第09讲 函数的单调性-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【考点目录】
【知识梳理】
1.函数的单调性与导函数的关系
一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．
2. 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
注：1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题
(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
2. (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
3. 函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
4. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
注：由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
【考点剖析】
考点一 利用导数求函数的单调区间
不含参函数的单调性
1．（2023春·高二校考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．
【详解】函数的定义域为，
，
令，
∴函数的单调递减区间是，
故选：A
2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）函数的单调减区间为________.
【答案】
【分析】求导，利用导函数小于等于0，即可求解.
【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为，
故答案为：
3．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对函数进行求导，令即可求解
【详解】由可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
故选：B
4．（2023秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）即证设，即证. 利用导数求出即得证.
【详解】（1）解：当时，所以
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：当时，即证
因为，所以即证
设，即证.
,
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以.
所以原题得证.
5．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数，其中为常数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）由求出，令、解不等式可得答案；
（2）转化为在上恒成立，令，即求，
利用导数判断出单调性可得答案.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
由得，，
令，解得；
令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则，
，
在上单调递减，
在区间上的最大值为，
，
即实数的取值范围是．
6．（2023·全国·高二假期作业）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，利用导数判断单调性；（2）利用分析法证明：先分类讨论，当时，直接证明；当时，转化为只需证.构造函数，，利用导数判断单调性，求出最值，即可证明.
【详解】（1），.
令得，且当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）原不等式化为：.
当时，，，显然成立；
当时，因为，
所以只需证.
令，，
则，.
且当，，所以存在唯一使，
且时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以，即.
所以当时，，
综上所述：.
含参函数的单调性
7．（2023春·河南商丘·高二睢县高级中学校考阶段练习）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若有一个零点，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出定义域，求导，由导函数的正负确定函数的单调性；
（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，
，当时，恒成立，在上单调递增.
当时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
综上可知，时，在上单调递增.
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）有一个零点，可得有一个实根，
令，.
令，得；令，得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴.
又，
∴时，；时，.
大致图象如图所示，
若直线y＝－k与的图象有一个交点，
则或，即或.
∴k的取值范围是.
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增
(2)
【分析】（1）求导可得，再求导分析的最小值，进而可得的单调性；
（2）将题意转化为对任意恒成立，再构造函数，求导分析单调性，结合求解即可.
【详解】（1），令，则，易得为增函数，令有，故当时，单调递减；当时，单调递增.
故.又，故，即，在上单调递增.
（2）即，对任意恒成立.
设，则.
，令，则，故为增函数.
又，且，故若要恒成立，则，即.
此时对任意恒成立.
9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值集合.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；
（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；
（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.
【详解】（1）当时，，则.
根据导数的几何意义，可得函数的图象在点处的切线斜率，
又.
所以，切线方程为，整理可得.
（2）定义域为R，.
当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；
当时，解，即，解得，
解，得，则在上单调递增，
解，得，则在上单调递减.
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.
则由（2）知，在时，取得最小值.
要使恒成立，则只需满足即可，即.
令，即.
.令，则.
当时，，当时，，
所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.
又，所以，所以有.
即当时，，有成立.
所以，实数的取值集合为.
10．（2023春·陕西延安·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)时，在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）将代入函数解析式，求出的值，再根据函数的导函数求出切线方程的斜率，然后利用点斜式方程即可得到答案；
（2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到答案；
（3）若函数对任意都有成立，即可寻找区间上的最小值大于等于0，根据第二问求出的单调区间，进行分类讨论，即可得到答案.
【详解】（1）根据题意，当时，，定义域为，
所以，当时，，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为函数，定义域为，
，因为，所以的正负与的一致，
当即时，在上恒成立，
因为，所以恒成立，
所以函数在区间上单调递增；
当即时，
令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，即，解得，所以函数在区间上单调递减.
综上，当时，函数的单调增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为.
（3）由（2）得，当时，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数在区间上单调递增，
所以，
可得对任意都有成立，所以满足题意；
当，函数的单调增区间为，单调递减区间为，
所以对于，当，即时，函数在区间上单调递增，
所以，
可得对任意都有成立，所以满足题意，
当时，即，此时函数的单调增区间为，单调递减区间为，
所以，
又因为，
根据函数的单调区间可知，
所以存在有，与题干矛盾，所以不满足题意.
综上，a的取值范围为.
11．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数存在两个零点，证明：.
【答案】(1)当时，在区间上单调递减；
当时在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;
（2）利用函数零点可得，，整理变形可得，换元令，得，结合，需证明，由此构造函数，利用导数即可证明结论.
【详解】（1）由于，则定义域为 ，
可得：，
当时，∵，∴，故在区间上单调递减；
当时，∵，∴由可得，由得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：∵，，，不妨设，
则有，，
两式相加得，相减得，
消去得：，
令，则，
要证，即证，也就是要证，即证，
令，
∵
∴在上为增函数，，即成立，故.
【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用，，将两式相加减，进而消去a，可得，换元令，得，进而根据，需证，从而构造函数，解决问题.
考点二 函数图象与导数图象的应用
12．（2023春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称
，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项；
又，故排除D选项；
，当时，，即在上单调递增，故排除C选项.
故选：B.
13．（2023·黑龙江·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考学业考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的定义，判断函数奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则其定义域为，
因为，故函数为偶函数，
，，
令，解得，可得下表：
故选：A.
14．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列函数的解析式（其中…为自然对数的底数）与所给图像最契合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由图像可知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，
故对于A选项，由幂函数性质可知，为奇函数，且在上单调递增，不满足题意；
对于B选项，函数的定义域为，不满足；
对于C选项，函数，由于函数在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上为单调递增函数，故不满足；
对于D选项，易得函数为奇函数，，当时，，函数为减函数，时，，函数为增函数，且时，，时，，故满足条件.
故选：D
15．（2023秋·吉林长春·高二长春市第五中学校考期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
16．（2023秋·四川绵阳·高二校考期中）已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，根据函数的图象得到的正负，即得解.
【详解】解：设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
故选：C
考点三 函数的单调性的应用
根据函数的单调性求参数
17．（2023·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.
【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
18．（2023春·陕西延安·高二校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立.
令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，
故，则，即.
经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.
故选：B.
19．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故选：B
20．（2023·高二课时练习）设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
【答案】
【分析】先求得的单调区间，再根据函数在区间上是单调函数，列出不等式，即可得到结果.
【详解】，，
令，解得或，
令，解得.
故在上严格增，在上严格减，在上严格增.
又在区间上是单调函数，
则只需，解得.
故实数m的取值范围为.
21．（2023·全国·高二假期作业）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围.
【详解】由，得，
当在内为减函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
当在内为增函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，因为在内单调递增，在内单调递减，
所以在内的值域为，所以或，
所以函数在内单调时，a的取值范围是，
故在上不单调时，实数a的取值范围是．
故答案为：．
22．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期中）若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．D．不存在这样的实数
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：
，
令，解得，或，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
即函数极值点为，
若函数在区间上不是单调函数，
则或，
所以或，
解得或
故选：B．
23．（2023·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．
【答案】
【分析】分析可知不等式的解集为，利用韦达定理可求得实数的值.
【详解】函数的定义域为，且，
由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得.
故答案为：.
24．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
利用单调性比较大小
25．（2023·四川资阳·统考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先比较，的大小，构造函数，求，根据与0的符号关系来确定的增减性，进而求得，再把代入即可得到；比较，的大小，根据当时，有，再把代入即可得到，从而即可得解．
【详解】令，则，
当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，
所以，
所以，即，
所以；
又设，恒成立，
∴当， 单调递减，
当时，有，则，
所以，
综上可得．
故选：D．
26．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导函数求出单调性，利用单调性比较大小.
【详解】设，则，
当得：，当时，，
所以在上单调递增，上单调递减，
又，所以，即c故选：D．
27．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】构造函数，因为，
所以，因此函数是增函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递减函数，
于是有，
故选：D
利用单调性解不等式
28．（2023春·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设函数，则使得成立的的取值范围是___．
【答案】
【分析】利用导数确定函数为单调性，再确定函数为偶函数，则 转化为，求解即可．
【详解】∵
∴
∴为偶函数，
∴
当时,,, 则在上是单调增函数
∵,又因为偶函数
∴,
即得,
即,解得
故的取值范围为：
故答案为: ．
29．（2023春·河南·高三期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，原不等式可整理为，求导得到的单调性，构造函数，求导，根据单调性得到，然后分和两种情况解不等式即可.
【详解】不等式可整理为，
令，定义域为，则原不等式可看成，
，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，
令，则，令，则，令，则，
所以在上单调递增，上单调递减，且，所以，即，即，
当时，，，所以，解得；
当时，，，所以，不成立；
综上可得，不等式的解集为.
故选：D.
30．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数定义域为R，
因为，所以是一个奇函数.
因为，所以在R上单调递增.
因为，又是一个奇函数，
所以，
又在R上单调递增，
所以，解得.
不等式成立的一个充分不必要条件是集合的真子集，所以选项C正确.
故选：C.
31．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决．
【详解】令，则，
因为，
所以，即，
设，
所以，
因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以等价于，
则，即，解得．
所以不等式的解集是．
故选：C
32．【多选】（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数，若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若方程有一个根，则
【答案】BC
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断A选项；由函数的单调性可判断B选项；利用函数在区间 上的单调性可判断C选项；取特例可判断D选项.
【详解】对于A选项，构造函数，定义域为，，
当 时，；当 时，．
所以，函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为
当 时，，即，A选项错误；
对于B选项， ，由于函数在上单调递增，
当时，，即 ，所以，B选项正确；
对于C选项，函数，定义域为，
令，则；令，可得
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
当 时，，则，
即，C选项正确；
对于D选项，当时，若方程也只有一个根，D选项错误.
故选：BC
考点四 证明不等式
17．（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，证明.
【答案】(1)时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数导数，对分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性即可得解；
（2）由函数的单调性可确定函数零点在两侧，要证原不等式可转化为证，再由函数的单调性转化为证，构造函数，利用导数即可得证.
【详解】（1）的定义域为，且，
当时，成立，所以在上单调递增；
当时，
当时，成立，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数.
综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，至多有1个零点，不符合题意；
当时，函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以为函数的极小值，函数有两个零点则，
不妨设，则，
要证，即证，
因为在上为减函数，
所以只要证，
又，即证，
设函数，
所以，所以在上为增函数，
所以，所以成立，
从而成立.
18．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：在上，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论：和两种情况，分别求单调区间；
（2）对，利用导数讨论单调性，求出最小值，即可得到，即证.
（1）函数的定义域为，.若，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数；若，当时，，此时函数为减函数，当时，，此时函数为增函数.
（2）当时，令，则，当时，，此时函数在递增，当时，恒成立.故在上，.
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·山东济南·高二济南市历城第二中学校考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.
【详解】解：时，，，
在上单调递减，在上单调递增，，
时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，
由图可得，是方程，即的两根，
是方程，即的两根，
，，
则，
设，，则，在上单调递增，
当时，，即.
故选：A.
2．（2023秋·山东青岛·高二统考期末）已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，利用导数求出函数的单调区间及最值，从而可得出当时，函数零点的个数，即曲线与直线交点的个数，从而可得出答案.
【详解】解：令，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，当且仅当时，取等号，
所以当时，函数只有一个零点，
即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，
所以当时，曲线与直线没有交点，
所以.
故选：A.
3．（2023秋·吉林·高二校联考期末）函数的递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数求的递增区间.
【详解】由题设，且，可得，
所以递增区间为.
故选：C
4．（2023秋·贵州黔东南·高二统考期末）已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得函数为偶函数，再利用导数求得函数在上单调递增，则再上单调递减，结合对数的运算性质和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，函数，则，
所以函数为偶函数，
又当时，，可得，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
又由， ，且，
所以，即.
故选：D.
5．（2023秋·浙江台州·高二温岭中学校联考期末）已知是定义在的增函数，设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数和，利用导数求得函数的单调性，得到，再结合函数的单调性，即可求解.
【详解】令，可得，
当时，，单调递增，
又由，所以，即，所以；
令，可得，
当时，，单调递增，
又由，所以，即，所以，
所以，
因为是定义在的增函数，所以，即.
故选：C.
二、多选题
6．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】ABC
【分析】由在上恒成立，参变分离得，结合二次函数求出最小值即可求解.
【详解】由题意得在上恒成立，即，整理得，即，
又在上单调递增，则最小值为，故，结合选项知，可取0，1，2.
故选：ABC.
7．（2023春·浙江温州·高二统考期末）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】求出函数的导函数，根据函数的图像可知，将用表示，分析从而可得出答案.
【详解】解：，
由图可知，，
则，故C正确；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，故AB正确；
则，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
8．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意可得在恒成立，即恒成立，即可求出.
【详解】由题设，，
因为在单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
故答案为：.
9．（2023秋·山东淄博·高二统考期末）已知函数，若对于定义域内任意不相等的实数，都有，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意可得函数在上递减，则在恒成立，分离参数，构造新的函数，利用导数求出新函数的最值即可得出答案.
【详解】解：函数的定义域为，
因为对于定义域内任意不相等的实数，都有，
所以函数在上递减，
，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
所以，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
10．（2023秋·山东日照·高二校联考期末）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先利用导数求函数的单调递减区间，再结合区间的包含关系，列式求实数a的取值范围
【详解】，，令，得，而因为函数在区间上单调递减，故，故.
故答案为：
11．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）若函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性将问题转化为在恒成立，求出的取值范围即可．
【详解】解：由，得，
函数在区间内单调递减，
在恒成立，
在恒成立，
在恒成立，
，即
故答案为：．
12．（2023春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知函数,__________，若且，则的最大值是__________．
【答案】 0
【分析】根据函数解析式可得，进而可得，作出函数的图象，令，则，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最大值，即得.
【详解】因为，
所以，；
作出函数的图象，
设，则，
由，可得，由，可得，
令，其中，，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因此，的最大值为.
故答案为：0；.
四、解答题
13．（2023春·山东济宁·高二济宁一中校考期末）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)当时，函数在上单调递增
(2)
【分析】（1）求导，根据导函数的符号判断；
（2）构造函数，求导，对a分类讨论导函数的符号.
【详解】（1）当时，，
则 ，令 ，则 ，
因为 为增函数， ，
所以当时， ，则单调递增；当时， ，则单调递减，故，即 ，
所以当时，函数在上单调递增；
（2）令，
当时，恒成立等价于恒成立，
因为，
(i)当时， ，函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；
(ii)当时，设，
在上单调递增， ，
①当即时， ，
函数 在上单调递增，所以 在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；
②当即时， ，
若 ，即时，在上恒小于等于0，
则 在上单调递减， ， 在上单调递减，，不符合题意；
若 ，即时，存在，使得 ，
所以当时， ，则 在上单调递减，
当时，存在 ，此时存在不符合题意，
所以a的取值范围是；
综上，（1）当时，函数在上单调递增；（2）a的取值范围是.
14．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
(2)
【分析】（1）首先求出函数的导数，对a讨论，根据的正负即可求出函数单调性；
（2）利用参数分离将在上恒成立，转化为在上恒成立问题，设，求出在上的最大值，即可得到a的取值范围.
【详解】（1）已知，则函数的定义域为，且，
当时，，在单调递增；
当，且时，，此时在上是增函数；
时，，此时在上是减函数．
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
，则，
a的取值范围为.
15．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知函数．
(1)若，求函数的图像在处的切线方程；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；
（3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可.
【详解】（1）解：当时，函数，，
所以，，
所以函数的图像在处的切线方程为，即.
所以，函数的图像在处的切线方程为
（2）解：当时，，定义域为，
所以，，
所以，时，在上恒成立，故在上单调递增，
当时，令得，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由题知，，
因为函数有两个相异零点，且
所以且，，即，
所以，方程有两个不相等的实数根，
令，则，
故当时，，时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，要使方程有两个不相等的实数根，则.
不妨令，则
所以，，
要证，只需证，即证：
因为，
所以，只需证，
只需证，即
故令，
故只需证，成立，
令
则，
在恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，
所以在恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，，即，成立，
所以，成立.
16．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）设函数
(1)求的单调区间
(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值
【答案】(1)答案见解析
(2)2
【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母，故应按照的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间.
(2)由题设条件结合(1),将不等式成立转化为，由此将转化为求在给定区间的最值问题.
【详解】（1）函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增，
当时，时， ，当，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）
由于，所以，故当， ，等价于
令，①
则，由(1)可知，当时，函数在上单调递增，而，所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，设此零点为，则有，当时，，当时，，
所以在上的最小时为，又由，可得，所以 ，由于①等价于，故整数的最大值为2.
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
极小值
极小值