河北省秦皇岛市昌黎县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河北省秦皇岛市昌黎县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在数据整理时，出现了一处错误，将最高成绩写得更高了，统计过程中不受影响的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
2．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，B．0，0C．，D．，0
3．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则与面积的比为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．如图， 内接于，， ，则 半径为（ ）
A．B．8C．D．10
8．如图，已知，，，，则的长为（ ）

A．6B．C．7D．
9．如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
10．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（ ）
A．174B．176C．178D．180
11．如图，沿方向架桥，以桥两端出发，修公路和，测得，m，，则公路的长为（ ）
A．900mB．mC．mD．1800m
12．如图，在中，，以中点 D 为圆心，作圆心角为的扇形，点 C 恰好在弧上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．不确定
二、填空题
13．为锐角，且，则 ．
14．用半径为2的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于 ．
15．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
16．已知点，，在反比例函数的图像上．则，，的大小关系是 ．（用“”连接）
17．某火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得A、Q的距离是500米，仰角为，此时火箭A的高度是 米．
18．如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是 ．
19．如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为m，树的顶端在水中的倒影距自己m远，淇淇的身高为m，则树高为 m．

20．如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)解方程：．
22．某水果店的榴莲水果盒进货价为70元/盒，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/盒时，日销售量为20盒，售价每降低1元，日销售量增加2盒．
(1)当日销售量为30盒时，产品售价为每盒_________元；
(2)为吸引顾客，扩大销售量，该产品的售价每盒应定为多少，该水果店的榴莲水果盒每天可盈利1200元？
23．如图，楼房后有一假山，的坡度为，测得与的距离为米，山坡坡面上点处有一休息亭，与山脚的距离米，小丽从楼房房顶处测得的俯角为.

(1)求点到水平地面的距离；
(2)求楼房的高.
24．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
25．已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的值．
26．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数为的图像上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
(1)求n的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
27．附加题．
如图，点A在射线上，且，过点O在射线上方作射线，且，点E从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点F从点O出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点O时，点E，F都停止运动．以点F为圆心，为半径的半圆与射线交于点C，与射线交于点D，连接，，设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示的长为__________；当点E与点C重合时，的长为__________；
(2)若与半圆F相切，求的长；
(3)若半圆F与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】中位数是数据按照大小顺序排列后，位于这组数据值大小的中间位置，不受极端值的影响．
【详解】由于五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了．计算结果不受影响的是中位数．
故答案为：C
【点睛】本题主要考查中位数，理解中位数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
3．A
【分析】先将将方程化成的形式，进而可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．
4．D
【分析】两三角形相似，面积比等于相似比的平方；据此即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解答本题的关键，根据锐角三角函数的定义计算即可．
【详解】，
，
，，，．
故选：C．
6．C
【详解】把点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确，不符合题意；
因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确，不符合题意；
因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误，符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化是解题关键．
7．A
【分析】根据圆周角定理得出，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵， ，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，推出，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】取格点D，连接BD，可得BD⊥AC，根据格点和勾股定理先求出AD、BD，最后求出∠BAC的正切．
【详解】解：如图，取格点D，连接BD，
由格点图可以得出，BD⊥AC，
由格点三角形可得：，，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
10．A
【详解】分析：连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．
详解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．
故选A．
点睛：本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．
11．B
【分析】过点C作，垂足为E，根据三角形内角和定理可求出，的度数，进而求出的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案．
【详解】过点C作，垂足为E，
，
，
，
，
，
在Rt中，，m，
m，
在Rt中，，
m，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
12．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形的面积与四边形的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题．
【详解】解：连接，设交于M，交于N，如图所示，
在中，，
∴，
∵以中点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴与的面积之和等于与的面积之和，
∴四边形的面积等于的面积，
∴阴影部分的面积是：，
故选C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．30
【分析】本题考查了特殊的三角函数值，根据条件，可以推出，再根据特殊的三角函数值即可解出．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】由于半圆的弧长＝圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为，底面半径．本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长＝圆锥的底面周长．
【详解】解：由题意知：底面周长，
∴底面半径．
故答案为：1.
15．且
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于x的一元二次方程有实数根，得出其根的判别式大于等于0，列不等式求解即可．特别注意二次项系数不为零．
【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
即，整理得，解得，
又，解得，
m的取值范围是且．
故答案为：且．
16．
【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小以及反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，学会将图象上的点的坐标代入函数关系式求解是解决本题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题；在中，由，可求得，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，米，
在中，，
解得：，
∴火箭的高度是米．
故答案为：．
18．65°或115°/115°或65°
【详解】本题要分两种情况考虑，如下图，分别连接OC；OB；BP1；BP2；CP1；CP2
（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：
∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∵∠A=50°，
∴在四边形ABOC中，∠COB=130°，
∴∠BP1C=65°，
（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时
∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，
∵∠BP1C=65°，
∴∠BP2C=115°.
综合（1）、（2）可知，∠BPC的度数为65°或115°.
19．
【分析】本题考查相似三角形的应用，由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：

∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴树高为m．
故答案为：
20．
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据，求出，从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到的值，即可解题．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，即,
设，，则，
，
，
，
故答案为：．
21．(1)
(2)，
【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算及解一元二次方程，熟练掌握配方法并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
（1）将各个特殊角的三角函数值代入，再计算即可；
（2）根据配方法即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
，
∴，．
22．(1)
(2)该产品的售价每盒应定为元．
【分析】本题考查一元一次方程应用，一元二次方程的应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设产品售价为每盒元，根据售价每降低1元，日销售量增加2盒，列出方程进行求解即可；
（2）设产品售价为每盒元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设产品售价为每盒元，由题意，得：，
解得：；
故答案为：105；
（2）设产品售价为每盒元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵要扩大销量，
∴．
答：该产品的售价每盒应定为元．
23．(1)米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，（1）过点作的延长线于，根据的坡度为得，再由勾股定理可得米，米；
（2）过作于点，根据等腰直角三角形的性质求出的长，进而可得的长．
【详解】（1）解：过点作的延长线于，
在中，
∵的坡度为，米，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为米；

（2）过作于点，
则米，
由题意得：（米），
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：楼房的高为米．
24．（1）；（2）或
【分析】（1）直接利用待定系数法将A点坐标代入正比例函数解析式中可以求出m，再将A点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k；
（2）先确定B点坐标，再通过面积确定OC的长，最后即可确定C点坐标．
【详解】解：（1）将点坐标代入中可得：，
∴；
将代入可得：，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）因为该反比例函数的图像和一次函数的图像交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
∴,
∴B点到OC的距离为2，
∵的面积为3，
∴,
∴，
当C点在O点左侧时，；
当C点在O点右侧时，；
∴点的坐标为或．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中点的坐标、三角形的面积公式等内容，解决本题的关键是理解点的坐标与函数解析式之间的关系以及利用三角形的面积建立相等关系求对应线段的长，本题涉及到的方法为分类讨论的思想方法．
25．(1)见详解；
(2)
【分析】（1）欲证，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明就可以；
（2）由可得，，进而即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∴；
（2）解：∵是的中点，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及弧、弦的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．
26．(1)；
(2)一次函数解析式为；
(3)x的取值范围为：和．
【分析】本题主要考查了切线的性质，一次函数与反比例函数综合：
（1）直接把点A坐标代入反比例函数解析式中求解即可；
（2）如图所示，连接，由切线的性质得到，轴，轴，可设点C的坐标为，则，解方程求出点B的坐标为，再利用待定系数法可求出一次函数解析式为；
（3）先求出一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
27．(1)；6．
(2)
(3)或．
【分析】（1）过点F作于点N，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，
根据三角函数计算；根据，，当时，计算即可；
（2）根据题意，得，，结合与半圆相切，得到；
；根据，求得t，再计算即可；
（3）当点与点重合时，相交一个点；当与半圆相切，切点是唯一的交点，结合图形写出范围即可．
【详解】（1）如图，过点F作于点N，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴，
故答案为：；6．
（2）如图，根据题意，得，，
∵与半圆相切，
∴，
∴，
解得，
∴．
（3）当点在线段时，半圆F与线段只有一个公共点，
且点与点重合时，此时取最大值，根据（1）得，
∴；
当与半圆相切，切点是唯一的交点，根据（2）得，
即此时点E向点A移动的过程中，半圆F与线段只有一个公共点，
∴；
综上所述，或 ．
【点睛】本题考查了圆的性质，切线的性质，三角函数的应用，垂径定理定理，熟练掌握圆的性质，三角函数的应用，切线的性质是解题的关键．