第02讲 直线和圆的方程-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【知识梳理】
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
知识点3 斜率与倾斜角的联系
知识点4 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
知识点5 直线的五种方程
知识点6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
知识点7 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
知识点8 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识点9 点到直线的距离与两条平行线间的距离
知识点10 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点11 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点12 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知识点13 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点14 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点15 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点16 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
知识点17 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点18 圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
(4)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
知识点19 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点20 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线 EMBED Equatin.DSMT4 与圆交点的圆系方程为

4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
【考点剖析】
考点一 直线的倾斜角与斜率
1．（2023·福建师大附中高二期末）已知直线的方程为：，则直线的倾斜角为__________.
2．（2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0°B．1°C．2°D．3°
3．（2023·江西抚州·高二期末（理））已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏连云港·高二期末）若，，三点共线，则实数m的值为 （ ）
A．B．2C．D．3
5．（2023·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 两条直线的平行和垂直
6．（2023·广东汕头·高二期末）是直线和平行的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·上海市向明中学高二期末）已知两直线，，若，则实数______．
8．（2023·北京市昌平区第二中学高二期末）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．重要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023·江苏连云港·高二期末）已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是________．
10．【多选】（2023·云南普洱·高二期末）已知直线，则（ ）
A．恒过点B．若，则
C．若，则D．当时，不经过第三象限
考点三 求直线的方程
11．（2023·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是________．
13．（2023·福建师大附中高二期末）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________．
14．（2023·江苏南通·高二期末）如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2023·江苏·苏州中学高二期末）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求四边形ABED的面积．
16．（2023·广东汕尾·高二期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
考点四 直线的交点坐标和距离问题
相交直线的交点坐标
17．（2023·江苏连云港·高二期末）已知点，直线，且点在直线上，，则点的坐标是_____________．
18．（2023·上海市行知中学高二期末）已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为________.
19．（2023·浙江宁波·高二期末）已知三条直线：，：，：（是常数），.
(1)若，，相交于一点，求的值；
(2)若，，不能围成一个三角形，求的值：
(3)若，，能围成一个直角三角形，求的值.
两点间的距离公式
20．（2023·广东汕尾·高二期末）点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
21．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知直线l与x轴和y轴分别交于A，B两个点，点是直线上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023春·河北邢台·高二统考阶段练习）已知，，点在直线上移动，则的最小值为______.
23．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)当值最小时，求直线l的方程.
24．【多选】（2023·高二课时练习）已知直线 l 过点且与点，等距离，则直线 l 的方程为（ ）
A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0D．2x＋3y－18＝0
点到直线的距离公式
25．（2023·北京·101中学高二期末）已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________．
26．【多选】（2023春·山东·高二沂水县第一中学校联考期末）已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的方程为
B．过点O且与直线l平行的直线方程为
C．若点到直线l的距离为，则
D．点O关于直线l对称的点为
27．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，
(1)求边所在直线的方程；
(2)直线过定点，设该定点为，求的面积.
两平行线间的距离公式
28．（2023·湖北·沙市中学高二期末）两条平行直线与之间的距离（ ）
A．B．C．D．7
29．（2023·全国·高二假期作业）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为______.
30．【多选】（2023春·广东东莞·高二校考期中）两平行直线和间的距离为， 若直线的方程为， 则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________.
考点五 直线的对称问题
32．（2023春·河北张家口·高二校联考期中）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
33．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知点， 直线，关于直线的对称点为点， 则的取值范围是___________.
34．（2023春·北京·高二人大附中校考期末）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．
(1)求反射光线所在的直线的方程．
(2)求与距离为的直线方程．
35．（2023·高二单元测试）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
36．（2023春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知的顶点，AB边上的高所在的直线的方程为，角A的平分线所在直线的方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)求点A的坐标；求直线的方程．
考点六 直线的综合问题
37．（2023·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
38．（2020春·上海徐汇·高二位育中学校考期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为________.
39．（2023春·山东青岛·高二校考期中）已知直线方程为．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
40．（2023春·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）已知直线
(1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程．
41．（2023春·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）已知直线过点：
(1)若原点到的距离为2，求直线的方程；
(2)设，且不过第二象限，当与两坐标围成的三角形面积最小时，，与两坐标轴围成的四边形对角互补，求实数的值.
考点七 求圆的方程
42．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知为圆O上的点，则圆O的方程为____________．
43．（2023春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）已知圆经过点，且与轴相切.
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
44．（2023春·河北张家口·高二校联考期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________．
45．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期末）已知圆的圆心坐标为，且与轴相切，直线过与圆交于、两点，且．
(1)求圆的标准方程；
(2)求直线的方程．
46．（2021春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆E的方程．
47．（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是______.
考点八 点和圆的位置关系
48．（2023·高二课时练习）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
49．（2023春·四川遂宁·高二校考期中）已知函数，若，且，则坐标原点O与圆的位置关系是（ ）
A．点O在圆内B．点O在圆上C．点O在圆外D．不能确定
50．（2023·高二课时练习）已知点A(1，2)和圆C：，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围.
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部.
51．（2021春·安徽滁州·高二校考期末）若点在圆上，则实数m＝______.
52．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）若点在圆内，则实数的取值范围为________.
考点九 直线和圆的位置关系
53．【多选】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
54．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
55．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.
56．（2023春·重庆·高二校联考阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若圆与轴的交点为，则直线与交点的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．6
57．（2020春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）关于的方程:.
(1)满足什么条件时，方程表示的曲线是圆；
(2)圆与直线有两个交点，若，求的值.
考点十 圆的切线问题
58．（2023·高二课时练习）过圆上一点的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
59．（2021春·安徽滁州·高二校考期末）过点引圆的切线，其方程是（ ）
A．B．
C．D．和
60．（2023·全国·高二假期作业）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．
61．（2023春·江苏连云港·高二期末）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
62．（2023·全国·高二假期作业）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.
考点十一 圆的弦长问题
63．（2023春·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）直线被圆截得的弦长____________
64．（2023·全国·高二假期作业）圆截直线：所得的弦长最短为（ ）
A．B．1C．D．
65．（2023春·江苏连云港·高二期末）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
66．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
67．（2023春·山东济南·高二校考期中）已知圆和点．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
考点十二 圆与圆的位置关系
68．（2023春·山东·高二沂水县第一中学校联考期末）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
69．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）若圆：与圆：相交，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
70．（2023春·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______.
71．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一中学校校考阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则_________.
72．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
73．（2023春·河南商丘·高二校联考期中）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A．16B．25C．36D．16或36
74．（2023春·湖北·高二校联考期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________．（写出一条即可）
75．（2023·高二课时练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
考点十三 与圆有关的轨迹问题
76．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
77．（2023春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，圆上有且只有一个点满足，则的值为（ ）
A．1B．3C．1或5D．2或3
78．（2023春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足
(1)求动点的轨迹的方程
(2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程
79．（2023春·福建泉州·高二校考期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.
(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.
考点十四 与圆有关的最值问题
80．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知为圆上任意一点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，求的最大值和最小值．
81．（2023春·安徽合肥·高二校考期中）已知实数满足方程，则的最小值为__________.
82．（2023春·广东清远·高二校联考期中）已知圆上一动点和定点，点为轴上一动点，则的最小值为___________．
83．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
84．（2023·高二课时练习）已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
85．（2023春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知是圆内过点的最短弦，则（ ）
A．B．C．D．
86．（2023春·北京·高二北京市师达中学校考阶段练习）若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
87．（2023春·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
88．（2023春·山东菏泽·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为__________.
考点十五 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题
89．【多选】（2023春·浙江杭州·高二校考期中）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内B．圆M关于对称
C．直线与截圆M的弦长为D．直线与圆M相切
90．【多选】（2023春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形的外接圆方程为
C．直线方程为
D．三角形的面积为
91．【多选】（2023春·重庆江津·高二校考期中）已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆有两条公切线；
B．圆与圆的相交弦所在的直线方程；
C．线段的长为；
D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为.
92．（2023春·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）已知直线：和圆：，则（ ）
A．直线恒过定点B．存在使得直线与直线：垂直
C．直线与圆相离D．若，直线被圆截得的弦长为
93．【多选】（2023春·甘肃嘉峪关·高二校考期中）已知动点在圆上，直线过点，则（ ）
A．当直线与圆相切时，l的方程为
B．当直线过点时，点到直线的距离的最大值为
C．当直线的斜率为时，直线被圆所截得的弦长为
D．若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则直线斜率
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·江苏宿迁·高二沭阳如东中学校考期末）已知圆，点是圆内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么（ ）
A．B．C．或重合D．与相交
2．（2023春·江苏连云港·高二期末）经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）圆被直线所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江苏连云港·高二期末）设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
5．（2023春·江苏连云港·高二期末）设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023春·江苏连云港·高二期末）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
7．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校联考期末）已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
三、填空题
9．（2023秋·上海闵行·高二校考期末）直线与圆交于两点，则______．
10．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为2，则值为_____．
11．（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）过点作与圆相切的直线，则直线的方程为______．
四、解答题
12．（2023春·山东·高二沂水县第一中学校联考期末）已知直线：，圆C：．
(1)若直线与圆C相切，求k的值．
(2)若直线与圆C交于A，B两点，是否存在过点的直线垂直平分弦AB？若存在，求出直线与直线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）已知直线和的交点为P．
(1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）．
14．（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于，试求和的值．
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
名称
条件
方程
图形
适用范围
点斜式
直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于轴的直线
斜截式
直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)
y＝kx＋b
不表示垂直于轴的直线
两点式
P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不表示垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴上截距a，在y轴上截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式
A，B，C为系数
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直线
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线