初中数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式教学设计

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上课教师

班 级
八年级（ 2 ）班
课题：
《14．2．1 平方差公式》
三维 目标
知识与技能
会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算
过程与方法
在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力
情感态度与价值观
在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美
教学重点：平方差公式的推导和应用
教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
教学方法与手段：探究与讲练相结合
教学过程：
一．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
= 20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
= 20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
= 10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
= 10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
二．导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
解：（1）（x+1）（x-1）
= x2+x-x-1= x2- 12
（2）（m+2）（m-2）
= m2+2m-2m-2×2= m2- 22
（3）（2x+1）（2x-1）
=（2x）2+2x-2x-1= (2x)2- 12
（4）（x+5y）（x-5y）
= x2+5y·x-x·5y- (5y)2
= x2-(5y)2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）
= (-a)2- b2=a2-b2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）= a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（出示投影片）
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=(3x)2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）= (3x)2-22= 9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）= (2a)2-b2= 4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）= (-x)2-(2y)2= x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
= 1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
= y2-22-（y2+5y-y-5）
= y2-4- y2-4y+5
=-4y+1．
三．随堂练习
P108练习1,2
教师小结：
n通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
布置作业：课本P习题14.2第1题
板书设计：
平方差公式
归纳规律──平方差公式；
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2
应用、升华：
修订、增减
教学反思：
只有深刻经历过，才能有更深刻的体会！
课堂教学一直是我们教师的主阵地，所以近几年来也总是尽心尽力备好课，上好课，在课堂这一主阵地上与学生一块冲锋陷阵，只是求得心安理得！
今天，与学生一起学习了《平方差公式》，因为知道平方差公式跟完全平方公式是我们的两大难点，所以上课前除了认真研究课本及教参，还搜索了网上的不少资料，以做到广闻博取。
首先，在平方差公式的突破上，试着让学生抓住两项式的特征：即完全相同的项跟只有符号不同的项这一特征，只有符合这一特征我们便可以用简便公式，即平方差公式来计算；
其次，在公式的变形上，让学生明确平方差公式跟它们所处的位置没有关系，只要符合公式的特征，我们便可以将它们整理成一般形式，从而根据公式学出结果。
最后，小组学习运用的还不够到位，个别小组有放弃小组成员的想法，在以后的教学过程中，还要注意调动每一个小组成员的积极性，让每一个组员都为自己的小组而骄傲！