第05讲 概率与统计-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修二）

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【易错点总结】
条件概率与事件的独立性
1.相互独立事件
一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件A与B相互独立，则eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))，A与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq \f(P（A∩B）,P（B）).
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与Beq \(A,\s\up6(－))是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq \(A,\s\up6(－)))＝BA＋Beq \(A,\s\up6(－))，从而P(B)＝P(BA＋Beq \(A,\s\up6(－)))＝P(BA)＋P(Beq \(A,\s\up6(－)))，当P(A)>0且P(eq \(A,\s\up6(－)))>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－))).
随机变量及其分布列
1.离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；
(2)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
(2)方差
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.
(3)标准差
称eq \r(D（X）)称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
二项分布与超几何分布
1.n次独立试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M0时，成对样本数据正相关；当r