第06讲 数列基础-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修三）

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1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【知识导航】
1.数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的通项
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
4.数列的递推公式
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
5.数列的前n项和
一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和.如果数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【知识预习】
考点一：数列的概念
1．已知数列、、、、，那么在此数列中的项数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，因此，在此数列中的项数是.
故选：C.
2．数列，，，，，的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，，，，，……，
所以数列，，，，，的一个通项公式可以为.
故选：D
3．观察图，点数所成数列的一个通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，依次点数为1、4、9、16，为完全平方数，故.
故选：B.
4．数列，…的一个通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，，，
所以此数列的一个通项公式可以是.
故选：D.
5．已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0B．0，1，0，1C．0，2，0，2D．2，0，2，0
【答案】A
【详解】依题意，.
故选：A
考点二：数列中的递推
6．数列中，，，则（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【详解】因为，，故，
，，
故选：B.
7．若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意， ，
在数列中，，
∴.
故选：A.
8．已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，，，，
故选：B
9．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，又，所以，
易得，则，
同理，，，故
故选：B
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由相邻层球的个数差，归纳可知，，
对累加得.
所以，，
，
，所以ABC错误，
故选：D．
【对点训练】
一、单选题
1．数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，，，.
故选：C.
2．数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意，
在数列中，
分母是以2为首项，2为公比的等比数列
分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，
∴比例系数为
∴数列的一个通项公式为：
故选：C.
3．数列1,,,，的第n项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为.
所以数列1,,,，的第n项为.
故选：D
4．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：观察梯形数的前几项，得：
…
由此可得
故选：D．
5．有穷等比数列，28，211，……，的项数是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】C
【详解】的间隔是，
若，则，
所以数列的项数为项.
故选：C
6．已知数列满足，，其前n项和为，则( )
A．B．C．3D．
【答案】B
【详解】数列满足，，
，，，，…
数列是周期为4的周期数列，
，
∴．
故选：B．
7．已知数列满足：，，则（ ）
A．16B．12C．9D．4
【答案】C
【详解】，则，．
故选：C
8．已知数列满足，.若数列是常数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵数列满足，，
∴.
∵数列是常数列，∴，解得.
故选：A.
二、多选题
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
【答案】BCD
【详解】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,
所以选项A不正确;
对于选项B,令,
解得或（舍去）,
所以选项B正确;
对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,
第8个数为,即,
所以选项C正确;
对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为,
所以选项D正确.
故选:BCD
10．下列四个数列中的递增数列是（ ）
A．1，，，，…
B．，，，…
C．，，，，…
D．1，，，…，
【答案】CD
【详解】解：对于A，数列1，，，，…为递减数列，故不符合题意；
对于B，数列，，，…为周期数列，且，故不符合题意；
对于C，数列，，，，…为递增数列，故符合题意；
对于D，数列1，，，…，为递增数列，故符合题意.
故选：CD.
三、填空题
11．数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=_____
【答案】，
【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=.
故答案为:
12．1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”．根据规律，新数列的第8项为______．
【答案】##
【详解】原数列，从第项起，每一项是前一项的两倍，所以其第项为，
新数列，是将原数列的对应的项：先加，然后除以所得，
所以，新数列的第项为.
故答案为：
四、解答题
13．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【答案】
（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）
4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
14．数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【详解】（1）解：数列的通项公式是．
这个数列的第4项是：．
（2）解：令，即，
解得或（舍，
是这个数列的项，是第16项．
15．已知数列的前n项和为.
(1)求，，；
(2)求数列的通项公式.
【答案】
(1)，，.
(2)当时，，
当时，，
满足上式，所以.
【提升作业】
一、单选题
1．设为数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，
当时，，
验证，当时，，
所以.
故选：A
2．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知，
，，，，
上述等式全加可得，.
故选：D.
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（ ）
A．4956B．4959C．4962D．4965
【答案】B
【详解】由，且，根据累加法可得：
，
所以.
所以.
当时，；
当时，；
当时，；
当时, .
因此.
故选：B.
4．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
上述各式相乘得，
因为，所以，
经检验，满足，
所以.
故选：D.
5．已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为是递增数列，所以，即．
如图所示，作出函数和的图象，
由图可知，当时，，且．
故当时，，且，
依此类推可得，
满足是递增数列，即的取值范围是．
故选:A.
二、填空题
6．已知数列的通项公式为，则等于___________.
【答案】20
【详解】因为，
所以，，
所以，
故答案为：20.
7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知是“和差等比数列”，，，则使得不等式的的最小值是______．
【答案】
【详解】依题意，，
，解得，
，解得，
，解得，
所以使得不等式的的最小值是.
故答案为：
三、解答题
8．已知数列的前n项和，求数列的通项公式．
【答案】
【详解】解：由，
当时，，
当时，
，
当时，上式也成立，
所以.
9．已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【答案】.
【详解】由题意得，
当时，
，
又也满足上式，所以.
故.
10．已知数列 ， ， ，求 .
【答案】 .
【详解】由 ， ，得 ，
所以 ，
，
，
，
，
将以上个等式累加，得 ，
所以 .
当时，显然符合上式，
故.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列