2023-2024学年宁夏银川二中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川二中高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知f(x)=ex+sinx，则f′(0)=( )
A. 1B. −1C. 2D. 0
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6=3S3，a7=12，则a1=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
3.设数列{an}的前n项和为Sn=n2−n，则a8的值为( )
A. 14B. 15C. 48D. 63
4.函数f(x)=(x−3)ex的最小值是( )
A. e3B. −e3C. e2D. −e2
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
6.已知函数f(x)=3f′(1)x−x2+lnx+12(f′(x)是f(x)的导函数)，则f(1)=( )
A. 1B. 2C. 12D. −12
7.已知函数y=xf′(x)(f′(x)是函数f(x)的导函数)的图象如图所示，则y=f(x)的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.定义：在数列{an}中，若满足an+2an+1−an+1an=d(n∈N*,d为常数)，称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，则a2023a2021等于( )
A. 4×20222−1B. 4×20192−1C. 4×20202−1D. 4×20212−1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. (sinπ4)′=csπ4
B. 已知函数f(x)在R上可导，且f′(1)=1，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2
C. 一质点的运动方程为S=t2，则该质点在t=2时的瞬时速度是4
D. 若y=f(x)⋅g(x)，则y′=f′(x)⋅g′(x)
10.下列函数中，存在极值点的是( )
A. y=x−1xB. y=2|x|C. y=−2x3−xD. y=xlnx
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0，若a10+a15=a12，则下列命题正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列B. a13是数列{an}中的最小项
C. S12和S13是{Sn}中的最小项D. 满足Sn<0的n的最大值为25
12.函数f(x)=axex和g(x)=lnxax有相同的最大值b，直线x=m与两曲线y=f(x)和y=g(x)恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，则下列说法正确的是( )
A. a=1B. lnb=−1
C. ex1ex2=ex2ex3D. lnx1+lnx3=2lnx2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设a∈R，若1是函数f(x)=ax+lnx的一个驻点，则a= ______ ．
14.已知数列−1，a，b，−4成等差数列，−1，c，−4成等比数列，则ca+b的值为______ ．
15.已知f(x)=2x2−ax+lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16.若定义域为[12,+∞)的函数f(x)满足f′(x)−f(x)=exx，且f(1)=−e，若f(3−1m)≤−e恒成立，则m的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lnxx．
(1)求f(x)的图象在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)的极值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−3x+a (a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数f(x)有三个零点，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{4anan+1}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(ax−1)+alnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x+b．
(1)求a，b的值．
(2)当k≥4时，证明：f(x)21.(本小题12分)
已知数列{an}中，a2=2a1=2，且an+2=an+2,n为奇数4an,n为偶数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn．
22.(本小题12分)
设f(x)=(x+1)ln(x+1)，g(x)=ax2+x(a∈R)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若∀x≥0，f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=ex+sinx，所以f′(x)=ex+csx，所以f′(0)=e0+cs0=2．
故选：C．
根据初等函数导数公式求导，然后即可得答案．
本题考查初等函数导数公式，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若S6=3S3，即S6−S3=2S3，变形可得a4+a5+a6=2(a1+a2+a3)，则有q3=2，
又由a7=12，则a1=a7q6=124=3．
故选：D．
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由S6=3S3，变形可得a4+a5+a6=2(a1+a2+a3)，进而求出q的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn=n2−n，
所以Sn−1=(n−1)2−(n−1)=n2−3n+2，n≥2，
an=Sn−Sn−1=(n2−n)−(n2−3n+2)=2n−2，
所以数列{an}是以2为公差的等差数列，
又S15=152−15=15×14，且S15=15a8，
所以a8=14．
故选：A．
根据数列{an}的前n项和公式，判断{an}是等差数列，利用中间项求出a8的值．
本题考查了等差数列的前n项和公式与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可得f′(x)=(x−2)ex，
令f′(x)=0得x=2，
所以在(−∞,2)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(2,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
则f(x)在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=−e2．
故选：D．
求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，最值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质、求和等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由等比数列的性质和前n项和公式得S4，S8−S4，S12−S8成等比数列，由此能求出a9+a10+a11+a12的值．
【解答】
解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，公比q≠−1，∴S4，S8−S4，S12−S8成等比数列，
∴S12−S8=S8−S42S4=221=4，
∴a9+a10+a11+a12=S12−S8=4．
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：由函数f(x)=3f′(1)x−x2+lnx+12，可得f′(x)=3f′(1)−2x+1x，
令x=1，可得f′(1)=3f′(1)−1，解得f′(1)=12，
则f(x)=32x−x2+lnx+12，所以f(1)=32−1+0+12=1．
故选：A．
求得f′(x)=3f′(1)−2x+1x，令x=1，求得f′(1)=12，进而求得f(1)的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，设函数y=xf′(x)与x轴负半轴交于点M(m,0)，且−2当x0，函数y=f(x)在(−∞,m)上为增函数；
当m0，则有y=f′(x)<0，函数y=f(x)在(m,0)上为减函数；
当00而y=xf′(x)<0，则有y=f′(x)<0，函数y=f(x)在(0,1)上为减函数；
当x>1时，x>0而y=xf′(x)>0，则有y=f′(x)>0，函数y=f(x)在(1,+∞)上为增函数；
分析选项可得：C符合；
故选：C．
根据题意，设函数y=xf′(x)与x轴负半轴交于点M(m,0)，且−2本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的图象以及单调性，关键是分析出导数的符号．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得：a3a2=3，a2a1=1，a3a2−a2a1=2，
根据“等差比数列”的定义可知数列{an+1an}是首项为1，公差为2的等差数列，
则an+1an=1+(n−1)×2=2n−1，
∴a2023a2022=2×2022−1=2×2021+1，a2022a2021=2×2021−1，
∴a2023a2021=a2023a2022⋅a2022a2021=(2×2021+1)(2×2021−1)=4×20212−1．
故选：D．
由已知可得，数列{an+1an}是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，再结合赋值法，即可求解．
本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：(sinπ4)′=0，故A错误；
Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2⋅Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)2Δx=2f′(1)=2，故B正确；
S′=2t，所以该质点在t=2时的瞬时速度是2×2=4，故C正确；
y′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)，故D错误；
故选：BC．
根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：由题意函数y=x−1x，则y′=1+1x2>0，
所以函数y=x−1x在(−∞,0)，(0,+∞)内单调递增，没有极值点；
函数y=2|x|=2x,x≥02−x,x<0，则当x<0时，函数y=2|x|单调递减，
当x>0时，函数y=2|x|单调递增，所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值；
函数y=−2x3−x，则y′=−6x2−1<0，
所以函数y=−2x3−x在R上单调递减，没有极值点；
函数y=xlnx，则，当x∈(0,1e)时，y′<0，函数单调递减，
当x∈(1e,+∞)时，y′>0，函数单调递增，当x=1e时，函数取得极小值，
故选：BD．
逐项利用导数与函数极值的关系判断即可得结果．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，掌握极值的概念是解题的关键，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0，a10+a15=a12，
所以a1+9d+a1+14d=a1+11d，
所以a13=a1+12d=0，因为a1=−12d<0，所以d>0，数列{an}是递增数列，A正确；
对于B：因为数列{an}是递增数列，所以最小项是首项a1，B错误；
对于C：因为a1<0，a13=0，所以当n=12或n=13时，Sn取最小值，C正确；
对于D：由不等式Sn=na1+n(n−1)2d=n(a13−12d)+n(n−1)2d=dn2(n−25)<0，
可得0故选：AC．
对于A：通过a13=0以及a1<0来判断；对于B：根据数列的单调性来判断；对于C：通过a1<0以及a13=0来判断；对于D：通过计算Sn=na1+n(n−1)2d<0来判断．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：已知f(x)=axex，函数定义域为R，
可得f′(x)=a(1−x)ex，
若a>0，
当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=1时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值f(1)=ae；
若a<0，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得极小值，不符合题意；
已知g(x)=lnxax，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=1−lnxax2，
若a>0，
当00，g(x)单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=e时，函数g(x)取得极大值也是最大值，最大值g(e)=1ae，
若a<0，
当0当x>e时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=e时，函数g(x)取得极小值，不符合题意，
因为函数f(x)=axex和g(x)=lnxax有相同的最大值，
所以ae=1ae，
解得a=±1，
又a>0，
所以a=1，b=1e，故选项A正确；
则lnb=ln1e=−1，故选项B正确；
因为直线x=m与两曲线y=f(x)和y=g(x)恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，
作出函数图象如下所示：
当直线y=m经过点A时，
此时直线x=m与两曲线y=f(x)和y=g(x)恰好有三个交点，
不妨设0可得x1ex1=x2ex2=lnx2x2=lnx3x3=m，
因为当x1ex1=lnx2x2=lnx2elnx2时，f(x1)=f(lnx2)，
又x1<1，lnx2<1，且当x<1时，函数f(x)单调递增，
所以x1=lnx2，
因为当x2ex2=lnx3x3=lnx3ex3时，f(x2)=f(lnx3)，
又x2>1，lnx3>1，且当x>1时，函数f(x)单调递减，
所以x2=lnx3，
此时x3x2=lnx3lnx2=x2lnx2=1m，x2x1=x2lnx2=1m，
则x3x2=x2x1，
整理得x1x3=x22，
对等式两边同时取对数，得lnx1+lnx3=2lnx2，故选项D正确．
故选：ABD．
由题意，对函数f(x)和g(x)进行求导，利用导数得到函数的单调性，根据两函数有相同的最大值，列出等式求出a和b的值，进而可判断选项A和选项B，作出直线x=m与两曲线的函数图象，利用数形结合以及对数的运算性质进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．
13.【答案】−1
【解析】解：f(x)=ax+lnx，
则f′(x)=a+1x，
∵1是函数f(x)=ax+lnx的一个驻点，
∴a+1=0，解得a=−1．
故答案为：−1．
根据已知条件，对f(x)求导，再结合驻点的定义，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
14.【答案】−25或25
【解析】解：数列−1，a，b，−4成等差数列，−
则a+b=−1+(−4)=−5，
−1，c，−4成等比数列，
则c2=(−1)×(−4)=4，解得c=2或−2，
故ca+b的值为−25或25．
故答案为：−25或25．
根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】(−∞,5]
【解析】解：f(x)=2x2−ax+lnx，则f′(x)=4x−a+1x=4x2−ax+1x，x∈(1,+∞)，
f(x)=2x2−ax+lnx在区间(1,+∞)上单调递增，转化为f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即4x2−ax+1≥0在(1,+∞)上恒成立，
∴a≤4x+1x在(1,+∞)上恒成立，
设y=4x+1x，x∈(1,+∞)，
则y′=4−1x2=4x2−1x2，由y′=0得x=12，
∴y′>0在在(1,+∞)上恒成立，
∴y=4x+1x在(1,+∞)上单调递增，
∴当x=1时，ymin=5，
∴a≤5，
故实数a的取值范围是(−∞,5]，
故答案为：(−∞,5]．
由题意可得f′(x)=4x−a+1x=4x2−ax+1x，x∈(1,+∞)，题意转化为f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即4x2−ax+1≥0在(1,+∞)上恒成立，利用分离变量法，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】[25,12]
【解析】解：设F(x)=f(x)ex，则F′(x)=f′(x)−f(x)ex=1x，
故F(x)=lnx+c，即f(x)=exlnx+c⋅ex，
由f(1)=−e，可得c=−1，
所以f(x)=exlnx−ex，则f′(x)=exlnx−ex+exx=ex(lnx+1x−1)，
设g(x)=lnx+1x−1，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，
令g′(x)>0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)=0，
则f′(x)≥0在[12,+∞)上恒成立，
所以f(x)在[12,+∞)上单调递增，
若f(3−1m)≤−e恒成立，即f(3−1m)≤f(1)，
则12≤3−1m≤1，
解得25≤m≤12，即m的取值范围是[25,12].
故答案为：[25,12].
设F(x)=f(x)ex，求出F(x)的导数，从而可求出f(x)的表达式，进一步求出函数f(x)的导数，研究f(x)的单调性，可得m的不等式，解不等式可得所求取值范围．
本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(x)=lnxx的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−lnxx2．
所以f′(1)=1，f(1)=0．
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x−1．
(2)由f(x)=lnxx，得f′(x)=1−lnxx2．
由f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e，
当x∈(0,e)时，f′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)极大值=f(e)=1e，
所以f(x)的极大值为1e，无极小值．
【解析】(1)对f(x)求导，求出切线的斜率，再求出求f(x)的图象在x=1处的切线方程即可；
(2)对f(x)求导，判断导函数的符号，再求出f(x)的极值即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=x3−3x+a，
∴f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
∴f′(x)的符号草图为：

∴f(x)的单调递减区间为(−1,1)；
(2)根据(1)可得f(x)的极大值为f(−1)=a+2，
f(x)的极小值为f(1)=a−2，
又f(x)有三个零点，
∴f(−1)=a+2>0f(1)=a−2<0，
∴a∈(−2,2)，
∴a的取值范围为(−2,2)．
【解析】(1)先求导函数，再得导函数的符号，从而得解；
(2)根据题意可得f(x)的极大值为f(−1)>0，且f(x)的极小值为f(1)<0，从而得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a3，a7成等比数列，
所以a32=a1a7即(a1+4)2=a1(a1+12)，解得a1=4，
所以an=2n+2；
(2)由(1)得4anan+1=4(2n+2)(2n+4)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
所以Tn=(12−13)+(13−14)+⋅⋅⋅+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2(n+2)．
【解析】(1)通过数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a3，a7成等比数列，求出首项，然后求解通项公式．
(2)通过裂项消项法求解数列的和即可．
本题考查数列通项公式的求法，数列求和的方法的应用，是中档题．
20.【答案】(1)解：因为f′(x)=aax−1+ax，
所以f′(1)=aa−1+a=4，
解得a=2，
则f(1)=0=4+b，解得b=−4，
∴a=2，b=−4；
(2)证明：因为k≥4，所以要证f(x)只需证f(x)<4(x−1)对x∈(1,+∞)恒成立．
设函数g(x)=f(x)−4(x−1)=ln(2x−1)+2lnx−4x+4(x>1)，
则g′(x)=22x−1+2x−4=−2(4x−1)(x−1)x(2x−1)．
因为x>1，所以g′(x)<0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递减，
从而g(x)则f(x)<4(x−1)对x∈(1,+∞)恒成立，
故当k≥4时，f(x)【解析】(1)求出导函数f′(x)=aax−1+ax，进而得f′(1)=4，求得a，再求b；
(2)利用放缩法把需证的不等式变为f(x)<4(x−1)对x∈(1,+∞)恒成立，进一步令g(x)=f(x)−4(x−1)，再利用导数证明g(x)本题考查了学生正确求导数，以及利用导数的几何意义解题的能力，和放缩法证不等式的能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)当n为奇数时，由an+2=an+2可得an+2−an=2，
所以数列{an}的奇数项成等差数列，且公差为2，又由a1=1，故an=n；
当n为偶数时，由an+2=4an，可得an+2an=4，
所以数列{an}的偶数项成等比数列，且公比为4，又由a2=2，故an=2n−1，
所以数列{an}的通项公式为an=n,n为奇数2n−1,n为偶数．
(2)当n为奇数时，
则Sn=a1+a2+⋯+an=(a1+a3+⋯+an)+(a2+a4+⋯+an−1)
=(1+3+⋯+n)+(2+8+⋯+2n−2)=n+12(n+1)2+2(1−4n−12)1−4=(n+1)24+2n−23，
当n为偶数时，
则Sn=a1+a2+⋯+an=(a1+a3+⋯+an−1)+(a2+a4+⋯+an)
=(1+3+⋯+n−1)+(2+8+⋯+2n−1)=n2(1+n−1)2+2(1−4n2)1−4=n24+2n+1−23，
综上可得，Sn=(n+1)24+2n−23,n为奇数n24+2n+1−23,n为偶数．
【解析】(1)根据题意，分n为奇数和n为偶数，两种情况讨，结合等差、等比数列的通项公式，即可求解；
(2)由(1)中数列的通项公式，分n为奇数和n为偶数，结合分组求和法和等差、等比数列求和公式，即可求解．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=(x+1)ln(x+1)，所以f′(x)=ln(x+1)+1，
令f′(x)=ln(x+1)+1=0，得x=1e−1，
故当−1所以f(x)min=f(1e−1)=−1e；
(2)设h(x)=f(x)−g(x)=(x+1)ln(x+1)−(ax2+x)(x≥0)，则h(0)=0．
因为h′(x)=ln(x+1)−2ax(x≥0)，则h′(0)=0．
设m(x)=ln(x+1)−2ax(x≥0)，则m′(x)=1x+1−2a=1−2a(x+1)x+1(x≥0)．
当a≥12时，m′(x)≤0，所以m(x)在[0,+∞)上单调递减，
所以m(x)≤m(0)=0，所以h′(x)≤0，
所以h(x)在[0,+∞)上单调递减，所以h(x)≤h(0)=0，
所以f(x)≤g(x)．
当a≤0时，m′(x)>0，所以m(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以m(x)≥m(0)=0，所以h′(x)≥0，
所以h(x)在[0,+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0，
所以f(x)≥g(x)，不合题意，故舍去．
当00，
所以m(x)在[0,1−2a2a]上单调递增，
所以m(x)≥m(0)=0，所以h′(x)≥0，
所以h(x)在[0,1−2a2a]上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0，
所以f(x)≥g(x)，不合题意，故舍去．
综上可知：a≥12，即实数a的取值范围为[12,+∞)．
【解析】(1)利用导数研究函数的单调性，从而可求解；
(2)构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可求解．
本题考查利用导数研究函数的最值，导数中的恒成立问题，属于难题．