2024通化梅河口五中高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024通化梅河口五中高一上学期1月期末考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知为第二或第四象限角，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A B. C. D.
7. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. ，，D. ，，
8. 已知函数，则（ ）
A. 4B. C. 81D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意，部分选对得2分，错选不得分.）
9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A B.
C D.
10. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，，则可能等于（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位）与时间（单位：月）的关系为，下列说法正确的是（ ）
A. 浮萍每月的增长率均相等
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过
C. 浮萍从蔓延到需经过1.5个月
D. 若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则
三、填空题
13. __________．
14. 计算__________.
15. 建于明朝杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______．

16. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是_______年.参考数据：.
四、解答题
17. 求值：
（1）
（2）．
18. 已知不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解不等式
19. 已知
（1）求的值；
（2）若，且角终边经过点，求的值
20. 已知是自然对数的底数，.
（1）判断函数在上的单调性并证明；
（2）解不等式.
21. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
22. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.高一数学期末
一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件得到，，再利用集合的运算即可得出结果.
【详解】由，得到，所以，
由，易知时，，所以，
故，所以选项A错误，选项B正确，
又，所以选项C和D均错误，
故选：B.
2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.
【详解】由题意可得“”是真命题，故或.
故选：A.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.
【详解】解不等式得或，
记，
因为AB，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4. 已知为第二或第四象限角，则下列正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同角三角函数关系结合第二，第四象限三角函数符号可得答案.
【详解】A 选项，，
因在第二象限，第四象限，故A错误；
B选项，，
因在第二象限，第四象限，故B错误；
C选项，，
因在第二象限，第四象限，故C错误；
D选项，注意到第二象限，第四象限，
则，故D正确.
故选：D
5. 已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.
【详解】令，则，
所以函数（，且）的图象恒过点，
又角的终边经过点，
所以，
故选：A.
6. 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角三角函数定义可求得，结合诱导公式可求得结果.
【详解】终边过点，，.
故选：B
7. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据分母不为零，以及真数大于零列出不等式，即可求得结果.
【详解】要使原函数有意义，则，
解得：，或，
所以原函数的定义域为，，．
故选：C
【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及对数型复合函数定义域的求解，属综合简单题.
8. 已知函数，则（ ）
A. 4B. C. 81D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式求得正确答案.
【详解】，.
故选：C
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意，部分选对得2分，错选不得分.）
9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据，并结合为锐角求解即可.
【详解】解：因为，所以，即
所以，
因为锐角，所以，
所以，
所以，
所以
故选：ABD
10. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项，分析函数的奇偶性以及函数的值域，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，定义域为，有，函数为偶函数，当时，，，所以显然，使，符合题意，故A正确；
对于B：定义域为，，函数为奇函数，不符合题意；
对于C，定义域为，有，函数为偶函数，当时，，当时，，符合题意；
对于D，为幂函数，定义域为，且是偶函数，在上，恒成立，不符合题意；
故选：AC．
11. 已知，，则可能等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由诱导公式，即，再结合范围求解即可.
【详解】解：因为，
所以由得，
所以，
因为
所以可能等于或
故选：BD
12. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位）与时间（单位：月）的关系为，下列说法正确的是（ ）
A. 浮萍每月的增长率均相等
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过
C. 浮萍从蔓延到需经过1.5个月
D. 若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件，求出函数的解析式，再结合增长率公式，以及对数函数的公式，即可求解．
【详解】解：浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为，
由图可得，函数过点，
故，
对于A，，每月的增长率为2，故A正确，
对于B，第5个月时浮萍的面积为，超过了，故B正确，
对于，第2个月时浮萍的面积为，第个月时浮萍的面积为，故错误，
对于，浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，
，，，
，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13. __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】.
故答案：
14. 计算__________.
【答案】1
【解析】
【分析】应用指对数运算性质化简求值即可.
【详解】.
故答案为：1
15. 建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果.
【详解】设圆心角为，则，
所以，解得，所以，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
故答案为：
16. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是_______年.参考数据：.
【答案】2026
【解析】
【分析】根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解.
【详解】设还需要年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
根据题意可得，
故，所以，解得，
所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
故答案为：2026
四、解答题
17. 求值：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算即可求解，
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
原式＝；
【小问2详解】
原式＝．
18. 已知不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，且方程的解为，结合韦达定理即可得解；
（2）分三种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
因为不等式的解集为或，
所以，且方程即方程的解为，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）得不等式即，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知
（1）求的值；
（2）若，且角终边经过点，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由平方可解得，利用诱导公式化简，从而可得结果；（2）结合（1）利用得，，由角终边经过点，可得，原式化为，从而可得结果.
【详解】（1）∵，∴，
即，
∴
（2）由（1）得，
又，，
，
又角终边经过点，

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
20. 已知是自然对数的底数，.
（1）判断函数在上的单调性并证明；
（2）解不等式.
【答案】20. 函数在上单调递增，证明见解析
21. 或
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；
（2）首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式；
【小问1详解】
函数上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，所以，，，
故，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
函数的定义域为，且，
所以是偶函数，
又由（1）知在上单调递增，
所以，
两边平方可得，解得或，
故不等式的解集为或.
21. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【答案】（1）8小时 （2）1.6
【解析】
【分析】（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【小问1详解】
因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
【小问2详解】
设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
22. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上的偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.