第04讲 指数函数、对数函数和幂函数-【复习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第二册）

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【易错点总结】
指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
4.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
对数与对数函数
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lga＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
5.常用结论
①.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝；(2)lgambn＝lgab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
③.对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
三、幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2.5个常见幂函数的图象与性质
四、函数的应用（二）
1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
【考点剖析】
考点一：指数与指数函数
1．不论实数为何值时，函数图象恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
3．已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（ ）
A．B．C．D．
考点二：对数与对数函数
4．求函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间（ ）
A．B．C．D．
5．中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位､百位､万位……的数按纵式的数码摆出：十位､千位､十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示.
纵式
横式
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是（ ）
A．B．C．D．
6．定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三：幂函数
7．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点四：函数的应用
10．某种溶液含有杂质，为达到实验要求杂质含量不能超过0.1%，而这种溶液最初杂质含量为2%，若每过滤一次杂质含量减少，则为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为（可能用到的数据（lg2＝0.301，lg3＝0.4771）（ ）
A．7B．8C．9D．10
11．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannn）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：）
A．1559B．3943C．1579D．2512
12．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．105倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
【基础过关】
一、单选题
1．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．8B．C．4D．
2．下列表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
3．已知函数，则使的x的集合是（ ）
A．B．C．D．
4．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为1.6.则其视力的五分记录法的数据约为（ ）（）
A．4.9B．5.0C．5.1D．5.2
6．设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数 满足时恒有成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上为减函数B．在上为增函数
C．函数定义域为D．函数的增区间为
三、填空题
11．计算___．
12．当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________．
四、解答题
13．已知函数（且）.
(1)求函数的定义域；
(2)若时，函数的最大值比最小值大2，求的值.
14．已知函数是奇函数．
(1)求的值，判断的单调性并用定义证明之；
(2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围．
15．有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减
(1)求两年后，这种放射性元素的质量；
(2)求年后，这种放射性元素的质量（单位为：）与时间的函数表达式；
(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．（精确到年，已知：，）
【能力提升】
一、单选题
1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在的大致范围是（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（ ）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数）
A．1033年前B．1044年前C．1055年前D．1066年前
5．已知则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．函数的值域是，则的定义域可以是__________
7．已知函数若方程恰有四个不同的实根，则的取值范围是______.
三、解答题
8．已知函数
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，的值；
(2)已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，存在，求正数a的最小值.
9．已知函数.
(1)试判断函数的奇偶性；
(2)当时，求函数的值域；
(3)已知，若，使得，求实数a的取值范围.
10．已知函数对一切实数都有成立，且．
(1)求的值和的解析式；
(2)将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围；
(3)若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
a>1
01；
当xx0时，有lgax