2024省齐齐哈尔高一上学期期末考试数学含解析

这是一份2024省齐齐哈尔高一上学期期末考试数学含解析，共26页。试卷主要包含了 设，命题，命题，则是的， 已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
第I卷
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合R，，则（ ）
A B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若角的终边上有一点，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
6. 设，命题，命题，则是的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功入轨.这次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务，也是长征系列运载火箭的第493次飞行.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，则火箭的最大速度为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9. 已知下列等式左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数值域为
B. 函数是增函数
C. 不等式的解集为
D.
12. 定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.
13. 函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________.
14. 若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.
15. 若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是__________.
16. 用表示中较大者，记为.已知函数，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.
17. 已知角满足.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19. 已知定义域为的函数.
（1）判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
20. 果园占地约亩，拟选用果树进行种植，在相同种植条件下，果树每亩最多可种植棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示：
（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
（2）已知该果园的年利润（万元）与，的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
21. 已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式.
22. 已知函数，（其中是自然对数的底数）
（1）判断函数在上的单调性（不必证明）；
（2）求证：函数在内存在零点，且；
（3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值.
（参考数据：）
高一数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
第I卷
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合R，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义进行计算即可.
【详解】由得；
又，
所以.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的关系直接写出原命题的否定.
【详解】原命题的否定是：，.
故选：B
3. 若角的终边上有一点，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数定义列方程即可得解.
【详解】由题意结合三角函数定义得，解得.
故选：D.
4. 函数的零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】时，可以直接求出零点，时，通过图象即可得出零点个数，进而得出结果.
【详解】当时，
令，解得或（舍），
所以时，有一个零点；
当时，令，得，
作和图象如下，
所以时，有两个零点.
综上，共有3个零点.
故选：C
5. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.
【详解】因为，
所以，，
若，则，排除C，
若，则，排除AB.
故选：D
6. 设，命题，命题，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题意通过作差法得出命题的充要条件为，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意
，
即命题的充要条件为，
所以命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
7. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功入轨.这次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务，也是长征系列运载火箭的第493次飞行.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，则火箭的最大速度为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比，可设出函数模型，代入可得函数解析式，进而得解.
【详解】设当燃料质量为时，火箭的最大速度为，
则，
又当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；
所以，
解得，
所以，
令，则，
，
故选：C.
8. 已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性可得函数在内的单调性与最值情况，所以，，根据不等式能成立，可得，，所以，可得，进而可得参数范围.
【详解】由已知当时，，当且仅当，即时等号成立，
且在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为，
又，，使成立，
即，
所以，使，即在上的最大值，
即，解得或，
又，
所以，
故选：A.
二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9. 已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，C，利用特殊值进行判断；对于B，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，根据的范围判断的符号.
【详解】对于A，C，由，令，则，，故A，C错误；
对于B，由，，，所以，故B正确；
对于D，由，得，，，所以，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数值域为
B. 函数是增函数
C. 不等式的解集为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.
【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；
对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；
对于C，因为的定义域为，且,
，所以为奇函数，且在上为减函数，
不等式等价于即，
等价于，解得，故C正确；
对于D，因为且，所以
，故D正确.
故选：ACD.
12. 定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据对，均有，且，令，即可得的值，从而判断A；令得，则，于是可化简的式子，从而可判断B；令，结合当时，，可得，则可得的大小关系，从而可判断C；利用归纳法推出，从而可判断D.
【详解】对，均有，令可得，所以，则，故A正确；
，可令得，所以，
则，故B不正确；
令，可得，
因为当时，，
又，所以，
故，所以，
所以，则，故C不正确；
令，得，则，，
以此类推可得：，
所以，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用合理赋值、作差法并结合其所给性质逐项分析即可.
第II卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.
13. 函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果.
【详解】由，得，所以定点，
设，又，得，所以，
所以，
故答案为：4.
14. 若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可.
【详解】设扇形的半径为，
因为扇形的周长为，扇形的面积为，
由得，或，又因为，所以.
故答案为：.
15. 若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况作出图象，根据不等式的解集即可求解.
【详解】当时，作出和的图象，
由图像可知没有整数解，不符合题意；
当时，作出和的图象，
因为恰有个整数解，
所以是不等式的整数解，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
16. 用表示中的较大者，记为.已知函数，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意设，根据对称轴、单调性等知识画出图象，由题意当且仅当是关于的方程的两个根，，进一步换元分离参数，并结合对勾函数的性质即可得解.
【详解】由题意设，
由此可知的对称轴均为，
且当时，单调递减，单调递增，
当时，单调递增，单调递减，
且，由此可以画出这两函数的大致图像如图所示：
所以，
所以直线与函数至多有4个不同交点，
关于的方程至多有2个不同的根，
由题意若关于的方程有8个相异实根，
则当且仅当两个关于的方程共有8个不同的根，
其中，
是关于的方程的两个根，
令，则关于的方程有两个不同的根，
即有两个不同的根，
设，由对勾函数性质得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，，
所以有两个不同的根，
当且仅当，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是分析出直线与函数至多有4个不同的交点，
关于的方程至多有2个不同的根，
由此可将题目等价转换为有两个不同的根，从而即可顺利得解.
四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.
17. 已知角满足.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由即可得到结果.
（2）由及，即可得到结果.
【小问1详解】
原式
，
，
原式.
【小问2详解】
，
且，
，
.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，利用并集运算求解即可；
（2）由可得，然后利用与两种情况讨论即可.
【小问1详解】
，
且，
，
，
当时，，
.
【小问2详解】
.
由（1）知，又.
则当即时，，
要使，则得.
当即时，，满足.
综上所述，实数的取值范围为
19. 已知定义域为的函数.
（1）判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）是上的增函数，证明见解析
（2）存在实数
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义直接证明即可；
（2）法一：利用奇函数的定义可得参数值；法二：利用特值法，令可得解.
【小问1详解】
由可知，是上的增函数.
证明：设，且，
则，
在上单调递增，且，
，即，
又，，
，即，
当为任意实数时，是上的增函数.
【小问2详解】
法一：假设存在实数使为奇函数.
对，由得.
，
即.，，
存在实数使为奇函数.
法二：假设存在实数使为奇函数.
的定义域为，
，，
当时，，
则
，
存在实数使为奇函数.
20. 果园占地约亩，拟选用果树进行种植，在相同种植条件下，果树每亩最多可种植棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示：
（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
（2）已知该果园的年利润（万元）与，的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
【答案】（1）比更适合作为与的函数模型.
（2）百棵
【解析】
【分析】（1）分别代入数据，确定对应回归方程，进而确定模型；
（2）根据确定的函数模型，进而可得，再利用换元法，结合二次函数性质可得最值情况.
【小问1详解】
①若选择作为与的函数模型：
将点，的坐标分别带入，得，解得，所以，
此时当时，，当时，，所得数据分别与表格中的和相差较大.
②若选择作为与的函数模型：
将，的坐标分别带入，得，解得，，
此时当时，，当时，，所得数据分别与表格中的和相符合.
综上所述，比更适合作为与的函数模型.
【小问2详解】
由题意，该果园最多可种棵该品种果树，故，
由（1）知，需选用的与的模型为，
，
令，，.
，.
当，即时，（万元）.
又，
当果树数量为百棵（每亩约棵）时，年利润最大.
21. 已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且.
（1）求函数解析式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的定义，可得，结合已知解方程组可解；
（2）由题意得，，令，解得，再解即可.
【小问1详解】
是奇函数，是偶函数，
.
又，
，即
联立，
解得；
【小问2详解】
原不等式
令，
是奇函数，，
即，解得，
，
解得.
原不等式的解集为.
22. 已知函数，（其中是自然对数的底数）
（1）判断函数在上的单调性（不必证明）；
（2）求证：函数在内存在零点，且；
（3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值.
（参考数据：）
【答案】（1）单调递增
（2）证明见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）取对数，利用复合函数单调性判断即可；
（2）利用零点存在性定理和对数的运算性质证明即可；
（3）根据单调性可知，即，代入化简不等式，再利用对勾函数单调性求的取值范围即可.
【小问1详解】
因为，令，则在上单调递增，
又是增函数，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
因为，
.
所以，由函数零点存在定理可知，函数在内存在零点，
即，
因为
.
【小问3详解】
由（2）知，，所以，，
又因，且在上单调递增，
所以，即，，
所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
所以，即，
所以要使，则整数的最大值为3.