第12讲 排列组合-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【考点目录】
【知识梳理】
知识点1 排列与组合
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
(2)排列数
(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(4)组合数
3. Aeq \\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq \\al(m－1,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1)；
(n＋1)！－n！＝n·n！.
4. kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1)；Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m－1,n－1)＋Ceq \\al(m－1,n－2)＋…＋Ceq \\al(m－1,m－1).
知识点2 有约束条件的排列问题
一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.
知识点3 解组合问题时要注意
①分类时不重不漏；
②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；
知识点4 分堆与分配问题
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列. 分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：eq \f(平均分堆到指定位置,堆数的阶乘). 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组.
【考点剖析】
考点一 排列的基本问题
全排列问题
1．（2023秋·天津红桥·高二统考期末）已知数字1，2，3，4，5．
(1)可以组成多少个没有重复数字的五位数；
(2)可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．
2．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有______种．
3．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）某同学有2本不同的语文书，3本不同的数学书，2本不同的英语书，如果要将全部的书放在一个单层的书架上，且不使同类的书分开，则不同的放法种数是______（用数字作答）
4．（2023秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是___________.
元素（位置）有限制的排列问题
5．【多选】（2023秋·江苏扬州·高二统考期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（ ）
A．女生甲不在排头的排法总数为24
B．男女生相间的排法总数为12
C．女生甲、乙相邻的排法总数为48
D．女生甲、乙不相邻的排法总数为72
6．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（ ）
A．30种B．360种C．720种D．1440种
8．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
9．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
10．（2023秋·广西河池·高二统考期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数共有（ ）
A．56个B．60个C．66个D．72个
相邻问题的排列问题
11．（2023秋·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考期末）甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（ ）
A．6B．12C．24D．48
12．（2023秋·上海徐汇·高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．20B．40C．60D．80
13．（2023秋·上海静安·高二校考期末）有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为___________，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为___________.（用数字作答）
14．（2023秋·上海崇明·高二统考期末）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．
不相邻排列问题
15．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的方法有（ ）
A．5种B．6种C．10种D．20种
16．（2023秋·贵州黔东南·高二统考期末）小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）4个人随机去坐连成一排的11个座位，由于受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少留有一个空位，则不同的坐法有______种．
18．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）现有7位同学（分别编号为A，B，C，D，E，F，G）排成一排拍照，若其中A，B，C三人互不相邻，D，E两人也不相邻，而F，G两人必须相邻，求不同的排法总数．
19．（2023秋·河南安阳·高二统考期末）2022年央视春晩出现了很多优秀的歌曲、小品、相声等节目，现将歌曲《你是我生命中的礼物》《我们的时代》《爱在一起》《春天的钟声》，冬奥主题歌曲《点亮梦》，小品《父与子》《还不还》《喜上加喜》《发红包》《休息区的故事》，相声《欢乐方言》《像不像》这12个节目进行排列，则冬奥主题歌曲《点亮梦》排在最后一位，相声《欢乐方言》与《像不像》不相邻，小品《喜上加喜》与《发红包》相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考期末）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）
A．72B．48C．36D．24
定序问题
21．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．
22．（2023秋·安徽合肥·高二合肥市第十一中学校联考期末）有名男生与名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答).
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，男生互不相邻；
（3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.
23．（2023秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.
24．（2023秋·全国·高二期末）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42B．56C．30D．72
正难则反
25．（2023秋·吉林·高二校联考期末）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．72B．324C．648D．1296
26．（2023秋·全国·高二期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．9B．36C．54D．108
27．【多选】（2023秋·广东清远·高二统考期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
考点二 组合的基本问题
实际问题中的组合问题
28．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲从到达处的走法总数；
(2)求甲乙两人在相遇的方法数．
29．（2023秋·山东临沂·高二统考期末）某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动.现有，，，四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（ ）
A．B．C．D．
31．（2023秋·上海闵行·高二校考期末）书架上有2本不同的数学书，3本不同的语文书，4本不同的英语书．若从这些书中取不同科目的书两本，有____种不同的取法．
代数中的组合计数问题
32．（2023春·四川攀枝花·高二统考期末）千年一遇对称日，万事圆满在今朝，年月日又是一个难得的“世界完全对称日”（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）. 数学上把这样的对称自然数叫回文数，两位数的回文数共有个（），其中末位是奇数的又叫做回文奇数，则在内的回文奇数的个数为___．
33．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
34．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
几何组合计数问题
35．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末）已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条．
37．（2023秋·全国·高二期末）如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（ ）
A．4B．6C．10D．11
考点三 排列、组合的综合问题
（一）分堆与分配问题
38．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
39．（2023秋·河南南阳·高二邓州市第一高级中学校校考期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.
40．（2023春·北京·高二北京八中校考期末）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（ ）
A．60B．120C．150D．240
41．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
42．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．24种B．30种C．36种D．72种
43．（2023秋·福建莆田·高二莆田一中校考期末）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为（ ）
A．B．C．D．
44．（2023秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考期末）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为______．
45．【多选】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ）
A．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
B．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法
D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法
（二）数字排列问题
46．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？
（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
47．（2023秋·吉林长春·高二统考期末）从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.
48．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
49．（2023秋·安徽·高二校联考期末）年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（ ）
A．200B．240C．300D．600
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·广东广州·高二统考期末）2022年北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ）
A．10B．27C．36D．60
2．（2023秋·福建福州·高二福建省福州华侨中学校考期末）甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ）
A．6种B．12种C．36种D．48种
3．（2023秋·新疆阿克苏·高二校考期末）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个数，则两个数之和为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．54B．36C．24D．18
5．（2023春·福建莆田·高二校考期末）已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有（ ）
A．9种B．18种C．27种D．36种
二、多选题
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考期末）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
7．（2023秋·广东广州·高二统考期末）将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总其有36种安排方法
B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法
C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法
D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法
8．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天.（ ）
A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种
C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种
D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种
三、填空题
9．（2023秋·福建福州·高二福建省福州外国语学校校考期末）某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有____________种不同的方法．
10．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）为了帮助某市A，B，C三个地区进行核酸检测，某医院派出甲、乙，丙、丁四个医疗队前去支援，要求每个地区至少安排一个医疗队．若甲、乙不都去A地区，一共有___________种分配方法．（用数字作答）
11．（2023秋·河南南阳·高二校联考期末）将包含甲、乙在内的5名志愿者分配到3个社区参与疫情防控工作，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，设事件“甲、乙去不同的社区”，则______．
四、解答题
12．（2023春·北京昌平·高二统考期末）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．
(1)共有多少种不同的坐法？
(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？
(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？
13．（2023秋·吉林·高二校联考期末）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．
试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？
（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
14．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示.
全排列的概念
n个不同的元素全部取出的一个排列.
阶乘的概念
正整数1到n的连乘积，用n！表示. Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1.
排列数公式
(n，m∈N*，m≤n).
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
阶乘式Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,（n－m）！).
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示.
组合
数公
式
乘积式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！).
阶乘式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！（n－m）！).
两个
性质
性质1
Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性质2
Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).