5.2 平面直角坐标系（二~三)-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1、回顾上节
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）△ABC的面积是 3 ；
（2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标 （2，2） ；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标 （3，1） ．
2.点的平移
点P（a，b）先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度得到点（a+m，b+n）；
点P（a，b）先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度得到点（a-m，b-n）；
3.点的对称
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.一三、二四象限的角平分线
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)。
5.坐标轴的平行
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同
6.以不同的点作平面直角坐标系
点的坐标、位置、与平面直角坐标系关系：（1）在同一个平面直角坐标系中，点的位置不变，则点的坐标不变；若点的位置改变，则点的坐标改变。（2）建立不同的平面直角坐标系，则点的位置不变，点的位置改变。
【解惑】
例1：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
例2：已知点与在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为，再分点N在y轴的左边和右边两种情况求出点N的横坐标，然后解答即可．
【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上，
∴点N的纵坐标为，
∵点N到y轴的距离为4，
∴点N的横坐标为4或，
∴点N的坐标为或；
故选：B．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键．
例3：在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，
，即，
点的横坐标和纵坐标相等，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
例4：如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，则这样的点C有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】D
【分析】由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求．
【详解】解：由题意可知：以、为腰的三角形有3个；
以、为腰的三角形有2个；
以、为腰的三角形有2个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
例5：如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中C点坐标为．

(1)填空：点A的坐标是______，点B 的坐标是______；
(2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）直接利用已知点的位置得出各点坐标即可；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用所在矩形面积进而减去周围三角形面积，即可得出答案．
【详解】（1）解：点A的坐标是：，点B 的坐标是：；
故答案为：，；
（2）解：如图所示：，即为所求；

（3）解：．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，熟练掌握平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023·全国·七年级假期作业）已知点），过点A向x轴作垂线，垂足为M，则点M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据垂直于轴的直线上的点的横坐标都相等，轴上的点的纵坐标为0来进行求解.
【详解】解：，点A向x轴作垂线，垂足为M，
点的纵坐标为0，横坐标与点相等，
即.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记垂直于轴的直线上的点的横坐标都相等是解答关键.
2．（2023·新疆博尔塔拉·校考二模）平面直角坐标系中点关于轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据点关于x坐标轴的对称点的特征求解即可．
【详解】∵
∴点P关于x轴的对称点为：
∴点关于x轴的对称点在第三象限
故选：C．
【点睛】本题考查了判断点所在的象限和点关于坐标轴的对称点，熟悉各个象限的点的特征是解决问题的关键．
3．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）点关于轴对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．
4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ）
A．266B．270C．271D．285
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，

∵，，
∴，
∵上有31个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点，
∴边界上的格点个数，
∵，
∴，
∴解得．
∴内部的格点个数是271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
5．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期中）已知点和点关于轴对称，则______．
【答案】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，即可得出，的值，即可得出答案．
【详解】解：点和点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
6．（2022春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）已知点与点关于轴对称，那么______．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答.
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点坐标特征是解题的关键．
7．（2023·全国·七年级假期作业）已知点，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在原点上，则P点坐标为 ___________．
【答案】
【分析】根据平移的规律：上加下减，左减右加，列出方程即可求解．
【详解】解：∵点，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得，且改点恰好落在原点上，
∴，，
解得，．
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坐标的平移，关键是利用平移的规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．在x轴的负半轴上的点的横坐标，纵坐标为0．
8．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）已知点，轴，且，则点的坐标为__________．
【答案】或
【分析】分：①点B在点A的上边，②点B在点A的下边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵轴，
∴设点，
①点B在点A的上边时，∵，
∴，
解得，
点B的坐标为；
②点B在点A的下边时，∵，
∴，
解得，
点B的坐标为；
综上所述，点B的坐标为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是：利用平行于y轴的点的横坐标相同的性质，分情况讨论．
9．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为．

(1)__________，_________；
(2)求的面积；
(3)如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据轴，可知点与点的横坐标相同，结合点到轴的距离为，得点的纵坐标为，即可得到、的值；
（2）根据三角形的面积公式得，即可求出的面积；
（3）由图象可知，再由三角形的面积公式求出，结合四边形的面积是的面积的两倍且在第二象限，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵且在第二象限，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键．
10．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点.
(1)若点M到y轴的距离是3，求M点的坐标；
(2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意得到，解答即可；
（2）根据题意得到点横、纵坐标相等，进而即可求解.
【详解】（1）解：由题意得：，
，，
，，
当时，，
当时，；
（2）解;∵在第一、三象限的角平分线上,
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征．
【知不足】
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）

A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
∴当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为，
…，
∵，
∴P的坐标是，
故选：D．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
2．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在y轴上的点横坐标为0求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了y轴上点的坐标特点，熟知在y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
3．（2023·全国·七年级假期作业）把点A先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，点B正好落在轴上，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平移方式可得平移后的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0求出m的值，即可得出点B的坐标．
【详解】解：点A先向左平移2个单位长度，对应点的坐标为，
再向上平移3个单位长度得到点B的坐标为，即，
点B正好落在轴上，
，
，
点B的坐标为，即．
故选：B．
【点睛】本题考查由平移方式确定点的坐标，解题的关键是根据平移方式用含m的代数式表示出平移后的坐标．
4．（2023春·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度．再向上平移3个单位长度得到点的坐标是___________．
【答案】
【分析】根据点的平移坐标变化规律：左减右加，上加下减解答可得．
【详解】解：将点向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的坐标变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）将点先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_________．
【答案】
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
6．（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则点的坐标为___________．

【答案】
【分析】首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律即可求解．
【详解】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为，
同理可知；
∴B2点坐标为，
同理可知；
B3点坐标为，
可知；
∴B4点坐标为，
可知，
∴B5点坐标为，
可知，
∴，
可知，
∴，
可知，
∴，
···
由规律可以发现，，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，
，
的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标互为相反数，且都在x轴上，
的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是由点坐标的规律变化发现．
7．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，已知点．

(1)将三角形向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请画出三角形．
(2)直接写出点，的坐标．
(3)在三角形内有一点，请写出按（1）中所述步骤平移后的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
（3）根据平移的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求

（2）由图可得，点，．
（3）三角形向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，
点的坐标为．
【点睛】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
8．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系，试解答下列问题：

(1)若将向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到，请画出平移后的；
(2)求的面积；
(3)已知第一象限内有两点，．平移线段，使点，分别落在两条坐标轴上．请直接写出点平移后的对应点的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)或
【分析】（1）求出平移后对应点的坐标为，再顺次连接各点即可；
（2）利用割补法求的面积即可；
（3），．两点的水平距离，垂直距离，再分两种情况即可．
【详解】（1）解：，
平移后对应点的坐标为，
平移后的图象如图所示：

（2）解：；
（3）解：，．两点的水平距离，垂直距离，
平移线段，使点，分别落在两条坐标轴上，如图所示：

点平移后的对应点的坐标为或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内图形的平移问题，本题的关键是理解图形的平移要归结为图形顶点的平移．
【一览众山小】
1．（2023·全国·七年级假期作业）已知，，将线段平移到线段，，，其中P与是对应点，则的值是（ ）
A．25B．36C．18D．16
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出平移规律解答即可．
【详解】解：，，将线段平移到线段，，，
，，
即平移规律为向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
，，
．
故选：A．
【点睛】此题考查坐标与图形变化平移，关键是根据平移规律解答．
2．（2023·河南新乡·统考三模）如图，已知点，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求得，设，，根据折叠的性质得出，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，
∴
∴，
设，，
∴
在中，，
∴
解得：，
∴的坐标为
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3．（2023·湖南长沙·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，平移这四个点中的一个点，使得这四个点关于y轴对称，则正确的平移过程是（ ）

A．将点A向左平移3个单位长度B．将点B向左平移4个单位长度
C．将点C向左平移5个单位长度D．将点D向右平移6个单位长度
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质和平移的性质可得答案．
【详解】解：A、将点A向左平移3个单位长度后坐标为，这四个点不关于y轴对称，错误；
B、将点B向左平移4个单位长度后坐标为，这四个点不关于y轴对称，错误；
C、将点C向左平移5个单位长度后坐标为，这四个点关于y轴对称，正确；
D、将点D向右平移6个单位长度后坐标为，这四个点不关于y轴对称，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和平移的性质，能够得出平移后的点的坐标是解题的关键．
4．（2023·山西·统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
5．（2023春·湖北襄阳·七年级襄阳四中校考阶段练习）已知的各顶点坐标分别为，将它进行平移，平移后A移到点，B移到点，则C移到的点的坐标为_____ ．
【答案】
【分析】根据图形平移的性质，利用A、B两点坐标平移规律得出点C平移后的坐标．
【详解】解：∵点由平移到，
∴向左平移2个单位长度；
∵点B由平移到，
∴向上平移4个单位长度；
∴点向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度得；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系中图形平移的性质以及坐标系中点的平移与坐标的变化，根据已知确定平移是本题解题关键．
6．（2023春·河北邢台·八年级统考期中）已知点，
（1）若点与点关于轴对称，则点纵坐标是____．
（2）若点与点关于原点对称，则_____．
【答案】 6
【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
【详解】解：（1）点与点关于轴对称，，
点纵坐标是．
故答案为：；
（2）点与点关于原点对称，，
，
解得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．（2023·全国·七年级假期作业）对于平面直角坐标系中的点，若N的坐标为，其中k为常数，且，则M、N互为“k系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：．若点的“系关联点”为，且满足，则m的值为_____．
【答案】6
【分析】由点的“系关联点”为，可得，，再由，即可求得m的值．
【详解】∵点的“系关联点”为，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即m的值是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查点的坐标与新定义，熟练掌握新定义并列出方程是解题的关键．
8．（2023·四川成都·成都七中校考三模）已知第二象限内的点到轴的距离为4，到轴的距离为3，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据坐标的表示方法，点到轴的距离为4，到轴的距离为3，且它在第二象限内即可得到点的坐标．
【详解】解：∵点到轴的距离为4，到轴的距离为3，且它在第二象限内，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标，解题关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度．
9．（2023·全国·七年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2023次跳动至点的坐标是 ___________．
【答案】
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点，
观察，发现：，，，，
，，，，
，，…，
∴，，，（n为自然数），
∵，
∴，
即．
故答案为：．
【点睛】此题考查规律型：点的坐标，解题关键在于理解题意找到规律．
10．（2023·全国·七年级假期作业）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标 ___________．
【答案】（2，﹣4）或（2，6）
【分析】根据A点坐标及直线轴可设，再由求出b的值即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，直线轴，
∴设，
∵，
∴，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行于x轴的直线的横纵坐标的特点，熟练掌握平行于x轴的直线的点的纵坐标相同是解题的关键．
11．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以3个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第51次相遇地点的坐标是__________．

【答案】
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为4和2，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：由题意知：长方形的边长为4和2，周长为，物体甲按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以3个单位/秒匀速运动，
第一次相遇时，物体甲行的路程为，相遇点的坐标为；
第二次相遇时，物体甲行的路程为，相遇点的坐标为；
第三次相遇时，物体甲行的路程为，相遇点的坐标为；
第四次相遇时，物体甲行的路程为，相遇点的坐标为；
第五次相遇时，物体甲行的路程为，相遇点的坐标为；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇五次，两点回到出发点，
，
故两个物体运动后的第51次相遇地点的是：第一次相遇地点，
此时相遇点的坐标为：．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
12．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）如图．在平面直角坐标系中，轴，轴，点在轴上，点，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律围绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是_________．

【答案】
【分析】根据坐标的特点，长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20，计算，看余数判断即可．
【详解】解：∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，
∴，
∴长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20，
∵，
∴细线另一端在上，且与B相距1个单位长度，
∴细线另一端所在位置的点的坐标是
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标的特点和坐标的规律，熟练掌握坐标的特点，准确计算出循环节是解题的关键．
13．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）若点到轴的距离为5，到轴的距离为3，点在轴的右侧，则点的坐标为__________．
【答案】或
【分析】根据P点在y轴右侧，可得P的横坐标为正数，根据点P到x轴、y轴的距离分别求得点P的纵坐标及横坐标的值，写出相应坐标即可．
【详解】解：点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
点P纵坐标为，横坐标为，
P点在y轴右侧，
的横坐标为3，
点坐标是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，解题的关键是注意：y轴右侧的点的横坐标为正数．
14．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
(1)已知点，在平行于轴的直线上，点的横坐标为6，点的横坐标为，试求，两点间的距离；
(2)已知点，，试求，两点间的距离；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）两点横坐标差的绝对值．
（2）利用两点间距离公式计算即可．
（3）原式表示点到和的距离之和．由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小求解即可．
【详解】（1）解：由题意；
，两点间的距离为．
（2）解：根据两点间的距离公式得，；
，两点间的距离为．
（3）解：点到和的距离之和．由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小；
最小值为和两点间的距离，即；
答：代数式的最小值为．
【点睛】本题考查平面内点的坐标特点，两点间的距离公式和两点之间，线段最短；能够理解公式的含义，结合平面内点的坐标特点求解是关键．
15．（2023·广西贺州·统考三模）如图，平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于x轴的对称图形；
(2)画出向左平移4个单位长度后得到的；
(3)如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）将的三个顶点分别向左平移4个单位长度，再把得到的点首尾顺次连接即可；
（3）根据“关于x轴对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”及“右加左减、上加下减”求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）如图所示，即为所求，
（3）上有一点关于x轴的对称的点为，向左平移4个单位长度后得到的点的坐标是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点．
16．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足．

(1)求A，B两点的坐标．
(2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，若的面积为12，求线段的长．
(3)P为x轴上一个动点，连接，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】（1）由非负数的性质可求出，，则可得出答案；
（2）由平移的性质及三角形面积公式可得出答案；
（3）设，分两种情况：①，②，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1），
，
，，
，，
，；
（2）设点向上平称个单位，向右平移个单位得到点，
，，
轴，
，
，
，
，
；
（3）设，
∵，，
∴，，，
①若，

∴，即，
∴解得，
∴；
②若，

∴，即，
∴解得，
；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，平移的性质等知识，熟练掌握待定系数法和平移的性质是解题的关键．
17（春·河北邢台·八年级统考期中）图1所示，在平面直角坐标系中，为原点，点，，．将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点，图2所示．

(1)求点坐标；
(2)连接、、，是一动点，若，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用平移法则直接求解即可；
（2）构建方程求解即可．
【详解】（1）解：，
将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点为，即，
点坐标为，
（2）解：，
，
解得或，
或．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．