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2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|13<3x≤27}，则A∩B=( )
A. {x|−1≤x≤3}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|−12.命题“∀x∈R，x2−2x≥−1”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2−2x≤−1B. ∀x∈R，x2−2x<−1
C. ∃x∈R，x2−2x<−1D. ∀x∈R，x2−2x≤−1
3.已知点P(3,4)是角α的终边上一点，则sin(α+π6)=( )
A. 4 3−310B. 4 3+310C. −4 3+310D. 3 3+410
4.已䂑a=sin55°，b=sin110°，c=tan55°，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.定义在R上的函数f(x)是偶函数的一个必要不充分条件为( )
A. f(0)=0B. f(−2)=f(2)C. f(−x)=f(x)D. f(|x|)=f(x)
6.已知x1，x2(x1>x2)是方程|lgx|=t的两个不等实根，则2x1+1x2的最小值是( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 3
7.已知函数f(x)=sinωx+csωx(ω>0)，若f(x)在(0,π)上有3个零点，则ω的取值范围是( )
A. [94,134)B. (94,134]C. [114,154)D. (114,154]
8.已知定义在(−π2,π2)上的函数f(x)=x3+tanx+2，则不等式f(x−2)+f(x2)>4的解集是( )
A. (43,+∞)B. (2−π2,π)C. (43,π)D. (43,π2+2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了得到函数f(x)=sin(2x−2π3)的图象，只需把正弦曲线上所有的点( )
A. 先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
B. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度
10.下列说法正确的是( )
A. 若幂函数的图象经过点(4,12)，则函数的解析式为y=x−12
B. 若函数f(x)=x−2，则f(x)在区间(−∞,0)上单调递减
C. 若正实数m，n满足m12>n12，则m−12D. 若函数f(x)=x−1，则对任意x1，x2∈(−∞,0)，且x1≠x2，有f(x1)+f(x2)211.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱.某地一摩天轮与地面的垂直高度(最高处与地面的距离)为208米，直径193米，入口在最底部.摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是( )
A. 若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半
B. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数解析式为h(t)=96.5sin(π15t−π2)+111.5
C. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米
D. 游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米
12.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lnx，记h(x)=f(x)sinx+sinxtanx，则下列结论正确的是( )
A. h(x)是偶函数
B. 当x<0时，f(x)=−ln(−x)
C. h(x)在区间[0,2π]上有3个零点
D. h(x)大于0的零点从小到大排列依次为x1，x2，x3，…，则3π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知一个扇形的圆心角为2.其周长的值等于面积的值，则扇形的半径r= ______ ．
14.已知cs(α−π3)=23，则sin(5π6−α)= ______ ．
15.已知函数f(x)=lg12(x2+ax+3),x≥2,ax−2a,x<2在R上单调递减，则实数a的取值范围为______ ．
16.若不等式lg1+(3−t)3x4≥(x−1)lg4对于任意x∈(−∞,1)恒成立，则实数t的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(1)(lg5)2+2lg2−(lg2)2+(827)−23；
(2)tan(π+α)cs(−α)sin(3π2+α)cs(π−α)sin(−π−α)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg12x)2−3lg12x−4．
(1)若f(x)≤0，求x的取值范围；
(2)当18≤x≤4时，求函数f(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知α∈(0,π)．
(1)若sinα+csα=25，求sinαcsα的值；
(2)求y=sinαcsα+sinα+csα的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+tex−t是定义在R上的奇函数．
(1)求t的值，并判断函数f(x)的单调性(给出判断即可，不需要证明)；
(2)若对于任意x>0，y>0，且x+2y=1，都有f(2λ+2xy)21.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=sin(2x+π4)，是否存在实数λ，∀x1∈[−π3,π3]，∃x2∈[−11π24,5π24]，使得λ−f(x1)=g(x2)成立？若存在.求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
如图所示，某小区中心有一块圆心角为60°，半径为8 3m的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ(其中点E，F在边OA上，点Q在边OB上，点P在AB上)，其他区域地面铺设绿地，设∠POA=θ．
(1)θ表示绿地的面积S；
(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用W最低，θ应取何值，并求出此时W的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：不等式x2−x−2≤0解得−1≤x≤2，则A={x|−1≤x≤2}，
不等式13<3x≤27解得−1所以A∩B={x|−1故选：C．
解两个集合中的不等式，得到这两个集合，再求交集．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题为全称量词命题，则命题的否定为“∃x∈R，x2−2x<−1”，ABD均错误．
故选：C．
运用全称命题的否定直接求解即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为点P(3,4)是角α终边上一点，
所以csα=3 32+42=35，sinα=4 32+42=45，
所以sin(α+π6)=sinαcsπ6+csαsinπ6=45× 32+35×12=4 3+310．
故选：B．
利用三角函数的定义，结合两角和的正弦公式求解即可．
本题考查三角函数求值问题，三角函数的定义，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为b=sin110°=sin70°>sin55°=a，所以a因为b=sin110°<1=tan45°因此a故选：A．
根据诱导公式，结合正弦函数单调性即可比较a，b大小，再借助中间值1，结合正切函数的单调性即可比较b，c的大小．
本题考查三角函数的单调性的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由偶函数的定义知，f(−x)=f(x)为充要条件，因此f(|x|)=f(x)为充要条件，故CD错误；
对于选项A：若函数为f(x)=x2+1，则f(0)=1，故A错误；
对于选项B：由函数f(x)是偶函数可以得到f(−2)=f(2)，反之不成立，故B正确．
故选：B．
利用偶函数的定义结合必要不充分条件可得结果．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由已知得lgx1=−lgx2=lg1x2，其中x1>1，0因此2x1+1x2≥2 2x1⋅1x2=2 2，当且仅当2x1=1x2，即x1=2x2，即x1= 2，x2= 22时取等号．
故选：B．
根据题意求出x1与x2之间关系，再利用基本不等式求出2x1+1x2的最小值即可．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=sinωx+csωx= 2sin(ωx+π4)，
因为0因为f(x)在(0,π)上有3个零点，
所以3π<ωπ+π4≤4π，
解得114<ω≤154．
故选：D．
先利用辅助角公式进行化简，然后结合x的范围及正弦函数的图象和性质，求出ω的取值范围．
本题考查三角函数的图像和性质，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由f(x−2)+f(x2)>4，得f(x−2)−2>−[f(x2)−2]，
令g(x)=f(x)−2=x3+tanx，则g(−x)+g(x)=−x3−tanx+x3+tanx=0，故g(x)为奇函数，
则f(x−2)−2>−[f(x2)−2]等价于g(x−2)>−g(x2)=g(−x2)，
因为y=x3，y=tanx在(−π2,π2)上单调递增，则g(x)在(−π2,π2)上单调递增，
所以−π2−x2，解得43故选：C．
构造g(x)=f(x)−2，利用其奇偶性及单调性解不等式即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：正弦曲线y=sinx先向右平移2π3个单位长度，得到函数y=sin(x−2π3)的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数f(x)=sin(2x−2π3)的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图象，再向右平移π3个单位长度，得到函数f(x)=sin(2x−2π3)的图象，故C正确，D错误．
故选：AC．
根据三角函数图象平移、伸缩变换求出函数的关系式，进一步判断选项A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于选项A，设幂函数为y=xα，代入点(4,12)，即12=4α=(12)−2α，解得α=−12，所以幂函数的解析式为y=x−12，故A正确；
对于选项B，函数f(x)=x−2是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为函数y= x在[0,+∞)上单调递增，
若正实数m、n满足m12>n12，则有m>n，
又由函数y=1 x在(0,+∞)上单调递减，则m−12对于选项D，由于f(x)=x−1，x1，x2∈(−∞,0)，
则f(x1)=1x1，f(x2)=1x2，f(x1+x22)=2x1+x2，
所以f(x1)+f(x2)2−f(x1+x22)=1x1+1x22−2x1+x2=x1+x22x1x2−2x1+x2
=x12+2x1x2+x22−4x1x22x1x2(x1+x2)=(x1−x2)22x1x2(x1+x2)<0，
所以f(x1)+f(x2)2故选：ACD．
根据题意，根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数y= x,y=1 x的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D.综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及幂函数的性质以及应用，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解；若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的2倍，故A错误；
设h(t)=Asin(ωt+φ)+B，A>0，ω>0，|φ|<π，
则A+B=208且−A+B=208−193=15，
解得A=96.5，B=111.5，
摩天轮转动的周期为30分钟，由于2πω=T，则ω=2πT=π15，
所以h(t)=96.5sin(π15t+φ)+111.5，
令t=0，则有96.5sinφ+111.5=15，解得φ=−π2，
所以h(t)=96.5sin(π15t−π2)+111.5，故B正确；
当t=10时，h(10)=96.5sin(π15×10−π2)+111.5=159.75，故C错误；
两人间隔5个座舱，乙与甲进入座舱的时间间隔为5分钟，
所以两人距离地面的高度差，
h=|h(t)−h(t−5)|
=|−96.5cstπ15+111.5+96.5cs(t−5)π15−111.5|
=96.5|cs(tπ15−π3)−cstπ15|
=96.5| 32sintπ15−12cstπ15|
=96.5|sin(tπ15−π6)|，
当5≤t≤30时，π6≤tπ15−π6≤11π6，
当tπ15−π6=π2或3π2，即t=10或25时，h取得最大值96.5，故D正确．
故选：BD．
由转速和转动时间的关系判断选项A；待定系数法求h(t)的函数解析式判断选项B；利用函数解析式求函数值判断选项C；辅助角公式化简高度差的表达式，结合三角函数知识求最大值判断选项D．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，h(x)定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}关于原点对称，h(−x)=f(−x)sin(−x)+sin(−x)tan(−x)=f(x)sinx+sinxtanx=h(x)，则函数h(x)为偶函数，故A正确；对于选项B，当x<0时，−x>0，f(−x)=ln(−x)=−f(x)，所以f(x)=−ln(−x)，故B正确；
对于选项C，令h(x)=sinx(f(x)+tanx)=0，则sinx=0或−f(x)=tanx，结合图象知，h(x)在[0,2π]上共有6个零点，故C错误；
对于选项D，由C选项知，π2故选：ABD．
利用奇函数的性质，结合题意，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查了三角函数的图象与性质，根据函数奇偶性求函数解析式，利用函数图象判断函数零点，该题从数学素养上体现对学生的直观想象、数学运算素养的考查，考查学生的数学运算、空间想象和数形结合能力，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：∵α=2，弧长l=2r，
∴周长为2r+2r=4r，面积S=12α⋅r2=r2，∴4r=r2，∴r=4或0(舍去)．
故答案为：4．
根据扇形的周长公式和面积公式建立关系，求出答案．
本题考查弧长公式，扇形面积公式，属于基础题．
14.【答案】23
【解析】解：sin(5π6−α)=sin[π2−(α−π3)]=cs(α−π3)=23．
故答案为：23．
利用5π6−α=π2−(α−π3)，再利用诱导公式求解即可．
本题考查三角函数求值问题，属基础题．
15.【答案】[−3,0)
【解析】解：令t=x2+ax+3，则y=lg12t，
由于y=lg12t在(0,+∞)上单调递减，而y=lg12(x2+ax+3)在区间[2,+∞)上单调递减，
所以在区间[2,+∞)上，t=x2+ax+3单调递增且t>0，
由于函数f(x)在R上单调递减，所以−a2≤2,4+2a+3>0,a<0,lg12(4+2a+3)≤0,解得−3≤a<0，
所以实数a的取值范围为[−3,0)．
故答案为：[−3,0)．
利用分段函数在R上单调递减的条件，结合复合函数的单调性，求实数a的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(−∞,2]
【解析】解：∵lg1+(3−t)3x4≥(x−1)lg4=lg4x−1，∴lg1+(3−t)3x4≥lg4x−1，
∴1+(3−t)3x4≥4x−1，即1+(3−t)3x≥4x对于任意x∈(−∞,1)恒成立，
∴t≤(13)x−(43)x+3对于任意x∈(−∞,1)恒成立，
∴t≤[(13)x−(43)x+3]min ，
∵函数y=(13)x−(43)x+3在(−∞,1)上单调递减，
∴y>(13)1−(43)1+3=2，即t≤2，
∴实数t的取值范围是(−∞,2]
故答案为：(−∞,2]．
根据对数运算将问题等价转化为t≤(13)x−(43)x+3对于任意x∈(−∞,1)恒成立，再根据y=(13)x−(43)x+3的单调性，求出最值得到t的取值范围即可．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)(lg5)2+2lg2−(lg2)2+(827)−23
=(lg5+lg2)(lg5−lg2)+2lg2+[(23)3]−23
=lg5−lg2+2lg2+(23)−2
=1+94
=134；
(2)tan(π+α)cs(−α)sin(3π2+α)cs(π−α)sin(−π−α)
=tanαcsα(−csα)(−csα)sinα
=1．
【解析】(1)利用对数式的运算规则和指数式的运算规则化简求值；
(2)利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值．
本题主要考查了对数式的运算规则和指数式的运算规则，考查了诱导公式和同角三角函数的关系在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)令t=lg12x，则y=t2−3t−4，t∈R，
由f(x)≤0，得t2−3t−4≤0，即(t−4)(t+1)≤0，解得−1≤t≤4，
即−1≤lg12x≤4，解得116≤x≤2，所以x的取值范围是[116,2]；
(2)当18≤x≤4时，−2≤lg12x≤3，即y=t2−3t−4，t∈[−2,3]，
当t=32时，ymin=94−92−4=−254，
当t=−2时，ymax=4+6−4=6，
所以函数f(x)的值域为[−254,6]．
【解析】(1)应用换元法令t=lg12x，结合二次不等式即可求解；
(2)应用换元法令t=lg12x，结合二次函数的值域即可求解．
本题考查了对数函数的性质，涉及到二次函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵sinα+csα=25，∴(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=425，
∴sinαcsα=−2150；
(2)令t=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
因为α∈(0,π)，则α+π4∈(π4,5π4)，
所以t∈(−1, 2],
因为(sinα+csα)2=t2，即1+2sinαcsα=t2，
所以sinαcsα=t2−12，
所以y=sinαcsα+sinα+csα=t2−12+t=12t2+t−12，t∈(−1, 2],
由二次函数性质可知，y=12t2+t−12在(−1, 2]上单调递增，
所以y∈(−1,12+ 2],
即y=sinαcsα+sinα+csα的值域为(−1,12+ 2]．
【解析】(1)若sinα+csα=25，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系，可求sinαcsα的值；
(2)令t=sinα+csα，则有y=12t2+t−12，由t的取值范围结合二次函数的性质，求y=sinαcsα+sinα+csα的值域．
本题主要考查了同角三角函数的平方关系，考查了换元法求函数的值域，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即1+t1−t=0，解得t=−1，
经检验，f(x)=ex−1ex+1是定义在R上的奇函数，所以t=−1．
f(x)=ex−1ex+1=ex+1−2ex+1=1−2ex+1，由函数y=ex在R上单调递增，则函数y=2ex+1在R上单调递减，
所以函数f(x)=1−2ex+1在R上单调递增．
(2)由(1)可知，由f(2λ+2xy)所以λ由于x2+4y2=(x+2y)2−2x⋅2y≥(x+2y)2−2(x+2y2)2=12，当且仅当x=2y=12时，等号成立，
则有λ<12，所以实数λ的取值范围为(−∞,12)．
【解析】(1)定义在R上的奇函数，有f(0)=0，可求t的值，利用函数解析式判断函数f(x)的单调性；
(2)由函数的单调性解不等式，利用不等式恒成立和已知条件，转化为求新函数最值问题．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由图可知T4=7π12−π3=π4，则T=π=2πω，得ω=2，
所以f(x)=cs(2x+φ)，
又f(7π12)=cs(2×7π12+φ)=−1，
所以7π6+φ=π+2kπ，k∈Z，
所以φ=−π6+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=−π6，
所以f(x)=cs(2x−π6)；
(2)因为x1∈[−π3,π3]，
所以2x1−π6∈[−5π6,π2]，
所以cs(2x1−π6)∈[− 32,1]，
所以λ−f(x1)∈[λ−1,λ+ 32]，
因为x2∈[−11π24,5π24]，
所以2x2+π4∈[−2π3,2π3]，
所以sin(2x2+π4)∈[−1,1]，
因为∀x1∈[−π3,π3]，∃x2∈[−11π24,5π24]，使得λ−f(x1)=g(x2)成立，
所以[λ−1,λ+ 32]⊆[−1,1]，
即λ−1≥−1λ+ 32≤1，解得0≤λ≤1− 32，
所以存在λ∈[0,1− 32]满足题意．
【解析】(1)根据三角函数的图象与性质计算即可；
(2)先由三角函数的性质计算f(x1)及g(x2)的范围，再根据集合间的基本关系计算即可．
该题考查了三角函数的图象与性质，恒(能)成立的问题，考查学生的运算求解能力、数形结合思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)如图，分别过P，Q作PN⊥OA于点N，QM⊥OA于点M，则四边形MNPQ为矩形．
因为∠POA=θ，则ON=8 3csθ，QM=PN=8 3sinθ，S扇形=12×π3×(8 3)2=32π，
由于QMOM=tan60°，所以OM=QMtan60∘=8sinθ，
则EF=QP=MN=ON−OM=8 3csθ−8sinθ，
设四边形EFPQ的面积为S1，
所以S1=EF⋅QM=(8 3csθ−8sinθ)⋅8 3sinθ=64 3( 3csθsinθ−sin2θ)=32 3[ 3sin2θ−(1−cs2θ)]=32 3[2sin(2θ+π6)−1]，
所以S=32π−32 3[2sin(2θ+π6)−1]，θ∈(0,π3)．
(2)要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，
因为θ∈(0,π3)，则2θ+π6∈(π6,5π6)，所以2sin(2θ+π6)−1∈(0,1]，则S1∈(0,32 3],
因此S∈[32π−32 3,32π)，即Smin=32π−32 3，此时2θ+π6=π2，即θ=π6，Wmin=100(32π−32 3)=3200(π− 3)，
所以当θ=π6时，W取得最小值3200(π− 3)元．
【解析】(1)分别过P，Q作PN⊥OA于点N，QM⊥OA于点M，求出扇形面积，再用θ表示出四边形EFPQ的面积，作差可得S关于θ的表达式；
(2)根据正弦函数的性质求解即可．
本题主要考查函数的应用，三角函数的应用，考查运算求解能力，属于难题．
1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|13<3x≤27}，则A∩B=( )
A. {x|−1≤x≤3}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|−1
A. ∃x∈R，x2−2x≤−1B. ∀x∈R，x2−2x<−1
C. ∃x∈R，x2−2x<−1D. ∀x∈R，x2−2x≤−1
3.已知点P(3,4)是角α的终边上一点，则sin(α+π6)=( )
A. 4 3−310B. 4 3+310C. −4 3+310D. 3 3+410
4.已䂑a=sin55°，b=sin110°，c=tan55°，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. f(0)=0B. f(−2)=f(2)C. f(−x)=f(x)D. f(|x|)=f(x)
6.已知x1，x2(x1>x2)是方程|lgx|=t的两个不等实根，则2x1+1x2的最小值是( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 3
7.已知函数f(x)=sinωx+csωx(ω>0)，若f(x)在(0,π)上有3个零点，则ω的取值范围是( )
A. [94,134)B. (94,134]C. [114,154)D. (114,154]
8.已知定义在(−π2,π2)上的函数f(x)=x3+tanx+2，则不等式f(x−2)+f(x2)>4的解集是( )
A. (43,+∞)B. (2−π2,π)C. (43,π)D. (43,π2+2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了得到函数f(x)=sin(2x−2π3)的图象，只需把正弦曲线上所有的点( )
A. 先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
B. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度
10.下列说法正确的是( )
A. 若幂函数的图象经过点(4,12)，则函数的解析式为y=x−12
B. 若函数f(x)=x−2，则f(x)在区间(−∞,0)上单调递减
C. 若正实数m，n满足m12>n12，则m−12
A. 若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半
B. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数解析式为h(t)=96.5sin(π15t−π2)+111.5
C. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米
D. 游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米
12.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lnx，记h(x)=f(x)sinx+sinxtanx，则下列结论正确的是( )
A. h(x)是偶函数
B. 当x<0时，f(x)=−ln(−x)
C. h(x)在区间[0,2π]上有3个零点
D. h(x)大于0的零点从小到大排列依次为x1，x2，x3，…，则3π2
13.已知一个扇形的圆心角为2.其周长的值等于面积的值，则扇形的半径r= ______ ．
14.已知cs(α−π3)=23，则sin(5π6−α)= ______ ．
15.已知函数f(x)=lg12(x2+ax+3),x≥2,ax−2a,x<2在R上单调递减，则实数a的取值范围为______ ．
16.若不等式lg1+(3−t)3x4≥(x−1)lg4对于任意x∈(−∞,1)恒成立，则实数t的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(1)(lg5)2+2lg2−(lg2)2+(827)−23；
(2)tan(π+α)cs(−α)sin(3π2+α)cs(π−α)sin(−π−α)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg12x)2−3lg12x−4．
(1)若f(x)≤0，求x的取值范围；
(2)当18≤x≤4时，求函数f(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知α∈(0,π)．
(1)若sinα+csα=25，求sinαcsα的值；
(2)求y=sinαcsα+sinα+csα的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+tex−t是定义在R上的奇函数．
(1)求t的值，并判断函数f(x)的单调性(给出判断即可，不需要证明)；
(2)若对于任意x>0，y>0，且x+2y=1，都有f(2λ+2xy)
已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=sin(2x+π4)，是否存在实数λ，∀x1∈[−π3,π3]，∃x2∈[−11π24,5π24]，使得λ−f(x1)=g(x2)成立？若存在.求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
如图所示，某小区中心有一块圆心角为60°，半径为8 3m的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ(其中点E，F在边OA上，点Q在边OB上，点P在AB上)，其他区域地面铺设绿地，设∠POA=θ．
(1)θ表示绿地的面积S；
(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用W最低，θ应取何值，并求出此时W的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：不等式x2−x−2≤0解得−1≤x≤2，则A={x|−1≤x≤2}，
不等式13<3x≤27解得−1
解两个集合中的不等式，得到这两个集合，再求交集．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题为全称量词命题，则命题的否定为“∃x∈R，x2−2x<−1”，ABD均错误．
故选：C．
运用全称命题的否定直接求解即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为点P(3,4)是角α终边上一点，
所以csα=3 32+42=35，sinα=4 32+42=45，
所以sin(α+π6)=sinαcsπ6+csαsinπ6=45× 32+35×12=4 3+310．
故选：B．
利用三角函数的定义，结合两角和的正弦公式求解即可．
本题考查三角函数求值问题，三角函数的定义，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为b=sin110°=sin70°>sin55°=a，所以a
根据诱导公式，结合正弦函数单调性即可比较a，b大小，再借助中间值1，结合正切函数的单调性即可比较b，c的大小．
本题考查三角函数的单调性的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由偶函数的定义知，f(−x)=f(x)为充要条件，因此f(|x|)=f(x)为充要条件，故CD错误；
对于选项A：若函数为f(x)=x2+1，则f(0)=1，故A错误；
对于选项B：由函数f(x)是偶函数可以得到f(−2)=f(2)，反之不成立，故B正确．
故选：B．
利用偶函数的定义结合必要不充分条件可得结果．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由已知得lgx1=−lgx2=lg1x2，其中x1>1，0
故选：B．
根据题意求出x1与x2之间关系，再利用基本不等式求出2x1+1x2的最小值即可．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=sinωx+csωx= 2sin(ωx+π4)，
因为0
所以3π<ωπ+π4≤4π，
解得114<ω≤154．
故选：D．
先利用辅助角公式进行化简，然后结合x的范围及正弦函数的图象和性质，求出ω的取值范围．
本题考查三角函数的图像和性质，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由f(x−2)+f(x2)>4，得f(x−2)−2>−[f(x2)−2]，
令g(x)=f(x)−2=x3+tanx，则g(−x)+g(x)=−x3−tanx+x3+tanx=0，故g(x)为奇函数，
则f(x−2)−2>−[f(x2)−2]等价于g(x−2)>−g(x2)=g(−x2)，
因为y=x3，y=tanx在(−π2,π2)上单调递增，则g(x)在(−π2,π2)上单调递增，
所以−π2
构造g(x)=f(x)−2，利用其奇偶性及单调性解不等式即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：正弦曲线y=sinx先向右平移2π3个单位长度，得到函数y=sin(x−2π3)的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数f(x)=sin(2x−2π3)的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图象，再向右平移π3个单位长度，得到函数f(x)=sin(2x−2π3)的图象，故C正确，D错误．
故选：AC．
根据三角函数图象平移、伸缩变换求出函数的关系式，进一步判断选项A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于选项A，设幂函数为y=xα，代入点(4,12)，即12=4α=(12)−2α，解得α=−12，所以幂函数的解析式为y=x−12，故A正确；
对于选项B，函数f(x)=x−2是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为函数y= x在[0,+∞)上单调递增，
若正实数m、n满足m12>n12，则有m>n，
又由函数y=1 x在(0,+∞)上单调递减，则m−12
则f(x1)=1x1，f(x2)=1x2，f(x1+x22)=2x1+x2，
所以f(x1)+f(x2)2−f(x1+x22)=1x1+1x22−2x1+x2=x1+x22x1x2−2x1+x2
=x12+2x1x2+x22−4x1x22x1x2(x1+x2)=(x1−x2)22x1x2(x1+x2)<0，
所以f(x1)+f(x2)2
根据题意，根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数y= x,y=1 x的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D.综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及幂函数的性质以及应用，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解；若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的2倍，故A错误；
设h(t)=Asin(ωt+φ)+B，A>0，ω>0，|φ|<π，
则A+B=208且−A+B=208−193=15，
解得A=96.5，B=111.5，
摩天轮转动的周期为30分钟，由于2πω=T，则ω=2πT=π15，
所以h(t)=96.5sin(π15t+φ)+111.5，
令t=0，则有96.5sinφ+111.5=15，解得φ=−π2，
所以h(t)=96.5sin(π15t−π2)+111.5，故B正确；
当t=10时，h(10)=96.5sin(π15×10−π2)+111.5=159.75，故C错误；
两人间隔5个座舱，乙与甲进入座舱的时间间隔为5分钟，
所以两人距离地面的高度差，
h=|h(t)−h(t−5)|
=|−96.5cstπ15+111.5+96.5cs(t−5)π15−111.5|
=96.5|cs(tπ15−π3)−cstπ15|
=96.5| 32sintπ15−12cstπ15|
=96.5|sin(tπ15−π6)|，
当5≤t≤30时，π6≤tπ15−π6≤11π6，
当tπ15−π6=π2或3π2，即t=10或25时，h取得最大值96.5，故D正确．
故选：BD．
由转速和转动时间的关系判断选项A；待定系数法求h(t)的函数解析式判断选项B；利用函数解析式求函数值判断选项C；辅助角公式化简高度差的表达式，结合三角函数知识求最大值判断选项D．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，h(x)定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}关于原点对称，h(−x)=f(−x)sin(−x)+sin(−x)tan(−x)=f(x)sinx+sinxtanx=h(x)，则函数h(x)为偶函数，故A正确；对于选项B，当x<0时，−x>0，f(−x)=ln(−x)=−f(x)，所以f(x)=−ln(−x)，故B正确；
对于选项C，令h(x)=sinx(f(x)+tanx)=0，则sinx=0或−f(x)=tanx，结合图象知，h(x)在[0,2π]上共有6个零点，故C错误；
对于选项D，由C选项知，π2
利用奇函数的性质，结合题意，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查了三角函数的图象与性质，根据函数奇偶性求函数解析式，利用函数图象判断函数零点，该题从数学素养上体现对学生的直观想象、数学运算素养的考查，考查学生的数学运算、空间想象和数形结合能力，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：∵α=2，弧长l=2r，
∴周长为2r+2r=4r，面积S=12α⋅r2=r2，∴4r=r2，∴r=4或0(舍去)．
故答案为：4．
根据扇形的周长公式和面积公式建立关系，求出答案．
本题考查弧长公式，扇形面积公式，属于基础题．
14.【答案】23
【解析】解：sin(5π6−α)=sin[π2−(α−π3)]=cs(α−π3)=23．
故答案为：23．
利用5π6−α=π2−(α−π3)，再利用诱导公式求解即可．
本题考查三角函数求值问题，属基础题．
15.【答案】[−3,0)
【解析】解：令t=x2+ax+3，则y=lg12t，
由于y=lg12t在(0,+∞)上单调递减，而y=lg12(x2+ax+3)在区间[2,+∞)上单调递减，
所以在区间[2,+∞)上，t=x2+ax+3单调递增且t>0，
由于函数f(x)在R上单调递减，所以−a2≤2,4+2a+3>0,a<0,lg12(4+2a+3)≤0,解得−3≤a<0，
所以实数a的取值范围为[−3,0)．
故答案为：[−3,0)．
利用分段函数在R上单调递减的条件，结合复合函数的单调性，求实数a的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(−∞,2]
【解析】解：∵lg1+(3−t)3x4≥(x−1)lg4=lg4x−1，∴lg1+(3−t)3x4≥lg4x−1，
∴1+(3−t)3x4≥4x−1，即1+(3−t)3x≥4x对于任意x∈(−∞,1)恒成立，
∴t≤(13)x−(43)x+3对于任意x∈(−∞,1)恒成立，
∴t≤[(13)x−(43)x+3]min ，
∵函数y=(13)x−(43)x+3在(−∞,1)上单调递减，
∴y>(13)1−(43)1+3=2，即t≤2，
∴实数t的取值范围是(−∞,2]
故答案为：(−∞,2]．
根据对数运算将问题等价转化为t≤(13)x−(43)x+3对于任意x∈(−∞,1)恒成立，再根据y=(13)x−(43)x+3的单调性，求出最值得到t的取值范围即可．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)(lg5)2+2lg2−(lg2)2+(827)−23
=(lg5+lg2)(lg5−lg2)+2lg2+[(23)3]−23
=lg5−lg2+2lg2+(23)−2
=1+94
=134；
(2)tan(π+α)cs(−α)sin(3π2+α)cs(π−α)sin(−π−α)
=tanαcsα(−csα)(−csα)sinα
=1．
【解析】(1)利用对数式的运算规则和指数式的运算规则化简求值；
(2)利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值．
本题主要考查了对数式的运算规则和指数式的运算规则，考查了诱导公式和同角三角函数的关系在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)令t=lg12x，则y=t2−3t−4，t∈R，
由f(x)≤0，得t2−3t−4≤0，即(t−4)(t+1)≤0，解得−1≤t≤4，
即−1≤lg12x≤4，解得116≤x≤2，所以x的取值范围是[116,2]；
(2)当18≤x≤4时，−2≤lg12x≤3，即y=t2−3t−4，t∈[−2,3]，
当t=32时，ymin=94−92−4=−254，
当t=−2时，ymax=4+6−4=6，
所以函数f(x)的值域为[−254,6]．
【解析】(1)应用换元法令t=lg12x，结合二次不等式即可求解；
(2)应用换元法令t=lg12x，结合二次函数的值域即可求解．
本题考查了对数函数的性质，涉及到二次函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵sinα+csα=25，∴(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=425，
∴sinαcsα=−2150；
(2)令t=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
因为α∈(0,π)，则α+π4∈(π4,5π4)，
所以t∈(−1, 2],
因为(sinα+csα)2=t2，即1+2sinαcsα=t2，
所以sinαcsα=t2−12，
所以y=sinαcsα+sinα+csα=t2−12+t=12t2+t−12，t∈(−1, 2],
由二次函数性质可知，y=12t2+t−12在(−1, 2]上单调递增，
所以y∈(−1,12+ 2],
即y=sinαcsα+sinα+csα的值域为(−1,12+ 2]．
【解析】(1)若sinα+csα=25，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系，可求sinαcsα的值；
(2)令t=sinα+csα，则有y=12t2+t−12，由t的取值范围结合二次函数的性质，求y=sinαcsα+sinα+csα的值域．
本题主要考查了同角三角函数的平方关系，考查了换元法求函数的值域，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即1+t1−t=0，解得t=−1，
经检验，f(x)=ex−1ex+1是定义在R上的奇函数，所以t=−1．
f(x)=ex−1ex+1=ex+1−2ex+1=1−2ex+1，由函数y=ex在R上单调递增，则函数y=2ex+1在R上单调递减，
所以函数f(x)=1−2ex+1在R上单调递增．
(2)由(1)可知，由f(2λ+2xy)
则有λ<12，所以实数λ的取值范围为(−∞,12)．
【解析】(1)定义在R上的奇函数，有f(0)=0，可求t的值，利用函数解析式判断函数f(x)的单调性；
(2)由函数的单调性解不等式，利用不等式恒成立和已知条件，转化为求新函数最值问题．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由图可知T4=7π12−π3=π4，则T=π=2πω，得ω=2，
所以f(x)=cs(2x+φ)，
又f(7π12)=cs(2×7π12+φ)=−1，
所以7π6+φ=π+2kπ，k∈Z，
所以φ=−π6+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=−π6，
所以f(x)=cs(2x−π6)；
(2)因为x1∈[−π3,π3]，
所以2x1−π6∈[−5π6,π2]，
所以cs(2x1−π6)∈[− 32,1]，
所以λ−f(x1)∈[λ−1,λ+ 32]，
因为x2∈[−11π24,5π24]，
所以2x2+π4∈[−2π3,2π3]，
所以sin(2x2+π4)∈[−1,1]，
因为∀x1∈[−π3,π3]，∃x2∈[−11π24,5π24]，使得λ−f(x1)=g(x2)成立，
所以[λ−1,λ+ 32]⊆[−1,1]，
即λ−1≥−1λ+ 32≤1，解得0≤λ≤1− 32，
所以存在λ∈[0,1− 32]满足题意．
【解析】(1)根据三角函数的图象与性质计算即可；
(2)先由三角函数的性质计算f(x1)及g(x2)的范围，再根据集合间的基本关系计算即可．
该题考查了三角函数的图象与性质，恒(能)成立的问题，考查学生的运算求解能力、数形结合思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)如图，分别过P，Q作PN⊥OA于点N，QM⊥OA于点M，则四边形MNPQ为矩形．
因为∠POA=θ，则ON=8 3csθ，QM=PN=8 3sinθ，S扇形=12×π3×(8 3)2=32π，
由于QMOM=tan60°，所以OM=QMtan60∘=8sinθ，
则EF=QP=MN=ON−OM=8 3csθ−8sinθ，
设四边形EFPQ的面积为S1，
所以S1=EF⋅QM=(8 3csθ−8sinθ)⋅8 3sinθ=64 3( 3csθsinθ−sin2θ)=32 3[ 3sin2θ−(1−cs2θ)]=32 3[2sin(2θ+π6)−1]，
所以S=32π−32 3[2sin(2θ+π6)−1]，θ∈(0,π3)．
(2)要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，
因为θ∈(0,π3)，则2θ+π6∈(π6,5π6)，所以2sin(2θ+π6)−1∈(0,1]，则S1∈(0,32 3],
因此S∈[32π−32 3,32π)，即Smin=32π−32 3，此时2θ+π6=π2，即θ=π6，Wmin=100(32π−32 3)=3200(π− 3)，
所以当θ=π6时，W取得最小值3200(π− 3)元．
【解析】(1)分别过P，Q作PN⊥OA于点N，QM⊥OA于点M，求出扇形面积，再用θ表示出四边形EFPQ的面积，作差可得S关于θ的表达式；
(2)根据正弦函数的性质求解即可．
本题主要考查函数的应用，三角函数的应用，考查运算求解能力，属于难题．
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