第04讲 双曲线-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【知识梳理】
知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点2 双曲线的标准方程及简单几何性质
注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．
（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
（3）与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.
知识点3 双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
知识点4 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq \r(2).
(3)等轴双曲线的方程，；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
知识点5 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于，两点，则

（为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
【考点剖析】
考点一 求双曲线的标准方程
1．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（ ）
A．1B．-1C．D．
【答案】B
【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由计算即可.
【详解】由焦点坐标，知焦点在轴上，所以，
可得双曲线的标准方程为，
由可得，可得.
故选:.
2．（2023春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将点代入得出关系，由离心率得出关系，结合双曲线关系式即可求解.
【详解】将代入双曲线标准方程得，又，，联立解得，故双曲线的标准方程为.
故选：C
3．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆有相同焦点的等轴双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可．
【详解】椭圆，，则，可得，
设等轴双曲线方程为，其中，
可得，解得
所求的双曲线方程为．
故选：A
4．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定点的定义，求得，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建立方程，可得答案.
【详解】由题意得，即，设双曲线的方程为，
焦点到其渐近线的距离为，
双曲线方程为，综上，双曲线的方程为．
故选：B．
5．（2023春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，求解即可
【详解】由题意可知双曲线方程为且，
解得，
所以双曲线的标准方程为，
故选：B
6．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为72，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线的方程为，联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，然后利用双曲线的定义得到，根据的周长为72列方程，解得即可得到双曲线方程.
【详解】由题知，，
所以直线为，设，，
由，得，则，，
所以，因为，，
所以，
因为的周长为72，所以，
所以，得，所以双曲线方程为.
故选：C.
考点二 双曲线的焦点三角形
7．（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ）
A．2B．2或18C．4D．18
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义即可求解.
【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.
故选：B
8．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，，为坐标原点，是中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义和已知条件可得出关于、的方程组，解出的值，利用中位线的性质可求得.
【详解】在双曲线中，，，，
由双曲线的定义可得，又因为，则，
因为、分别为、的中点，故.
故选：A.
9．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
由双曲线的定义可得，
所以，解得，
故的面积为．
故选：B.
10．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果.
【详解】设，，，
由双曲线的定义知：，
∴，a=m，
∴有，解得，
∵在和中，，
∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为．
故选：C.
考点三 双曲线定义的应用
11．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.
【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，
可变形为.
所以有，即，解得.
故选：A.
12．（2023春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解：可整理成，
当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；
若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立，
故选：C
13．（2023·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.
【详解】由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
14．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.
【详解】由双曲线，则，即，且，
由题意，作图如下：
，当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
15．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为.
【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
,
.
故选：D.
考点四 双曲线的轨迹方程
16．（2023·四川·高二统考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.
【详解】点，，令为轨迹上任意点，则有，
因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B
17．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
【详解】如图所示：
∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，
∴，，
∵是圆上一动点，∴，∴，
∴，，，
∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，
∴点的轨迹方程为.
故选：C.
18．（2023春·陕西渭南·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.
【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，
动圆圆心为，半径为，
当两圆外切时：，所以；
当两圆内切时：，所以；
即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，
，
所以动圆圆心的轨迹方程为：，
故选：C.
19．（2023·全国·高二专题练习）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程.
【详解】如图，
设动圆的半径为，则，，
则，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支.
因为，
所以.
故动圆圆心的轨迹方程为.
故选：D.
考点五 双曲线的离心率
求双曲线的离心率
20．（2023春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据渐近线得到，得到离心率.
【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，
所以的离心率.
故选：C
21．（2023春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.
【详解】设，，由的中点为，则，
由，两式相减得：=，
则==，
由直线的斜率，∴，则，
双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率为，
故选：B．
22．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左､右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用矩形的性质及勾股定理，结合双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】如图所示
设，则，， ，
因为，所以，
则四边形是矩形，
在中，，即，解得，
在中，，即，于是有，
解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
23．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，从而得到的最小值为，求出的值，得到双曲线的离心率．
【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，
因为双曲线，
，
由双曲线的定义可知，，
，
当且仅当点，，三点共线时，等号成立，
渐近线方程为，即，且，
此时，
的最小值为，
，，
所以
离心率，
故选：A．
24．（2023春·海南·高二校考阶段练习）设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.
【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,
双曲线 的一条渐近线的方程为 .
由 以及
解得 或
不妨取 , 则 .
因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以该双曲线的离心率 .
故选：D.
25．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】分别表示出A、B坐标，利用求得，即可求出离心率.
【详解】因为F为双曲线的下焦点，不妨设，
所以过F作斜率为的直线，所以.
因为是C的斜率大于0的渐近线，所以可设.
由联立解得：.
因为，所以，解得：.
所以离心率.
故选：C
求双曲线离心率的取值范围
26．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定义可得，，即，进而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范围，进而求得离心率的范围.
【详解】
设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有，
即.
由已知得，存在点，使得，即，显然，所以.
又，即当点位于图中位置时，等号成立，
所以，又，
所以，整理可得，，解得或（舍去），
所以，则，则，所以，
所以.
故选：C.
27．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别讨论经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上和
直线与双曲线的交点在两支上这两种情况,列出不等式,计算即可得到范围．
【详解】①当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上,可得双曲线的通径最小,
设双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线左支相交于，
当直线斜率不存在时，直线的方程为可得,即有
，
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为
②当直线与双曲线的交点在两支上,可得当直线的斜率为0时, 最小为
由①②及题意可得,即为,即有,则离心率.
故选: .
28．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设，
利用向量加法法则知，则
即，
故①，
设，
则，
②，
由①②得，即，
又，所以，即，即，
而双曲线离心率的值大于1，
故选：B
由双曲线的离心率求参数的取值范围
29．（陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线的离心率为2，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】将方程化为标准式，可知为双曲线，再结合离心率公式，即可得到结果.
【详解】该圆锥曲线是双曲线方程可化为，
∴，解得．
故选:A.
30．（2023春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，
此时，所以，
解得，所以，
当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.
综上，解得.
故选：A．
31．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意确定，根据双曲线离心率的范围可得不等式，即可求得答案.
【详解】由题意双曲线方程为,可得，
故实半轴，则，
由得，则，
即k的取值范围为，
故选：A．
考点六 双曲线的渐近线
32．（2023春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.
【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.
由已知可得，所以，则，所以.
所以，双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
33．（2023春·江苏徐州·高二期末）若双曲线：，的离心率为，则的两条渐近线所成的角等于__________.
【答案】
【分析】根据离心率与的关系以及渐近线方程的表达式即可求解.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，
又因为，所以，解得，
所以双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，
所以两条渐近线所成的角等于.
故答案为: .
34．（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得.
【详解】依题意，
由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，
由于，所以.
故答案为：
35．（2023春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（ ）
A．2B．4C．2D．4
【答案】D
【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.
【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，
该双曲线经过点，
．
所求的双曲线方程为：，即．
所以，
所以虚轴长为4.
故选：D
36．（2023·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义建立的关系即可解得答案.
【详解】设，其中，
则焦点到渐近线的距离
又因为，所以，又，得.
则在中，有，，.
则由余弦定理得
则渐近线方程.
故选：C
37．（2023·新疆·统考三模）已知P是双曲线右支上一点，分别是双曲线C的左，右焦点，P点又在以为圆心，为半径的圆上，则下列结论中正确的是（ ）
A．的面积为B．双曲线C的渐近线方程为
C．点P到双曲线C左焦点的距离是D．双曲线C的右焦点到渐近线的距离为3
【答案】D
【分析】由双曲线方程求得，，的值，继而求得，判断C;根据,证明，求得面积，即可判断；求得双曲线渐近线方程，判断；求得曲线C的右焦点到渐近线的距离，判断D.
【详解】由方程，得，，则，
由题意知，，，，
则，
，
则△的面积为，故错误．
的渐近线方程为，故错误；
，故错误；
双曲线的右焦点为 ,根据双曲线的对称性不妨取渐近线方程，
即 ，
则双曲线C的右焦点到渐近线的距离为 ，
故D正确，
故选：D
考点七 直线与双曲线的位置关系
（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用
38．（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（ ）
A．条B．条C．条D．条
【答案】C
【分析】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.
【详解】直线，即恒过点，
又双曲线的渐近线方程为，
则点在其中一条渐近线上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线有条.
故选：C
39．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断.
【详解】的斜率分别是；
对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误；
对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误；
对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确；
对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误.
故选：C.
40．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.
【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；
必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.
所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.
故选：B
41．（2023·全国·高二专题练习）若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是
A．（）B．（）C．（）D．（）
【答案】D
【详解】由直线与曲线 相切得
由图知,的取值范围是（），选D.
42．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把直线的方程和双曲线的方程联立，由于直线与双曲线的右支相交于不同的两点，根据韦达定理即可求得实数的取值范围.
【详解】联立直线方程和双曲线方程，
化简得，
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，
所以,不妨设两交点的横坐标为，则,
则，解得；
所以实数的取值范围为.
故选：D.
43．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意作出曲线C的图象，作出直线的图象，平行移动直线，即可得到当直线l介于与之间时，直线l与曲线C有两个公共点，结合图象，即可求出实数m的取值范围．
【详解】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；
当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，
作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，
如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．
设的方程为，，则有，
联立，消去x并整理得，
由，解得或（舍），
故m的取值范围为．
故选：B．
（二）弦长问题
44．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.
【详解】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，
故选：D
45．（2023·高二课时练习）已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长．
【详解】解：双曲线，则，所以右焦点，
根据题意易得过的直线斜率存在，设为，
联立，
化简得，
所以，
因为中点横坐标为4，所以，
解得，所以，
则，
则．
故选D．
46．（2023·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【详解】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，
不妨假设，则，
由图象的对称性可知，
可化为，
即，解得，
故双曲线方程为：，
故选：C
47．（2023春·福建福州·高二校考期中）设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出渐近线，由双曲线的对称性，不妨设，由列方程解出参数，求出，即可求面积.
【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨设，由得，
又，∴的面积.
故选：A
（三）中点弦问题
48．（2023·全国·高二专题练习）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用“点差法”求出l的斜率，再验证作答.
【详解】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，
所以l的斜率为2.
故选：C
49．（2023秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【分析】运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】解：设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
∵，
∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
整理得，即直线l的斜率为，
故直线l的方程为y﹣2=(x﹣1)，
即x﹣8y+15=0，
故选：C.
50．（2023春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.
【详解】设，则
由，可得
则，即，则
则双曲线的渐近线的斜率为
故选：A
51．（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据，，的关系得出，设出，两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出，再根据直线过点，求出，即可得出，进而求出，得出双曲线的标准方程.
【详解】解：设双曲线的标准方程为：，
由题意知：，
即①
设，，
的中点为，
，，
又，在双曲线上，
则 ，
两式作差得：，
即，
即，
又，
即，
解得：②，
由①②解得：，，
双曲线的标准方程为：.
故选：B.
52．（2023·高二课时练习）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.
【详解】设代入双曲线方程作差有:
，
有，
所以，
故选：B．
考点八 双曲线中参数范围及最值问题
53．（2023春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求出的值，则双曲线方程为，则，，设，列出有关的表达式，再根据渐近线方程即可解得其的取值范围.
【详解】根据题意知：，，故，，双曲线方程为，则，，
设，则，，，，
根据渐近线方程知：，即，两边同时倒数可得：，
故．
故选：C．
54．（2023春·福建宁德·高二统考期末）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义和性质得到，由渐近线方程得到渐近线的斜率，当时，利用余弦定理和面积公式，通过面积相等的两种不同求法，建立关系，最终求出k的范围.
【详解】
焦点在x上

焦点坐标为
由双曲线的对称性可得
又


又

又
而
当时，整理得
又

又的渐近线方程为
又
k的取值范围为
故选：C
55．（2023春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E(参考解析中的图)，根据圆的切线长定理得到相关线段的相等关系，结合双曲线的定义及线段关系可得，进而确定E的坐标，设并确定其范围，由及平方关系、二倍角正弦公式和正弦函数的性质求范围.
【详解】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E，设E为，如下图示：
由圆的切线性质知：，，，
由双曲线的定义知：，即，故，可得，即，
故圆M切x轴于双曲线的右顶点处，同理圆N也切x轴于双曲线的右顶点处，又，
所以，则，
设，易知：，又分别为和的平分线，
所以，，，
所以，又，
所以.
故选：A．
56．（2023·高二课时练习）已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，，所以==，解得，故选A.
考点九 双曲线的定点、定值问题
57．（2023秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直线恒过定点______．
【答案】
【分析】先将直线和双曲线方程联立，然后根据两条直线互相垂直，利用向量坐标运算列出方程后整理后可知其过的定点坐标.
【详解】解：由题意得：
设的方程为
由，得．
设，，则，，又，
∴，即，
把根与系数的关系代入，可得，
∴，解得或．
当时，直线过，舍去；当时，直线过定点．
故答案为：
58．（2023春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___．
【答案】
【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式.
【详解】因为双曲线C：
所以，设且即
，所以
故答案为：
59．（2023春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点
【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.
（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与，可得，后通过分解因式可得之间关系，从而可得l所过定点.
【详解】（1）如图，设圆E的圆心为，半径为r，由题可得圆M半径为，圆N半径为
则，，所以，
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
又.
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，.
（2）设直线l的方程为，将直线方程与曲线E方程联立，有：
，消去x得，
由题直线与曲线有两个交点，则.
设，，其中，，由韦达定理有：.
又，
则
又，，则
，
即，
又，故或，
若，则直线l的方程为，
此时l过点，与题意矛盾，
所以，
故，
所以直线l的方程为，
则直线l恒过点
60．（2023·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线经过点，过原点且斜率为的直线与双曲线交于、两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为双曲线上异于、的任意一点，且、的斜率、均存在，证明为定值；
(3)已知点，求最小时的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据双曲线经过的点，代入求解即可.
（2）设出、两点坐标，先表示出斜率公式，利用点差法即可求证.
（3）首先利用数量积得，进而得直角最小.
【详解】（1）因为点在曲线上，则有，解得，故双曲线方程为.
（2）由题意可知，、关于原点对称，设、、. 则，，那么，又因为、在曲线上，则，
两式相减整理得，则有.
（3）如图所示：
设、、. 则，，
，即为直角或钝角，
所以当为直角时最小，此时，所以.
61．（2023春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线：的离心率为，且点在双曲线上.
(1)求曲线的方程；
(2)动点M，N在曲线上，已知点，直线PM，PN分别与y轴相交的两点关于原点对称，点在直线MN上，，证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由双曲线过点和离心率为，列方程即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，根据直线PM，PN与y轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意可知：
且，解得，
故双曲线方程为：.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，此时两点关于轴对称，
若直线PM，PN与y轴的两交点关于原点对称，则在轴上，与题意矛盾，因此直线的斜率存在.
设直线的方程为，，，
联立，整理得，
则，，，.
直线PM，PN分别与y轴相交的两点为，，
∴直线方程为，
令，则，同理，
可得，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
当时，，
此时直线方程为恒过定点，显然不可能，
∴，直线方程为，恒过定点
∵，设中点为T，∴，
∴为定值，
∴存在使为定值.
考点十 双曲线中的向量问题
62．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且位于第一象限，，则的纵坐标为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由，可知为直角三角形，利用勾股定理计算出，又由双曲线的定义建立，联立解的，设的纵坐标为，由等面积法求出即可
【详解】因为，所以.
由双曲线的定义可得，所以，
解得，
故的面积为.
设的纵坐标为，
则的面积为，解得.
所以的纵坐标为：
故选：C.
63．（2023春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率；
（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程.
【详解】（1）因为是双曲线E上一点，
可得，即为，
由题意可得，，
可得，即有.
（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，可得，
设，则，，①
又，可得，②
由①②可得， ，
代入①可得，解得，
则直线l的方程为.
64．（2023春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程，
（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值.
【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，
，解得，
因为
所以双曲线的标准方程为
（2）将直线与曲线联立 得，
设，，则，，
设，由得，
即 ，又因为，解得，
所以或.
65．（2023春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
考点十一 双曲线中的综合问题
66．【多选】（2023春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C：，两个焦点记为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．渐近线方程为：
C．离心率为
D．点在双曲线上且线段的中点为，若，则
【答案】AC
【分析】根据双曲线的性质判断ABC，再由中位线定理结合定义判断D.
【详解】由题意可知，，即渐近线方程为：，，离心率为，故AC正确，B错误；对于D，当位于轴上方时，由中位线定理可得，，则，故D错误；
故选：AC
67．【多选】（2023春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率
【答案】BCD
【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.
【详解】先求双曲线上一点的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：
又有，化简即可得切线方程为： .
不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，
是切线与渐近线在第一象限的交点，
是切线与渐近线在第四象限的交点,
双曲线的渐近线方程是，
联立：，解得：，
联立：，解得：，
则，
又因为，所以，即，A错误；
由，
可知是的中点，所以，B正确；
易知点的坐标为，
则，
当点在顶点时，仍然满足，C正确；
因为，所以，，
因为，则，解得，即，
代入，得，
所以
，
，
所以，
所以，，所以离心率，D正确.
故选：BCD
68．（2023春·四川成都·高二树德中学校考期中）设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线l的距离为aB．双曲线的离心率为
C．的外接圆半径为D．的面积为9
【答案】B
【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断A选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C选项；利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断D选项．
【详解】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为，
由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误；
在中，，又，得到，
解得，，，所以双曲线的离心率，故B正确；
，设△的外接圆半径，
因此，所以，故C错误；
△的面积．故D错误.
故选：B．
69．【多选】（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．直线与双曲线C有两个交点
C．曲线经过双曲线的一个焦点D．焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD
【分析】根据待定系数法求得双曲线方程，进而逐项求解判断即可．
【详解】解：由题意设双曲线方程为，
∵ 双曲线过，
，
∴ 双曲线方程为，故A对；
联立消得，故直线与双曲线只有一个交点，
故B错；
由得焦点坐标为，
将代入得，
故C对；
由双曲线的性质知交点到渐进线的距离为，
或者到渐进线的距离，
故D对．
故选：ACD．
70．【多选】（2023·全国·高二假期作业）已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．若在双曲线上，且，则或1
C．若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为
D．若在双曲线上，且，则的面积为
【答案】AC
【分析】由焦点到渐进线的距离为4可得，，可得离心率；即A正确；根据双曲线定义即可求得判断B；根据焦点弦公式可知的最小值为双曲线的通径可判断C；根据双曲线定义即勾股定理分别计算出的长，即可的面积从而判断D.
【详解】由已知可得，到直线的距离为，
所以，即离心率为，所以A正确；
若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，
故，所以B错误；
若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，
即，故C选项正确；
若在双曲线上，且，设，不妨设，
由双曲线定理和勾股定理得：
，
所以，
则的面积为；
即D错误.
故选：AC.
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·江苏连云港·高二期末）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】等轴双曲线的方程可设为，将代入解出即可.
【详解】设等轴双曲线的方程为，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程为．
故选：A．
2．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
【答案】B
【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D.
【详解】由题意得，当时，，
即，要表示椭圆，需满足 ，解得且，
故A错误；
若E表示双曲线，则不能为0，
故化为，
则，即或，故B正确；
由B的分析知，时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，
当时，，此时 ，
则，解得 ，
当时，，此时 ，
则，解得 ，故D错误，
故选：B
3．（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由得到，，结合，求出，，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.
【详解】不妨设点M在第一象限，
由题意得：，
即，
故，故，
因为O为的中点，
所以，
因为，故为等边三角形，
故，，
由双曲线定义可知：，
即，解得：.
故选：C.
4．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；
【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．
故选：C
5．（2023春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知双曲线：的渐近线方程为，则（ ）
A．2B．－2C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的方程可得渐近线方程为：，结合题意然后根据双曲线标准方程可得，进而求解.
【详解】因为双曲线的方程为，所以，
令可得：，所以渐近线方程为：，
由题意知：双曲线：的渐近线方程为，所以，
故选：B.
6．（2023春·安徽合肥·高二校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】D
【分析】已知直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得出结论．
【详解】联立，消y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为.
故选：D．
二、多选题
7．（2023春·江苏无锡·高二统考期末）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
【答案】BC
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
8．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的左､右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与双曲线无交点，则
B．焦点到渐近线的距离为2
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与不重合时，直线的斜率之积为2
【答案】BC
【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；
求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；
设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C；
求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.
【详解】对A，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线无交点，则.A错误；
对B，由A渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离.B正确；
对C，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为.C正确；
对D，易得，由C点满足，所以直线的斜率之积为.D错误.
故选：BC.
三、填空题
9．（2023秋·上海虹口·高二校考期末）直线与曲线的交点个数是______.
【答案】2
【分析】分，去绝对值，然后联立方程直接求解可得.
【详解】当时，将代入，
整理得，解得，（舍去），
当时，将代入，
整理得，解得，（舍去），
综上，直线与曲线的交点个数是2个.
故答案为：2
10．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
【答案】
【分析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.
【详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，
则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
11．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；
（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．
【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）得，则，，，
又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，
设，，
联立，消去，得，
则，，，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以．
12．（2023秋·上海闵行·高二校考期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据渐近线方程，焦点坐标，列出的方程进行求解即可；
（2）利用弦长公式直接计算即可；
（3）先确定直线斜率是否存在，然后联立直线与双曲线，通过中点坐标公式列方程求解.
【详解】（1）由题意得，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）由题意得直线的方程为，由得，，设，则，所以；
（3）当直线的斜率不存在时，中点横坐标为，显然不合题意，所以设直线的方程为，
由，得，
设，则，解得，
此时所联立方程可整理化简得：，满足，符合题意，
故直线的方程为．
13．（2023秋·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.
(1)求C的方程；
(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由渐近线方程及焦点坐标、双曲线参数关系求出双曲线参数，即可得C的方程；
（2）设，，直线l的斜率为k，由点在双曲线上及中点坐标，结合点差法求斜率，注意验证是否满足题设，应用点斜式写出直线方程.
(1)
双曲线C的渐近线方程为，则，且，解得，.
所以C的方程为.
(2)
设，，直线l的斜率为k，
则，两式相减，得，
即，所以，即.
直线l的方程为，即.
经检验，直线与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以，直线l的方程为.
14．（2023春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．
①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；
②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【分析】（1）根据双曲线的定义直接得到答案.
（2）根据直线与双曲线的位置关系得到，计算，根据的范围得到的取值范围；假设存在点满足条件，通过得到，计算得到答案.
【详解】（1）由，知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．
，，，故，轨迹方程为．
（2）直线的方程为，，
得，设，，，，
由条件得，
解得，即．
①，
由条件，故，故，
因为，因此．
②设存在点满足条件，
由
，
得对任意恒成立，所以，
解得，
因此存在定点满足条件．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x