2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级下学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

若二次根式1 + 2?有意义，则?的取值范围为()
? ≥ −1
2
? ≤ −1
2
? ≥ 1
2
? ≤ 1
2
在如图所示的数值转换机中，当输入? = −5时，输出的?值是()
A.26B.−13C.−24D.71
某校对八年级8个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为(单位：ℎ)：3.5，4，
3，4，3，3.5，3，5.这组数据的中位数和众数是()
A.3.5，3B.4，3C.3，4D.3，3.5
已知一次函数? = (?−2)? + ? + 1的图象不过第三象限，则?的取值范围是()
A.? >2B.? <2C.−1 ≤ ? ≤ 2D.−1 ≤ ? <2
如图，在△???中，∠???=90°，??=5，以??，??为边作正方形，这两个正方形的面积和为()
5
9
16
25
若点?(?1,−1)，?(?2,−2)，?(?3,3)在一次函数? = −2? + ?(?是常数)的图象上，则?1，
?2，?3的大小关系是()
A.?1>?2>?3B.?2>?1>?3C.?1>?3>?2D.?3>?2>?1
1
2
8
9
10
下列二次根式中是最简二次根式的是()
​
​
D.
如图，以?? △ ???的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若??
= 5，则图中阴影部分的面积为()
6
25
4
25
2
25
将直线? = −2? + 3沿?轴向下平移3个单位后与?轴的交点坐标为()
A.(0,−6)B.(0,0)C.(0,6)D.(0,9)
如图所示，有一块直角三角形纸片，∠? = 90°，?? = 2，??
= 3，将斜边??翻折，使点?落在直角边??的延长线上的点?处，折 2
痕为??，则??的长为()
1
2
3
4
1D.3
2
如图，?? △ ???中，∠??? = 90°，斜边?? = 9，?为??的中点，?
是??上一点且，
1，延长??到?，使?? = ??，连结??，则??的
长为()
6
4
7
12
?? = 3??
三军受命，我解放军各部队奋力抗战地救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为24??，如图是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的是()
A.①②③B.②③④C.①②③④D.①②
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
张华进行射击训练，打了10发子弹，其中10环1发，9环3发，8环4发，7环2发，则这次射击的平均成绩是环.
如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5?的?处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12?的?处，则旗杆折断部分??的高度是．
如图，已知直线?1 = ? + ?与?2 = ??−1相交于点?(−1,1
)，则关于?的不等式? + ? < ??−1的解集是．
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1， △ ???及??边的中点?．求作：平行四边形????．
小敏的作法如下：
①连接??并延长，在延长线上截取?? = ??；
②连接??、??.所以四边形????就是所求作的平行四边形．老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是．
如图，长方体的长?? = 10，宽?? = 5，高为8，点?处有一只蚂蚁，点?处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点?爬到点?需要爬行的最短距离是．
，
如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形??1?1?的对角线?1?和??1交于点?1；以?1?1为对角线作第二个正方形?2?1?2?1，对角线?1?1和?2?2交于点?2；以?2?1为对角线作第三个正方形?3?1?3?2，对角线?1?2和?3?3交于点?3；…，依此类推，这样作的第2023个正方形对角线交点?2023的坐标为．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 66.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2
3
(本小题8.0分)
24
(1)计算：
÷3−
× |−3|+ (2−1)0；
3
(2)计算：(+ 2)(3−2)+ |1−2|.
(本小题4.0分)
如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由?地到?地行驶，两地之间的路程是60??，请根据图象解决下列问题：
分别写出甲行驶的路程?1(??)、乙行驶的路程?2(??)与甲行驶的时间?(ℎ)之间的函数表达式：
?1 =，?2 =．
(本小题7.0分)
某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示：
(1)本次共抽查学生人，并将条形图补充完整；(2)捐款金额的众数是，平均数是；
(3)在八年级700名学生中，捐款20元及以上(含20元)的学生估计有多少人？
(本小题6.0分)
已知，如图所示， △ ???中，??是角平分线，?、?分别是??、??上的点，且??//??，??
/ /??，试说明四边形????是菱形．
(本小题6.0分)
某港口?位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
(本小题7.0分)
如图，在?? △ ???中，∠? = 90°，??平分∠???交??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?．
(1)求证： △ ???≌ △ ???．
(2)若?? = 2，?? = 4，求??的长．
(本小题8.0分)
定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
(本小题10.0分)
如图，矩形????中，?? = 8，点?是??上的一点，?? = 4，??的垂直平分线交??的延长线于点?，连接??交??于点?，若?是??的中点．
求??的长；
求出四边形????的面积．
(本小题10.0分)
【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程? + ? = 5的解为坐标(?的值为横坐标、?的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.发现：以方程? + ? = 5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数? = −? + 5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程?−? = 0的图象时，可以取点?(−1,−1)和?(2,2)，作出直线??．
【解决问题】：
? −?= 1
(1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组{2? + 3? = 12中的两个以二元
一次方程的解为坐标的点组成的图象(提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程)；
(2)观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是；
【拓展延伸】：
(3)已知二元一次方程?? + ?? = 7的图象经过两点?(1,2)和?(4,1)，试求? + ?的值．
(4)在同一平面直角坐标系中，一次函数? = ? + 3图象?1和一次函数? = ?−1的图象?₂，如图3
? −?= 1
所示.请根据图象，直接判断方程组{?−?=−3的解的情况(不需要说明理由)．
答案和解析
【答案】?
【解析】解：根据题意得：1 + 2? ≥ 0，
解得? ≥ −1．
2
故选 A．
根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
【答案】?
【解析】解：将? = −5代入? = 2?−3，得
?= 2 × (−5)−3 = −10−3 = −13，
故选：?．
把自变量的值代入相应的函数解析式，可得答案．
本题考查了函数值，把自变量的值代入相应的函数解析式是解题关键．
【答案】?
【解析】解：将这组数据重新排列为3，3，3，3.5，3.5，4，4，5，
∴ 这组数据的中位数为(3.5 + 3.5) ÷ 2 = 3.5，众数为3，故选：?．
将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【答案】?
【解析】解： ∵ 一次函数? = (?−2)? + ? + 1的图象不过第三象限，
∴ ?−2<0，? + 1 ≥ 0解得：−1 ≤ ? < 2，故选：?．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，若函数? = ?? + ?的图象不过第三象限，则此函数的?
< 0，? ≥ 0，据此求解．
【答案】?
【解析】解： ∵ △ ???为直角三角形，
∴ 阴影部分的面积和为??2 + ??2 = ??2 = 25．故选：?．
根据勾股定理得出这两个正方形的面积和等于??的平方解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据这两个正方形的面积和等于??的平方解答．
【答案】?
【解析】解： ∵ ? = −2 <0，
∴ ?随?的增大而减小，
又∵ 点?(?1,−1)，?(?2,−2)，?(?3,3)在一次函数? = −2? + ?的图象上，−2<−1<3，
∴ ?2> ?1>?3．故选：?．
由? = −2<0，?随?的增大而减小，结合−2 < −1<3，即可得出?2>?1>?3．
本题考查了一次函数的性质，牢记“?>0，?随?的增大而增大；?<0，?随?的增大而减小”是解题的关键．
【答案】?
1
2
【解析】解：?、
= 2，故 A不符合题意；
2
8
9
B、 C、
= 22，故 B 不符合题意；
= 3，故 C 不符合题意；
D、 10是最简二次根式，故 D 符合题意；
故选：?．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：?阴影 = 1??2 + 1??2 + 1??2 = 1(??2 + ??2 + ??2)，
2222
∵??2=??2+??2=25，
∴??2+??2+??2=50，
2
∴ ?阴影 = 1× 50 = 25．故选：?．
先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：??2 = ??2 + ??2，进而可
将阴影部分的面积求出．
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
【答案】?
【解析】解： ∵ 直线? = −2? + 3沿?轴向下平移3个单位，
∴ 平移后的解析式为：? = −2?，当? = 0，则? = 0，
∴ 平移后直线与?轴的交点坐标为：(0,0)．故选：?．
利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与?轴的交点．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ ∠? = 90°，?? = 2，?? = 3，
2
∴ ?? =
??2+??2
=5， 2
由折叠的性质可得：?? = ?? = 5，
2
∴ ?? = ??−?? = 1．
2
故选 A．
由有一块直角三角形纸片，∠? = 90°，?? = 2，?? = 3，利用勾股定理即可求得??的长，然后由
2
折叠的性质，求得??的长，继而求得答案．
此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
【答案】?
【解析】解：在?? △ ???中，∠??? = 90°，?? = 9，?为??的中点，
∴??=1??=4.5，
2
∵ ?? =
1??，
3
∴ ?? = 1
3
× 4.5= 1.5，
∴ ?? = ??−?? = 3，
∵ ?? = ??，
∴ 点?是??的中点，
∴ ??是△ ???的中位线，
∴ ?? = 2?? = 6，故选：?．
在?? △ ???中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得?? = 1?? = 4.5，从而可得?? = 1.5，进而
2
可得?? = 3，然后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：由图象可知：甲的起始时间为0ℎ，乙的起始时间为2ℎ，因式甲比乙早出发2小时，在3−4ℎ这一小时内，假的函数图象与?轴平行，因此在行进过程中，甲队停顿了一小时，
两个函数有两个交点：第一个交点为：甲行驶4.5小时，乙行驶2.5小时，两函数相交，因此乙队出发2.5小时后追上甲队，第二个交点为：甲行驶6小时、乙行驶4小时后，两函数相交，此时两者同时到达目的地，
所以在整个行进过程中，乙队用的时间为4小时，行驶的路程为24千米，因此它的平均速度为6??
/ℎ，
因此这四个同学的结论都正确，即①②③④均正确，故选：?．
根据函数图象逐项分析即可得出答案．
本题考查了从函数的图象获取信息，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
【答案】8.3
【解析】解：这次射击的平均成绩是10 + 9 × 3 + 8 × 4 + 7 × 2= 8.3(环)．
10
故答案为：8.3．
根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【答案】13?
【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12?，旗杆离地面5?折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形，
在?? △ ???中，?? = 5?，?? = 12?，??2 = ??2 + ??2，
??2+??2
根据勾股定理得，?? =
=
= 13(?)，
52+122
即旗杆折断部分??的高度是13?，故答案为：13?．
在?? △ ???中，利用勾股定理即可直接求出??．
本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用勾股定理解决问题．
【答案】? <−1
【解析】解： ∵ 直线?1 = ? + ?与?2 = ??−1相交于点?(−1,1)，
∴ 关于?的不等式? + ?找出图象中直线?1 = ? + ?在直线?2 = ??−1下方的部分即可得出答案．
本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想解题是解此题的关键．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】解： ∵ ?是??边的中点，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形
由题意可得?? = ??，?? = ??，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得结论．此题考查了平行四边形的判定．注意掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．
269
【答案】
【解析】解：如图：
由已知，??的长度即为所求，
∵ ?? △ ???中，?? = ?? + ?? = 5 + 10 = 15，?? = 8，
??2+??2
∴ ?? =
=
= 17
152+82
如图：
??2+??2
?? =
=
=269，
102+(8+5)2
如图：
??2+??2
?? =
=
=349，
52+(10+8)2
269
∵<17<349，
答：需要爬行的最短距离是 269，故答案为： 269．
把长方体沿着??剪开，再展开，然后连接??，则线段??的长度就是所求的答案．此题考查最短路径问题，解答此题要注意以下几点：
(1)将立体图形展开的能力；(2)正确运用勾股定理．
【答案】(22023−1,1)
2202322023
【解析】解： ∵ 正方形??1?1?的边长为1，对角线?1?和??1交于点?1，
1
∴ 点? (1,1)；
22
∵ 以?1?1为对角线作第二个正方形?2?1?2?1，对角线?1?1和?2?2交于点?2，
2
∴ 点? (3,1)；
44
∵ 以?1?2为对角线作第三个正方形?3?1?3?2，对角线?1?2和?3?3交于点?3，
71
8
∴?3(8,).
，= 1−= 1−，
∵1=1−1311 711 ，
8
2244
= 1−
228
= 1−
23
∴?(2?−1,1)，
?2?2?
∴ ?
的坐标为(22023−1,1).
2023
2202322023
故答案为：(22023−1,1).
2202322023
根据正方形的性质找出?1、?2、?3的坐标，根据其横纵坐标之间的关系即可找出点??的坐标为
(2?−1, 1)，此题得解．
2?2?
本题考查了规律型：点的坐标以及正方形的性质，根据部分点??的坐标的特点找出变化规律“??
(2?−1, 1)”是解题的关键．
2?2?
24
【答案】解：(1)
2
3
÷3−
× |−3|+ (2−1)0
2
3
3
=8−×+ 1
2
= 22−+1
2
=+ 1；
3
(2)(+ 2)(3−2)+ |1−2|
=(3)2−22+2−1
= 3−4 +2−1
= −2 +2．
【解析】(1)先根据二次根式的除法法则，绝对值和零指数幂进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算，最后再算加减即可；
(2)先根据平方差公式和绝对值进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了平方差公式，零指数幂和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的运算
法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【答案】10?(0 ≤ ? ≤ 6)40?−120(3 ≤ ? ≤ 4.5)
【解析】解：设甲行驶的路程?1(??)与甲行驶的时间?(ℎ)之间的函数表达式为?1 = ??，把(4,40)
代入得：
40 = 4?，解得? = 10，
∵ 两地之间的路程是60??，
∴?1=10?(0≤?≤6)；
设乙行驶的路程?2(??)与甲行驶的时间?(ℎ)之间的函数表达式为?2 = ?? + ?，把(3,0)，(4,40)代
入得：
{3?+?=0，
4?+ ?= 40
解得{
?= 40
?= −120，
∵ 两地之间的路程是60??，
∴?2=40?−120(3≤?≤4.5)；
故答案为：10?(0 ≤ ? ≤ 6)；40?−120(3 ≤ ? ≤ 4.5)．用待定系数法可求得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求出函数解析式．
【答案】解：(1)50；补全条形统计图图形如下：
(2)10元；13.1元；
(3)捐款20元及以上(含20元)的学生有：7 + 4× 700 = 154(人)；
50
答：捐款20元及以上(含20元)的学生估计有154人．
【解析】
【分析】
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；
从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数；
由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数．
【解答】
解：(1)本次抽查的学生有：14 ÷ 28% = 50(人)，
则捐款10元的有50−9−14−7−4 = 16(人)，补全条形统计图图形见答案；故答案为50；条形统计图图形见答案；
由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10；
这组数据的平均数为：5 × 9 + 10 × 16 + 15 × 14 + 20 × 7 + 25 × 4= 13.1；
50
故答案为10元，13.1元；
见答案．
【答案】证明：如图， ∵ ??//??，??//??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ??是∠???的平分线，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形．
【解析】先证明四边形????是平行四边形，再证明?? = ??即可证明．
本题考查菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．
23.【答案】解：由题意可得：?? = 18海里，?? = 24海里，?? = 30海里，
∵182+242=302，
∴ △ ???是直角三角形，
∴∠??? = 90°，
∵ “远航”号沿东北方向航行，
∴∠??? = 45°，
∴ “海天”号沿北偏西45°方向航行；
【解析】直接得出?? = 18海里，?? = 24海里，?? = 30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
【答案】(1)证明： ∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵∠? = 90°，?? ⊥ ??，
∴ ∠? = ∠??? = 90°，在△ ???和△ ???中，
{
∠ ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
(2)解： ∵ △ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ?? = 2，
在?? △ ???中，?? = 4，根据勾股定理，得
??2−??2
?? =
=
= 23．
42−22
【解析】(1)利用???即可证明△ ???≌ △ ???；
(2)结合(1)根据勾股定理即可求出??的长．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题．
【答案】解：(1)小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
(2)不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：设等边三角形的边长为?，则等边三角形面积为3?2．
4
因为，若边长?为整数，那么面积 3?2一定非整数．
4
所以不存在等边“整数三角形”．
【解析】(1)根据为“整数三角形”的定义画出图形即可．
(2)不存在．设等边三角形的边长为?，则等边三角形面积为3?2.因为，若边长?为整数，那么面
4
积3?2一定非整数，由此即可判断．
4
本题考查作图−应用设计作图、“整数三角形”的定义，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
【答案】解：(1) ∵ 矩形????中，?? = 8，?是??的中点，
∴ ??= ??= 1× 8= 4，∠?= ∠???= 90°，
2
∴∠??? = 90°，
在△ ???和△ ???中，
{
∠ ?= ∠ ? ? ?
? ?= ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
设?? = ?，则?? = ?，?? = ?? = 4 + ?，
∵ ??的垂直平分线交??的延长线于点?，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = ?? + ?? = ?? + ?? + ?? = 4 + ? + ? = 4 + 2?，
∴ ??=1??=2+?，
2
∵ 在?? △ ???中，??2 + ??2 = ??2，
∴ ?2 + 16 = 4 + 4? + ?2，解得? = 3，
则?? = 7；
(2)由题可知，?四边形????= ?矩形????−?△ ???−?△ ???
=8×7−1×8×4−1×3×4
22
= 34．
【解析】(1)先证明△ ???≌ △ ???(???)，得到?? = ??，?? = ??，设?? = ?，则?? = ?，?? =
?? = 4 + ?，从而表示出?? = 2 + ?，再根据勾股定理求出?的值即可求出??的值；
(2)根据四边形的面积等于矩形面积减去两个小三角形的面积即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理，熟记各个性质定理是解题的关键．
{
?= 3
【答案】(3,2)? = 2无解
【解析】解：(1)图象如图所示：
(2)根据图象可知，两直线的交点坐标为(3,2)，
{
?= 3
∴ 二元一次方程组的解为 ? = 2，
{
?= 2
?= 3故答案为：(3,2)，；
(3)将点?(1,2)和点?(4,1)代入二元一次方程?? + ?? = 7，
得{，
?+2?=7 4?+ ?= 7
?= 3
解方程组，得{? = 1，
∴ ? + ? = 4；
(4)根据图象可知，两直线平行，
{
? −?= −3
∴ 方程组 ? −? = 1的解无解，
故答案为：无解．
(1)根据两点确定一条直线即可画出函数图象；
(2)根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解；
(3)代入点?和点?坐标，解二元一次方程组求出?和?的值，进一步可得? + ?的值；
(4)根据图象即可确定方程组解的情况．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．