广西南宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份广西南宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若直线过点，，则此直线的斜率是（ ）
A B. C. D.
2. 已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（ ）
A. 48B. 56C. 81D. 100
3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
4. 已知数列满足，，则 （ ）
A B. 2C. 12D. 33
5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）

A. B.
C. D.
6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（ ）
A. 10B. 18C. 36D. 40
7. 已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是
A. 6－2B. 8C. 4D. 10
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
10. 下列说法错误的有（ ）
A. 若，则直线l：的斜率大于0
B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C. 斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为
11. 已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，，则
12. 已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A. 二面角的大小为
B.
C. 若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D. 若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆的方程为，则圆的半径为_________．
14. 已知，，，则在上的投影向量的模为_________．
15 已知函数且过定点，直线过定点，则_____
16. 记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长.
18. 已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求前项和.
19 已知圆．
（1）已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
（2）若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
20. 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
22. 如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.

（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围；南宁市2023～2024学年度秋季学期高二年级教学质量调研
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若直线过点，，则此直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点间的斜率公式计算出结果.
【详解】因为直线经过，，
所以直线的斜率为，
故选：A.
2. 已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（ ）
A. 48B. 56C. 81D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】由题意先列方程把求出来，再结合等差数列求和公式即可得解.
【详解】设数列的首项和公差分别为和，，，.
故选：C.
3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的性质求出即可.
【详解】方程表示双曲线，
因为恒成立，
所以，
解得，
故选：A．
4. 已知数列满足，，则 （ ）
A. B. 2C. 12D. 33
【答案】A
【解析】
【分析】利用递推关系计算可得数列是周期数列，即可计算出结果.
【详解】由递推公式代入计算可得；
可得数列是以3为周期的周期数列，
所以，
故选：A.
5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.
【详解】由题意.
故选：B.
6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，则值为（ ）
A. 10B. 18C. 36D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出即可.
【详解】易知，
为等比数列，
，
代入数据可得，
解得或（舍）
所以.
故选：D.
7. 已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是
A. 6－2B. 8C. 4D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．
【详解】由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，
最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=8，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8．
故选B．
【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，利用椭圆的性质得，再结合椭圆的定义求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得.
【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，

由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，
于是，解得，，
在中，，
显然，解得，
所以的离心率的取值范围是.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.
【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；
对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；
对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；
对于D项：，
所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选：AC.
10. 下列说法错误的有（ ）
A. 若，则直线l：的斜率大于0
B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C. 斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误.
【详解】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误；
对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；
对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；
对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，
将代入，即，，即得，
所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误.
故选 ：ACD.
11. 已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用，判断A，B选项正误，利用等差数列和等比数列的性质及通项公式判断C，D选项的正误.
【详解】对于A，，，，
所以，，因为，不符合上式，
所以，不是等差数列，A错误；
对于B，，，，
，，因为，符合上式，所以，
是等比数列，B正确；
对于C，是等差数列，有，故C正确；
对于D，，，
，
所以，D错误.
故选：BC
12. 已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A. 二面角的大小为
B.
C. 若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D. 若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，得到二面角的大小；B选项，由得到垂直关系；C选项，推出O在以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，求出轨迹长度；D选项，为平面的法向量，求出直线与平面所成角的正弦值，根据求出取值范围.
【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，其中，
对于A：，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，故.
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
故.故，而二面角为锐二面角，
故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故A错误.
对于B：，故，即，故B正确.
对于C：由在正方形内部，且，
若分别是上的点，且，此时，
由图知：O在上，即O在以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点轨迹的长度为；故C正确.
对于D：设直线与平面所成的角为.
因为平面，故为平面的法向量，
而，
故，
而，
故，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆的方程为，则圆的半径为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的一般式方程与标准式方程之间的转化即可求解.
【详解】由圆，整理可得：，
则圆的半径为.
故答案为：
14. 已知，，，则在上的投影向量的模为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由投影向量的定义再结合数量积公式即可得解.
【详解】因，，，所以，，
则在上的投影向量的模为.
故答案为：.
15. 已知函数且过定点，直线过定点，则_____
【答案】5
【解析】
【分析】由指数函数的性质，直线过定点和两点间距离公式解出即可.
【详解】，；
由得：，直线恒过定点；.
故答案为：.
16. 记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则_________．
【答案】1296
【解析】
【分析】首先由递推关系算出，求出，再由等比中项得到，解出，最后由基本量法求出，求出最后结果即可.
【详解】依题意，，
故当时，，
当时，，
依题意，两式相减可得，，则，
因为当时，也满足，
所以，，故；
因为，，是等比数列的前三项，
所以，
则，
化简得，，解得或（舍去）
所以，，
所以等比数列的公比，通项公式，
故.
故答案为：1296
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长.
【答案】方程为，离心率，实轴长
【解析】
【分析】根据等轴双曲线的性质利用待定系数法求解方程，即可由性质求解.
【详解】由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为
因为点在双曲线上，代入方程得：.
解得.
所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为，
并且，，
则，
离心率，
实轴长．
18. 已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；
（2）利用分组求和法求出答案即可.
小问1详解】
∵，
∴，，解得，∴；
【小问2详解】
由题可知，∴，
∴，
19. 已知圆．
（1）已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
（2）若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
【答案】（1）
（2）面积最大值为8，直线方程为或
【解析】
【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长；
法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案；
法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案；
（2）设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程.
【小问1详解】
法1：圆C的圆心坐标为，半径，
圆心C到直线的距离.
则截得的弦长；
法2：设，联立方程组得，
消得，
；
法3：设，联立方程组得，
消得，解得，
则，
.
【小问2详解】
圆C的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去，
设直线的方程为，即，
则圆心C到直线的距离为，
又的面积，
所以当时取最大值8，
由，得，
解得，，
所以直线的方程为或.
20. 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）借助旋转的意义，结合平行四边形证得，再利用线面平行的判定推理即得.
（2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用空间向量求出线面的正弦，列出方程求解即得.
【小问1详解】
将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，则，且，
因此四边形平行四边形，则，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由，，，得两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
令，有，则，
假定在线段上存在点满足条件，
设，则，，
当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去；
当时，设平面的法向量为，，
则，令，得，而，
设直线和平面所成的角为，则，
而，解得，即点为线段的中点，
所以在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时.
21. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；
（2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.
【小问1详解】
法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,
则有 所以,
故的方程为.
法二设的坐标为则有,
所以.
即, 所以的方程为.
【小问2详解】
法一设方程为，
因为，所以，即.
所以，即；
由得，
所以.
所以，即，所以；
所以方程为，
故恒过定点.
法二设，因为，所以；
所以，所以.
所以的方程为，
整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
22. 如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.

（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入法求动点的轨迹方程；
（2）根据直线与的轨迹交于两个不同的点列方程得到，将圆上存在两点、，满足，转化为的垂直平分线与圆有两个交点，然后列不等式求解即可.
【小问1详解】
设动点，点，
由点在圆上，则，
由，则，，
把，代入，
得动点的轨迹方程为
【小问2详解】

联立直线与（1）中的轨迹方程得，
，由于有两个交点、，故，解得，
设，，的中点，由根与系数的关系得，则，
故AB的垂直平分线方程为，即
由圆上存在两点、，满足，，
可知的垂直平分线与圆交于、两点，由直线与圆的位置关系可得，
解得：，
由、解得，
的取值范围是.