河北省2023-2024学年九年级数学第一学期期末经典模拟试题

这是一份河北省2023-2024学年九年级数学第一学期期末经典模拟试题，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在函数中，自变量x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A．abc＜0B．－3a＋c＜0
C．b2－4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c
3．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径长为（ ）
A．26寸B．25寸C．13寸D．寸
4．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为( )
A．10πB．
C．πD．π
5．如图，二次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
6．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥﹣4C．x≥﹣4且x≠0D．x＞0且x≠﹣1
7．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b0；④2c–3bn（an+b）（n≠1），其中正确的结论有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
10．某人从处沿倾斜角为的斜坡前进米到处，则它上升的高度是（）
A．米B．米C．米D．米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______________．
12．如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD的长为_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．
14．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为_____．
15．已知A(﹣4，y1)，B(﹣1，y2)是反比例函数y＝-（k＞0）图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_____．
16．计算：=______．
17．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，若，则阴影部分图形的周长为______结果保留．
18．如图，AB是圆O的弦，AB＝20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．
21．（6分）在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形．
(1)小明围出了一个面积为600cm2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？
(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.
22．（8分）计算:
(1)
(2)
23．（8分）计算：|1﹣|+（2019﹣50）0﹣（）﹣2
24．（8分）如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ= 时,求的长(结果保留 )；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.
25．（10分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
26．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品脚玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2、B
【解析】解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=，∵ =2，∴原式=，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；
故选B．
3、A
【分析】取圆心O，连接OP，过O作OH⊥PQ于H，根据垂径定理求出PH的长，再根据勾股定理求出OP的值，即可求出直径．
【详解】解：取圆心O，连接OP，过O作OH⊥PQ于H，
由题意可知MH=1寸，PQ=10寸，
∴PH=5寸，
在Rt△OPH中，OP2=OH2+PH2，设半径为x，
则x2=（x-1）2+52，
解得：x=13，
故圆的直径为26寸，
故选：A．
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4、C
【详解】如图所示：
在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：AC=，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=．
故选C.
5、B
【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【详解】∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，故④正确；
∵0＜−＜1，
∴b＞0，故①错误；
当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，
∴a＋c＜b，故③正确；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴△＝b2−4ac＞0，故②正确
正确的有3个，
故选：C．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
6、C
【解析】试题分析：由题意，得
x+4≥0且x≠0，解得x≥﹣4且x≠0，故选C．
考点：函数自变量的取值范围．
7、A
【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
8、B
【分析】①观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c由此可判定②；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1，可得a=﹣，代入y=9a+3b+c＜0即可判定④；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤.
【详解】①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确．
∴③④⑤正确．
故选B．
本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键．
9、A
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，
故选A．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
10、A
【分析】利用坡角的正弦值即可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=α，AB=600，
∴sinα=，
∴BC=600sinα．
故选A．
此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x1= －1, x2=1
【分析】根据抛物线的轴对称性以及对称轴的位置，可得抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，进而即可求解．
【详解】∵二次函数的部分图象与x轴的交点的横坐标为1，对称轴为：直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为-1，
∴的解为：x1= －1，x2=1．
故答案是：x1= －1，x2=1．
本题主要考查二次函数图象的轴对称性以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线的轴对称性，得到抛物线与x轴另一个交点的横坐标，是解题的关键．
12、9
【解析】∵AD∥EF∥BC，,∴DF=6, ∴FC=3,DC=DF+FC=9,故答案为9.
13、（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．
【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．
【详解】∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∵点P是直线y=2x+2上的一动点，
∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），
当圆P与边AB相切时，PA=PO，
∴PA=PC，即P为AC的中点，
∴P（-，1）；
当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，
∴P点与C重合，坐标为（-1，0）；
当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，
∴P点与A重合，坐标为（0，2）；
故符合条件的P点坐标为（0，2），（-1，0），（-，1），
故答案为（0，2），（-1，0），（-，1）．
本题主要考查待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．
14、1
【分析】根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出，即可得出k=EC×EO=1．
【详解】解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=10°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ =tan60°= ，
∴= =1，
∵点A是双曲线y=- 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=×|xy|= ，
∴S△EOC= ，即×OE×CE=，
∴k=OE×CE=1，
故答案为1．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
15、y1＜y1
【分析】根据双曲线所在的象限，得出y随x的增大而增大，即可判断．
【详解】解：∵k＞0，∴﹣k＜0，因此在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1，
∴y1＜y1，
故答案为：y1＜y1．
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数在各象限的增减性．
16、
【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化．
【详解】解：==
故答案为：.
此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题的关键．
17、+1．
【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴== •πAB=，∴C阴影=++BC=+1．
故答案为+1．
18、1
【解析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则OA＝AB＝1，再根据三角形中位线性质得到MN＝AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值．
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝×1＝1，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN＝AC，
当AC为直径时，AC的值最大，
∴MN的最大值为1，
故答案为1．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．
【详解】（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，
把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得，
解得：，
∴y=2x﹣1，当y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），
∴BD=2﹣=，
∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有或，
①当时，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当或时，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20、（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．
【分析】（1）在中由求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值即可求得点A、B的坐标；
（2）把（1）中所求点A、B的坐标代入中列出方程组，解方程组即可求得b、c的值，从而可得二次函数的解析式；
（3）①如图，过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，由此易得△DFE∽OBE，这样设点D的坐标为，点F的坐标为,结合相似三角形的性质和DE：OE=3:4，即可列出关于m的方程，解方程求得m的值即可得到点D的坐标；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB，则BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D的坐标．
【详解】解：（1）在中，由可得：，解得：；
由可得：，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）；
（2）把点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（3）①过点D作x轴的垂线交AB于点F，
设点D，F,
连接DO交AB于点E，△DFE∽OBE，
因为DE：OE=3：4，
所以FD：BO=3：4，
即：FD=BO= ,
所以,
解之得： m1=-1，m2=-3 ，
∴D的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，
∴∠BAH=2∠BAC，
若∠DBA=2∠BAC，则∠DBA=∠BAH，
∴AH//DB，
由点A的坐标（-4，0）和点H的坐标（0，2）求得直线AH的解析式为：，
∴直线DB的解析式是：,
将：联立可得方程组：，
解得： ，
∴点D的坐标（-2，-3）．
本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，从而构造出△DFE∽OBE，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D的坐标；解第3小题的关键是在x轴的上方作OH=OB，连接AH，从而构造出∠BAH=2∠BAC，这样由∠DBA=∠BAH可得AH∥BD，求出AH的解析式即可得到BD的解析式，从而将问题转化成求BD和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．
21、（1）20，30；（2）用这根细绳围成一个边长为25㎝的正方形时，其面积最大，最大面积是625
【分析】（1）已知细绳长是1米，则已知围成的矩形的周长是1米，设她围成的矩形的一边长为xcm，则相邻的边长是50-xcm．根据矩形的面积公式，即可列出方程，求解；
（2）设围成矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，根据矩形面积公式就可以表示成边长x的函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设矩形的长为x㎝,则宽为=（50-x)㎝
根据题意，得x（50-x)=600
整理，得x2－50x＋600=0
解得x1=20，x2 =30
∴他围成的矩形的长为30㎝，宽为20㎝.
（2）设围成的矩形的一边长为m㎝时，矩形面积为y㎝2,则有
y=m（50-m)
=50m-m2
=-(m2-50m)
=-(m2-50m+252-252)
=-(m-25)2＋625
∴当m=25㎝时，y有最大值625㎝．
22、 (1);(2)
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解:
.
或
解之:
（2）解:将原方程整理为:
或，
解之:
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23、-4
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：：|1﹣|+（2019﹣50）0﹣（）﹣2
＝﹣1+1﹣4
＝﹣4
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质．
24、（1）详见解析；（2）；（3）4