第01讲 空间向量与立体几何(学生卷)-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修一）

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【易错点总结】
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
7.空间位置关系的向量表示
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
【重难点剖析】
考点一：空间向量及其运算
1．已知向量，，且，则实数的值为（ ）．
A．4B．C．2D．
【答案】A
【详解】解：因为，，且，
所以，解得.
故选：A
2．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
．
故选：B．
3．已知向量，，且与互相平行，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
则，解得，
故选：D
4．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为E、F分别是BC、CD的中点，
所以，
.
故选：C
5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，
∵AB＝1，BC，
∴AC＝2，
∵，
∴BE＝DF，
则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，
∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，
∴，
∵，
∴
，
则||，
即B与D之间距离为，
故选：C．
考点二：空间向量在立体几何中的应用
6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题设，则，
所以，而，
故到l的距离为.
故选：C
7．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行
C．相交但不垂直D．平行或线在面内
【答案】A
【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.
故选：A.
8．正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( )
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】C
【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则，
则，，,
设平面PAC的一个法向量为，
则即，令，则，所以，
∴，
设直线BC与平面PAC的夹角为，
∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，
∴直线BC与平面PAC的夹角为
故选：C
9．正方体中，二面角的平面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
连接，取中点O连接.
由，则且 ,则，故即为二面角的平面角.
不妨设正方体的边长为1，则在中，在中，则.又，故可得：.
故选：D.
10．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，
因为是弧AB的中点，所以，以为原点，
分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
设异面直线AC和EF所成角为，
所以，可得.
故选：C.
【基础过关】
一、单选题
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解析：
故选:.
2．若向量，，则（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】D
【详解】解析：由题意，得，
.
故选：D.
3．已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得，解得.
故选：A.
4．已知，，且，则的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【详解】解：因为，，且，
所以，
解得；
故选：B
5．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，
故选：C.
6．向量，，若，则（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】因为向量，，且，
则设，即，
则有，则，，解得，，
故选：C
7．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
8．正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( )
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】C
【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则，
则，，,
设平面PAC的一个法向量为，
则即，令，则，所以，
∴，
设直线BC与平面PAC的夹角为，
∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，
∴直线BC与平面PAC的夹角为
故选：C
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【详解】因为
所以，
所以，A正确；
因为，，所以B正确；
，因为，所以与不平行，故C错误；
在上的投影，与同向的单位向量为，
所以在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为
【答案】BCD
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，故C正确；
因为，设点到平面的距离为，则
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．如图，空间四边形中，，，，且，，则____________．
【答案】
【详解】如图，因为，，
所以，，
又因为，，，
所以.
故答案为：.
12．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.
【答案】
【详解】因为，所以.
因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.
故答案为：
四、解答题
13．已知空间三点，，．设，．
(1)求，；
(2)求与的夹角；
(3)若向量与互相垂直，求实数k的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：因为，，所以,
所以；
因为，，所以，
所以；
（2）解：由（1）可知，
又，所以，
即与的夹角为.
（3）解：由（1）可知，，
又向量与互相垂直，
所以，所以，
即，解得.
14．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
15．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面的夹角大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）如图，过作于.由题意可知，在直角梯形中，，，，所以，.
又，，所以，所以.
因为，又，面，
所以面.
因为面，所以面面；
（2）由（1）可知，，，两两垂直，故可以点为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
易知，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，即，
设平面的法向量为，则
令，则，，即，
所以，即平面和平面的夹角为.
【能力提升】
一、单选题
1．已知，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题可知，，
故，
即的最小值.
故选：B.
2．在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，结合图形可得，
．
故选：A.
3．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，
则可设，
又点在平面外，则
，
即，
则，
又，
所以，解得，，
故选：C．
4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.
5．已知空间向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，空间向量，，，
可得，
则.
故选：A.
二、填空题
6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【详解】如图所示，设分别为和的中点，
可得，，且，
所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，
作的中点为，则为直角三角形，
因为，
在中，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，，
在中，
可得，
又因为异面直线所成角的范围是，
所以与所成的角的余弦值为.
故答案为：.
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【答案】##
【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
所以，，，.
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则.
故答案为：
三、解答题
8．四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）
证明：因为，，，
由余弦定理，
所以，则，所以，即，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面，又平面，所以；
（2）
解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
9．如图，三棱柱中，，，平面.
(1)求证：；
(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵平面，平面
∴，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形.
∴，
∵，平面，平面
∴平面，
∵平面
∴.
（2）∵与平面所成角为，平面，
∴，
若，则是正三角形.
令，则，，，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，
，令，解得，
设平面的一个法向量为，
，即，令，解得，
设二面角的大小为，由图知非钝角，
∴.
∴二面角的余弦值为.
10．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
名称
定义
空间向量
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋zeq \\al(2,2)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2
l1∥l2
v1∥v2⇔v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2⇔v1·v2＝0
直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n
l∥α
v⊥n⇔v·n＝0
l⊥α
v∥n⇔n＝λv
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0