第11讲 余弦和正切函数的图像与性质-【预习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第三册）

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1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数y＝cs x和y＝Acs(ωx＋φ)的图像，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系，重点培养直观想象核心素养．
2.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，重点提升数学运算核心素养．
3.了解正切函数图像的画法，理解并掌握正切函数的性质，重点培养数学抽象核心素养．
4．能利用y＝tan x的性质与图像解决有关问题，重点提升数学运算核心素养．
【知识导航】
知识点一 余弦函数的图像与性质
1．怎样由y＝sin x的图像通过变换得到y＝cs x的图像？
提示：∵cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，∴把y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位即可得到y＝cs x的图像．
2．探究y＝cs x的性质，有不同的方案(余弦线、图像等)，你选择一种方案，研究y＝cs x的周期性，单调性？
提示：是周期函数，周期为2π，可利用图像或y＝cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))研究余弦函数的单调性，增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
1．余弦函数的性质与图像
2.余弦型函数y＝A cs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像与性质．
(1)图像及其变换与y＝Asin(ωx＋φ)图像的作法一样(五点法)，变换关系一样，即由y＝cs x图像变换到y＝Acs(ωx＋φ)的图像．
(2)性质
函数y＝Acs(ωx＋φ)的性质研究方法与y＝Asin(ωx＋φ)一样．如周期：T＝eq \f(2π,|ω|)，最值、单调性、对称性仍利用整体代换法来解决．
知识点二 函数y＝tan x的性质
1．正切函数的定义域是什么？
提示：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z)).
2．诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
提示：周期性．
3．诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
提示：奇偶性，是奇函数．
4．从正切线上看，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上正切函数值是增大的吗？
提示：是．
函数y＝tan x的性质
知识点三 函数y＝tan x的图像
我们利用正切函数的性质，能画出y＝tan x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的简图吗？
提示：∵y＝tan x是奇函数，∴先画x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的图像又y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上取几个点就可画出y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的图像，再关于原点对称即可得到y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图像．
1．函数y＝tan x的图像．
2．正切曲线是中心对称图形，其对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z．
eq \a\vs4\al([拓展])
(1)正切函数图像的对称中心与正弦、余弦函数的不同在于不只是y＝0处为对称中心，同时tan x没有意义的点也为对称中心．
(2)正切曲线没有对称轴，但有无穷多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
(3)正切函数与正弦函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图像，在原点
O(0，0)处都与直线l：y＝x相切，并被直线l分割在两边(如图所示)．
由同一坐标系中两函数图像的位置关系得，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，不等式sin x＜x＜tan x成立．
【知识预习】
考点一：余弦函数的性质与图像
1．函数 的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题，余弦函数最小正周期为，故，由周期定义得所求最小正周期为，
故选：D
2．函数的简图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由知，其图象和的图象相同，
故选B．
3．从函数的图象来看，当时，对于的x有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分，
再画出的图象，如下图：
由图象可知它们有2个交点B、C，
所以当时，的x的值有2个.
故选：C
4．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是D．在单调递增
【答案】B
【详解】因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
5．函数的单调性是（ ）
A．在上是增函数，在上是减函数
B．在，上是增函数，在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数
D．在上是增函数，在，上是减函数
【答案】A
【详解】函数的单调减区间是，单调增区间是.∵，∴在上是增函数，在上是减函数.
故选：A
考点二：正切函数的性质与图像
6．下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意
在中，
令，
解得，
当时，，
∴函数的一个对称中心是，A正确.
当时，，
∴函数的一个对称中心是，D正确.
当时，，
∴函数的一个对称中心是，C正确.
故选：B.
7．函数的单调递增区间为（ ）
A．，B．，
C． ，D． ，
【答案】A
【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，
令 ，，解得 ，，
所以函数的单调递增区间为，，
故选：A.
8．使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由不等式，
根据正切函数的图象与性质，可得，
即实数x的取值范围是.
故选：C.
9．已知在区间上的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
10．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．点是函数的图像的一个对称中心
D．
【答案】D
【详解】因为，
所以函数的最小正周期，故A正确.
由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.
由，，
得，，
当时，，
所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确.
因为，
，
所以，故D不正确.
故选：D.
考点三：已知三角函数值求角
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵且，
∴.
故选：B
12．已知，且，则的大小是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，且
则
故答案选B
13．已知点落在角的终边上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】点落在角的终边上，
，
，
又，
.
故选：D．
14．方程的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，
，
，
或，
或.
综上所述，方程的解集为.
故选：D
15．设，则满足方程cs(的角x的集合是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵cs(πcsx)＝0，∴πcsx＝，k∈Z，
∴csx＝k，
∵，∴csx∈[﹣1，1]，
∴csx＝±，
当x∈时，x，，，，
故选：D.
【对点训练】
一、单选题
1．设，且，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【详解】因为，且，
则或.
故选：A
2．函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】
对称轴为：
当时，取值为.
故选:C.
3．已知 则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题设，.
故选：A
4．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，
则有的周期，解得，
于是得，
所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），
解得，（）,可知为其一个对称中心.
故选：C
5．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．是的一个周期
C．的图象关于点对称D．的定义域是
【答案】C
【详解】画出函数的图象，易得的周期为 ，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；
点不是函数的对称中心，C错误.
故选：C
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【详解】根据题意得，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的
点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平行移动个单位长度即可得到函数的图象.
故选：A.
7．下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的最小正周期为
D．的值域是
【答案】D
【详解】对于A，，故错误；
对于B，，故错误；
对于C，函数的最小正周期为，可能小于零，故错误；
对于D，的值域是，正确.
故选：D
8．函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
二、多选题
9．下列命题中真命题是（ ）
A．若角的终边在直线上，则
B．若，则
C．函数的单调递增区间是
D．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是
【答案】ABD
【详解】对于A，若角的终边在第二象限，
取终边上一点，则，
若角的终边在第四象限，
取终边上一点，则，
综上若角的终边在直线上，则，故A正确；
对于B，由正余弦函数图象的性质可知当，则，
且当，则，所以，故B正确；
对于C，由得或，
所以的定义域为，
因为为二次函数，开口向上，
所以在单调递增，
根据复合函数的单调性可知的增区间为，
故C错误；
对于D，第一次所取的区间是，则第二次取得区间可能为，
第三次取得区间可能为，故D正确.
故选:ABD.
10．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，对恒成立.
C．若，方程的根的个数是8个.
D．若，则
【答案】ABD
【详解】当时，，
令，
所以，
所以选项A，，正确；
，，
所以，故B正确；
选项C，时，，
令，则如图所示：
由图可得只有7个交点，故方程只有7个实数根，
故C选项错误；
选项D，因为，
所以
，
由，，
所以，
所以，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．已知函数单调递增区间为________.
【答案】
【详解】令，
解得，
故的单调递增区间为．
故答案为：．
12．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.
【答案】
【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，
所以，，即，，
又，所以，从而.
因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故的最大值为.
故答案为：
四、解答题
13．已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数的图象，求.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为是奇函数，
所以，即.
又，所以，检验符合.
（2）由（1）得：.
将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到的图象.
故.
14．设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为
(2)
【详解】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
15．已知函数的最小正周期为4，且满足.
(1)求的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)(2)
（1）
因为的最小正周期为4，所以.
因为满足，所以的图象关于点对称，
所以，所以，即，
又，所以.
的解析式为.
（2）
由，
得，所以或，，
解得或，，
因为，所以方程的解集为，
所以所有解的和为.
【提升作业】
一、单选题
1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，解得，．
所以函数的单调递增区间是
故选：C．
2．设函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的值域是；
B．点是函数的图像的一个对称中心；
C．直线是函数的图像的一条对称轴；
D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．
【答案】B
【详解】解：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选：B
3．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期是
D．在内单调递增
【答案】C
【详解】作出的图象如图所示，
对于A，，故是偶函数，故A正确，
对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确，
对于C，的最小正周期是，故C错误
对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确，
故选：C
4．若函数的图象相邻两支截直线所得线段长为，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像与直线不相交D．函数的图像关于点对称
【答案】D
【详解】由已知选项A显然正确，则，，
，
时，，B正确；
时，，无意义，C正确；
时，，，D错误，
故选：D．
5．已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以角的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知
，
故角的最小正值为．
故选：D．
二、填空题
6．已知函数的图象关于直线对称，则___________．
【答案】##
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以．
故答案为：
7．函数的值域为______.
【答案】
【详解】设，因为，可得，
因为正切函数在上的值域为，
即函数在的值域为.
故答案为：.
三、解答题
8．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．
【答案】(1)增区间，；减区间，
(2)最大值为，；最小值为，
【详解】（1），
令，，得，，
令，，得，，
故函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为，；
（2）当时，，
所以当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值．
9．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)，单调递减区间为，．
(2)
(1)
解：函数，
所以最小正周期
由，，
解得，
单调递减区间为，．
(2)
解：因为，
又，函数在上单调递减，
所以，即
10．已知函数（其中为常数）.当时，的最大值为4.
(1)求的值；
(2)在中，若，请判断的形状.
【答案】（1）（2）钝角三角形
【详解】（1）当时，，，
所以，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
所以为钝角三角形.
图像
定义域
R
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ]，(k∈Z)时，单调递增；
当x∈[2 kπ，2kπ＋π]，(k∈Z)时，单调递减
最大值
与最小值
当x＝2 kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2 kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
对称轴
对称中心
图像的对称轴x＝kπ，k∈Z；
图像的对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
值域
R
周期性
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数
零点
正切函数y＝tan x的零点x＝kπ(k∈Z)