若，，则
2．已知：、， 且，比较的大小.
3．已知都是正实数，比较与的大小．
4．设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）．
5．已知，，则的大小关系是_______．
6．（1）用作差法比较多项式与的大小；
（2）已知，，判断与的大小关系，并证明.
重难点2 利用不等式的性质判断不等式
7．（多选）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（多选）设为正实数，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
12．若，，，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
重难点3 利用不等式的性质证明不等式
13．阅读材料：
（1）若，且，则有
（2）若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
14．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
15．已知，，（1）.求证：；
（2）若，求证：；
16．（1）求证：；
（2）求证：.
17．（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
18．已知，求证.
重难点4 利用不等式的性质求取值范围
19．已知，且，则的取值范围是______．
20．已知且，求4a-2b的取值范围（ ）
A．B．C．D．
21．（多选）已知，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．已知，则的取值范围是__________.
23．求解下列范围：
(1)已知，，试求与的取值范围．
(2)设，，若，，求的取值范围．
24．（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
知识点5 两个不等式
叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有
知识点6 基本不等式与最值
已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值
注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”
重难点5 利用基本不等式求最值
25．已知，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
26．设，则函数的最小值为（ ）
A．6B．7C．11D．12
27．（多选）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A．B．
C．，D．
28．已知，求的最大值_________.
29．（1）已知，求函数的最大值.
（2）已知，求函数的最大值.
30．当时，函数的最小值为________，此时________．
重难点6 利用基本不等式求含条件的最值
31．（多选）若，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
32．（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为.B．的最大值为.
C．的最小值为.D．的最小值为.
33．（多选）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
34．已知，则的最小值是______．
35．已知，，，则的最小值为________．
36．已知正实数x，y满足，则的最小值为______.
重难点7 利用基本不等式证明不等式
37．（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
38．已知正实数、满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
39．已知 且，，．
(1)若，求的最小值；
(2)若，求证：．
40．（1）设（且），证明：；
（2）设，证明：．
41．（1）已知，求证：
（2）设，，为正数，求证：
42．若x，y满足证明：
(1)；
(2).
重难点8 利用基本不等式求解实际问题
43．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ）
A．等于2B．小于2C．大于2D．不确定
44．近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济B．方案二更经济
C．两种方案一样D．条件不足，无法确定
45．某社区要建一个矩形活动场所（如图），其中为矩形，为正方形，若场所周长为360米，设米，场所面积为平方米，
(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.
(2)求的最大值及取得最大值时的取值.
46．（多选）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；
乙：第一次涨幅，第二次涨幅；
丙：第一次涨幅，第二次涨幅.
其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（ ）
A．方案甲和方案乙工资涨得一样多B．采用方案乙工资涨得比方案丙多
C．采用方案乙工资涨得比方案甲多D．采用方案丙工资涨得比方案甲多
47．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．
(1)写出：满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
48．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”.若一小城，如下图长方形所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树（注：1里步），则该小城的周长的最小为__________里.
重难点9 基本不等式的恒成立问题|
49．（多选）实数、满足 ，若有解，则实数可以为（ ）
A．B．C．D．
50．不等式，（）对恒成立，实数的取值范围是__________．
51．若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______．当x等于______时，中等号成立．
52．已知正实数x，y满足，
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
53．已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是______________．
54．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________．
性质
性质内容
注意
对称性
传递性
可加性
可乘性
的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
同正
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
当且仅当“”时取“”
基本不等式
当且仅当“”时取“”