河北省廊坊市三河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河北省廊坊市三河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．.D．
2．对于抛物线下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标是D．当时，随的增大而减小
3．2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，PA、PB是的切线，AC是直径，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是⊙的直径，是弦，，交于点，交于点，若，，则⊙的半径是（ ）
A．5B．4C．3D．23
6．用长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形生物园的一边长为，则围成长方形生物园的面积为，选取6组数对在坐标系中描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数的图象分别交BA，BC于点D，E.当AD:BD=1:3且BDE的面积为18时，则k的值是（ ）
A．9.6B．12C．14.4D．16
9．如图，边长为4的正方形内接于，E是劣弧上的动点（不与点A，B重合），F是劣弧上一点，连接，，分别与，交于点G，H，且，则在点E运动过程中，下列关系会发生变化的是（ ）
甲：与之间的数量关系；乙：的长度；
丙：图中阴影部分的面积和
A．只有甲B．只有甲和乙C．只有乙D．只有乙和丙
10．对于题目:在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点，过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，若抛物线与线段有唯一公共点，求的取值范围.甲的计算结果是；乙的计算结果是，则（ ）
A．甲的结果正确B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确D．甲与乙的结果合在一起也不正确
二、填空题
11．已知方程的两根分别为，则的值为 ．
12．在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
13．如图，半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，那么AP的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴分别交于、两点．过顶点分别作轴于点，轴于点，连接，交于点，则与的面积和为 ．

15．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
16．如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．

17．如图1，以边长为8的正方形纸片的边为直径作，以点为端点作，交于点，沿将四边形剪掉，使绕点逆时针旋转（如图2），设旋转角为，旋转过程中与交于点．
（1）当时，线段的长为 ；
（2）当 ，与相切．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过点作双曲线交线段于点（不与点、重合），已知．
（1） ．
（2）若，则的取值范围是 ．
三、解答题
19．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，是绕点顺时针旋转后得到的图形．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出；
(2)若点与点关于原点对称，直接写出线段的长；
(3)求点旋转形成的弧的长度．
21．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
22．如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标．
23．如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
24．如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．
(1)在旋转过程中．
①当、、三点在同一直线上时，的长为________；
②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，的长为________；
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接．如图②，此时，，求的长．
25．经研究表明，某市跨河大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，函数图象如图所示.
(1)当时，关于的函数表达式是______；
(2)求车流量（单位：辆/时）与车流密度之间的函数关系式；（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）
(3)若车流速度不低于50千米/时，求当车流密度为多少时，车流量达到最大，并求出这一最大值.
26．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；
C. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．
故选D.
【点睛】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于掌握其概念
2．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标是，当时，随的增大而减小，由此逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，抛物线的开口向下，故A正确，不符合题意；
B、，对称轴为直线，故B正确，不符合题意；
C、，抛物线的顶点坐标是，故C错误，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】设平均每年的收益增长率是x，根据2020年及2022年该投资项目的收益，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每年的收益增长率是x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
答：该县平均每年的收益增长率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
4．D
【分析】连接OB，利用切线的性质，以及圆周角定理得到∠ABC＝90°、∠OBP＝90°、∠OAP＝90°，根据，利用等边对等角及外角性质求出度数，即可求出度数．
【详解】解：连接OB，
、PB是的切线，AC是直径，
，
，，
，
，
则在四边形AOBP中，．
故选D．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
5．A
【分析】本题考查直径所对的圆周角为直角，平行的性质，垂径定理；先根据“直径所对的圆周角为直角”得，再由得到，根据垂径定理求得，再用r表示出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设半径为r，
是⊙的直径，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
解得，
故答案为：A．
6．B
【分析】根据题意列出S与x的函数关系式，再根据关系式判断S与x的关系是一次函数、二次函数还是反比例函数，再选出正确答案即可.
【详解】由题意得

S是x的二次函数，且开口向下.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据题意列函数关系式及一次函数、二次函数、反比例函数图像的特征，熟练掌握以上函数图像的特征是解题的关键.
7．C
【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴为直线，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在原点和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）和（1，0）之间，
∴x=2时，y＜0，即，所以③错误．
∵当x=1时，y＞0，∴，∵当x=－1时，y＜0，∴，
∴，
∴，所以④正确；
故正确的为①②④，
故选C．
8．D
【详解】试题分析：如图，过点D作DF⊥x轴于点F，过点E作EG⊥y轴于点G．
设B（4a，b），E（4a，d），
∵AD：BD=1：3，∴D（a，b）．
又∵△BDE的面积为18，∴BD=3a，BE=b-d
∴×3a（b-d）=18，即a（b-d）=12，即ab-ad=12.
∵D，E都在反比例函数图象上，∴ab=4ad
∴4ad-ad=12，解得：ad=4.
∴k=4ad=16．
故选D．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
9．C
【分析】连接，根据题意可得，，从而得到，进而得到；再证得，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由在点E运动过程中，的长度在发生变化，可得的长度会改变；分别求出，，再由阴影部分的面积和为，即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形内接于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即与之间的数量关系不变；
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
而在点E运动过程中，的长度在发生变化，
∴的长度会改变；
根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为，不变；
综上所述，关系会发生变化的是乙．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，正方形的性质，熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式，根据题意得到是解题的关键．
10．C
【分析】首先求出A、B、C三点的坐标，以及抛物线的顶点坐标和对称轴，因为不清楚的取值，所以分两种情况进行讨论，进而求得的取值范围．
【详解】解：对于直线，令y=0，解得x=5；
令x=0，得y=4，
∴ A（5，0）、B（0，4），
∵过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，
∴（5，4），
∵ =2-4，
∴ 抛物线的顶点坐标为（1，-4），抛物线的对称轴为，
当抛物线与线段BC有唯一公共点时，分两种情况：
① 当时，如图：
由图可得：25-10-3，
解得：；
② 当时，如图
抛物线与轴的交点坐标为（0，-3），抛物线的对称轴与直线BC的交点坐标为（1，-4），
由图可得： ，
解得：
综上所述，的取值范围是或．
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像问题，难度一般，需要同学们掌握数形结合的思想，才能顺利解题．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，将变形为，代入进行计算即可得出答案，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，是解此题的关键．
【详解】解：方程的两根分别为，
，，
，
故答案为：．
12．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值．
【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式，
∴-k=±4，即k=±4，
∵在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k-1＞0，
∴k＞1．
解得：k=4，
∴反比例函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，完全平方式，根据反比例函数的性质得出k-1＞0是解此题的关键．
13．/
【分析】连接，由题意可得，，为直径，可得，可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得，，
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
14．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，抛物线的图象与性质，根据抛物线的解析式求得顶点，抛物线与轴的交点为，从而得出，，最后依据三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
顶点，
轴，轴，
，，
令，则，
解得：或，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
16．/厘米
【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交弧于，

由折叠得：，
是的中点，
，
，
，
，
，
在中
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）接、，判断出是等边三角形，即可得出答案；
（2）根据等于的直径，可得出当与相切时，点在上，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接、，
，
以边长为8的正方形纸片的边为直径作，
，，
由题意得：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
，
以边长为8的正方形纸片的边为直径作，
，和圆的直径长度相等，
当与相切时，点在上，
故此时可得，
故答案为：．
18． 12
【分析】（1）将点A坐标代入双曲线解析式即可求出m的值．
（2）由题意可用a表示出D点坐标．即可求出BD和DC的长．再由线段BC与双曲线有交点且与点B、C不重合和可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范围．
【详解】（1）由题意可知点A在双曲线上，
∴将点A坐标代入双曲线解析式得：，
解得：．
故答案为：12．
（2）由（1）可知该双曲线解析式为，
∵D点纵坐标为a，代入双曲线解析式得：，
即，
∴D点坐标为．
∵线段BC与双曲线有交点且与点B、C不重合，
∴，
解得：．
∵，，且．
∴．
∴．
综上可知．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
或，
，．
20．(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）根据原点对称得出坐标，结合图形得出的长度．
（3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图，为所作：
（2）∵与点关于原点对称，
∴，
∴．
（3）由勾股定理得，，
弧的长度为：
【点睛】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
21．（1）（2）（3）
【分析】试题分析：（1）共有4种情况，其中数字是偶数的由2种，所以概率为；（2）共有6种情况，符合要求的有2种，故概率为；（3）先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】试题解析：（1）1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为
；
（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有6种，故概率为
；
（3）根据题意，画树形图如图所示．
由树形图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44；其中恰好是4的位数的共有4种：12，24，32，44，所以P（4的倍数）=．
考点：简单事件的概率．
22．（1），（2）解集为或（3）
【分析】（1）先把B（2，1）代入，求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，最后用待定系数法，即可得出直线AB的解析式；
（2）直接利用函数图象得出结论；
（3）先设出点P坐标，进而表示出△PED的面积等于，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线的解析式为.
∵在双曲线，
∴，
∴.
∵直线过两点，
∴，解得
∴直线的解析式为
（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：
双曲线在直线上方的部分对应的x范围是：或，
∴不等式的解集为或.
（3）点的坐标为.
设点，且，
则.
∵当时，
解得，
∴此时点的坐标为.
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接、，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得点为线段的中点，结合点为的中点，得出为的中位线，从而得到，再由得出，即可得证；
（2）由含角的直角三角形的性质可得，从而得到，证明为等边三角形，得出，从而得出为等边三角形，即可得出，，求出，再由，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
，
为直径，
，
，
，
点为线段的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，，
，
由（1）可得，，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
．
24．(1)①或；②或
(2)
【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键．
（1）①分两种情况，由线段的和差关系求解即可；
②分两种情况，由勾股定理求解即可；
（2）由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，利用“”证明，可得．
【详解】（1）解：①由题意可得：
当点在线段的延长线上时，，
当点在线段上时，，
综上所述，或，
故答案为：或；
②若为斜边时，则，
若为斜边时，则，
综上所述，或，
故答案为：或；
（2）解：如图，连接，
由旋转可得：，，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
由为等腰直角三角形可得：，，
，即，
，
，
．
25．(1)
(2)
(3)当时，取得最大为4400
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，以及求一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式．
（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意即可求得函数的解析式；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设，把和代入得：
，解得，
∴；
（2）当时，；
当时，，
所以；
（3）当时，包含，由函数图象可知，
当时，，此时，随的增大而增大，
当. 时，；
由题意得，，解得：，
又，开口向下，对称轴为直线
当时，随的增大而增大，
即当时，取得最大值，
故，
，
所以当时，取得最大为4400．
26．(1)
(2)
(3)当点的坐标为时，的面积最大，最大值为
(4)点的坐标为或或或
【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出点，抛物线的对称轴为直线，得出当点、、在同一直线上时，的周长最小，待定系数法求出直线的解析式，从而即可得解；
（3）过点作轴于点，交直线于点，设，则，，由求出表达式，求最值即可得出答案；
（4）分两种情况：当为菱形的边长时，当为菱形对角线时，利用菱形的性质，分别求解即可．
【详解】（1）解：，，
，，
抛物线与轴交于点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
解得：，，
，抛物线的对称轴为直线，
点在直线上，点关于直线对称，
，，
如图，当点、、在同一直线上时，的周长，此时最小，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
；
（3）解：如图，过点作轴于点，交直线于点，
，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，
，
当点的坐标为时，的面积最大，最大值为；
（4）解：存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形，
，，
，
当为菱形的边长时，如图所示，
，
则，且，
，，；
当为菱形对角线时，如图，
，
则，，
设，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查饿了二次函数的综合应用、菱形的性质，解题的关键是找特殊点，充分利用对称轴、顶点坐标等知识，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．