2020-2021学年江苏省泰州市海陵区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省泰州市海陵区九年级上学期数学期末试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若2x＝5y，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2. 抛物线的顶点坐标是( )
A. (1，-2)B. (1，2)C. (-1，2)D. (-1，-2)
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据抛物线的顶点的坐标公式（，），直接代入a=1，b=-2，c=3可求得顶点的坐标.
故选B
考点：抛物线的顶点
3. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形B. 两个等边三角形
C. 两个平行四边形D. 两个菱形
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；
【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误；
任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B正确；
任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C错误；
任意两个菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．
4. 数据2，6，8，6，10的众数和中位数分别为（ ）
A. 6和6B. 6和8C. 8和7D. 10和7
【答案】A
【解析】
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据这两个定义解答即可．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的是数据6，
所以这组数据的众数为6，
将数据按从小到大的顺序重新排列为2，6，6，8，10，
则这组数据的中位数为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数值的中位数、众数．
5. 已知⊙O的半径为5cm，直线1上有一点P，OP=5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相离C. 相切D. 相交或相切
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=5cm=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜5cm=r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
【点睛】考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
6. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长
【答案】B
【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论．
【详解】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一根是1，则k＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】把x=1代入方程x2+kx-2=0得1+k-2=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程x2+kx-2=0得1+k-2=0，
解得k=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8. 100件某种产品中有4件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：100件某种产品中有4件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9. 如果二次函数y＝3x2+2x+c图像经过点（0，2），则c＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】直接将点（0、2）代入函数，即可求得
【详解】函数经过点（0、2）
故答案为：2．
【点睛】本题考查了函数图像上点的坐标特征，即函数图像上的点满足函数关系是成立．
10. 圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C的度数等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可；
【详解】∵圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设，，，
根据圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，准确计算是解题的关键．
11. 已知圆锥底面半径为2，其侧面积是10π，则母线长等于_____．
【答案】5
【解析】
【分析】设母线长为R，根据圆锥的侧面积计算公式可知l即为底面圆的周长，进而问题可求解．
【详解】解：设母线长为R，根据题意得：
，
解得：R=5，
∴母线长为5；
故答案为5．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．
12. 已知点G是边长为2的等边三角形ABC的重心，则G、A两点间的距离等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质，勾股定理求出AE，根据重心的性质可得AG=BG，在中利用勾股定理计算即可．
【详解】如图：过点A作AE，于点E，于点D，则AE与BD的交点G即为的重心，
根据重心的性质可得AG=BG
在中
设AG=BG=，则
在中，有
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，重心的性质，解题关键是熟练掌握重心的性质，即三角形的重心到三角形三个顶点的距离相等．
13. 如图，C、D是⊙O上两点，AB是直径，如果∠BDC＝23°，则∠ABC的度数为_____°．
【答案】67
【解析】
【分析】由题意易得∠A=∠BDC=23°，∠ACB=90°，进而问题可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BDC=23°，
∴∠A=∠BDC=23°，
∴∠ABC=67°；
故答案为67．
【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键．
14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，三个半圆形成的两个月牙形（图中阴影部分）称为“希波克拉底月形”（希波克拉底是古希腊数学家），若AC＝3，BC＝4，则希波克拉底月形（阴影部分）的面积等于_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：，
所以阴影部分的面积，
故答案是：6．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
15. 在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____．
【答案】2.5
【解析】
【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可．
【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形，

=2.5
故答案为：2.5．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
16. 抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣）（a是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a等于_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】令y=0时，则有，则有，进而可得对称轴为直线，然后可求抛物线顶点纵坐标为，由此可得当a不为±1时，纵坐标不为整数，进而可求解a的值．
【详解】解：由题意得：
令y=0时，则有，
解得：，
∴抛物线与x轴交点的坐标为，
由抛物线的对称性可得对称轴为直线，
∴把代入抛物线解析式得顶点纵坐标为，
∵顶点的纵坐标是一个正整数且a是不等于0的整数，
∴，
当时，y=0（不符合题意，舍去）；
当时，y=4，（符合题意）
∴；
故答案为-1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式进行求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法进行求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
∴；
（2）
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 某市2019年、2020年12月上旬的日最高气温（℃）如下：
（1）求该市2020年12月上旬日最高气温的平均数、众数与中位数；
（2）该市这两年中，哪一年12月上旬的日最高气温比较稳定？为什么？
【答案】（1）10（℃），10（℃），10（℃）；（2）2020年12月上旬日最高气温比较稳定，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）运用平均数计算公式求出平均数；运用众数和中位数的定义求解；
（2）分别计算出相应的方差，然后再根据方差的意义进行判断即可．
【详解】解：（1）2020年12月上旬日最高气温的平均数为：
（℃）
这组数据中10出现的次数最多，所以，这组数据的众数是10（℃）
这组数据按大小顺序排列为：9，9，9，10，10，10，10，11，11，11，第5，6个数据分别是10，10，
故中位数是：（℃）；
（2）2019年12月上旬日最高气温的平均数为：（℃）
方差为：
2020年12月上旬日最高气温的平均数为10 ℃
方差为：
∵这两个月上旬日最高气温的平均数相同，2019年12月上旬日最高气温的方差大于2020年12月上旬日最高气温的方差
∴2020年12月上旬日最高气温比较稳定．
【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
19. 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中摸出1个球，请用树状图或列表法列出所有的等可能结果，并求至少摸到1个红球的概率．
【答案】（1）；（2）至少摸到1个红球的概率为
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式可直接进行求解；
（2）由题意列出树状图，然后可直接根据树状图进行求解概率．
【详解】解：（1）由题意得：
摸到红球的概率为；
故答案为；
（2）由题意可得树状图如下：
∴至少摸到一个红球的概率为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图进行求解概率是解题的关键．
20. 如图，已知．
（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）12
【解析】
【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可
（2）根据弧长公式计算即可；
【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求；
（2）如图，连接AO，BO，
∵弧AB的度数为，
∴，
又∵弧AB的长是，
∴，
解得：，
∴所在圆的半径的长是12．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键．
21. 已知二次函数y＝ax2+bx+c，请从以下三个条件中任选两个，确定二次函数表达式：
①当自变量x＝4时，二次函数的最小值为﹣3；
②该二次函数的图像与x轴一个交点的横坐标为1；
③该二次函数的图像与y轴的交点是（0，13）．
【答案】选择①③，该二次函数表达式为
【解析】
【分析】选择①③，由题意可设二次函数的解析式为，然后把点代入求解即可．
【详解】解：选择①③，则可设二次函数的解析式为，
∴把点代入解析式得：，
∴，
∴该二次函数表达式为，即．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
22. 马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE，测得BD=24m，NB=6m，NE=2m.
（1）若小明的身高MN=1.6m，求AB的长；
（2）试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由．
【答案】（1）AB=6.4m；（2）AB=CD，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质分析得出答案；
（2）直接利用平行线分线段成比例定理分析得出答案．
【详解】（1）∵MN∥AB，∴△MNE∽ABE，∴=．
∵NB=6，NE=2，MN=1.6，∴=，∴AB=6.4（m）；
（2）这两根灯杆的高度相等，理由如下：
∵MN∥CD，BD=24，∴===，∴===，∴AB=CD．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题的关键．
23. 学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
【答案】（1）6m；（2）当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【解析】
【分析】（1）设AD=xm，则有，由题意得，然后结合墙长为9m可求解问题；
（2）设生物园的面积为，AD=xm，则有，由（1）可得：，即，进而可得，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设AD=xm，则有，由题意可得：
，
解得：，
∵墙长为9m，
∴AB的长不超过9m，
∴，
∴AB=6m；
答：生物园一边AB的长为6m．
（2）设生物园的面积为，AD=xm，则有，由（1）可得：
，即，
∴，对称轴为直线，
∵墙长为9m，
∴且，
∴，
∴当时，S取最大值，
∴AD=4m，AB=8m，
答：当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，AD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠ADC＝∠ACE；
（2）若⊙O的半径为2，的度数为90°，DE＝2，求AD的长．
【答案】（1）见详解；（2）AD=4
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后可得△ACD∽△AEC，进而根据相似三角形的性质可求证；
（2）由（1）得△ACD∽△AEC，则有，进而可得△ABC是等腰直角三角形，BC为⊙O的直径，然后可得，设AD=x，则由DE=2可得AE=2+x，最后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴，
∴，
∵∠EAC=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴∠ADC=∠ACE；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）得△ACD∽△AEC，
∴，即，
∵的度数为90°，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，BC为⊙O的直径，
∵⊙O的半径为2，
∴，
∴，
设AD=x，则由DE=2可得AE=2+x，
∴，
解得：，
∴AD=4．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，正方形ABCD的边长为，点E是边AB上一点，连接EC，将△EBC绕点E按逆时针方向旋转一定角度后得到△，且使与边CD交于点F（不与C、D重合）．连接．
（1）求证：△∽△；
（2）当，且CF＝2时，求的值；
（3）当BE＝5时，求的最大值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）的最大值为
【解析】
【分析】（1）由题意易得，，进而可得，然后问题可求解；
（2）连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，由题意易得，进而可得，设，则由CF=2可得，，然后由勾股定理可得x的值，最后根据相似三角形的性质问题可求解；
（3）由（2）可得：，，设CF=x，则有FH=5-x，进而可得，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD正方形，边长为，
∴∠ABC=∠DCB=90°，，
∴由旋转的性质可得，
∴四边形EBCH是矩形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，则由CF=2可得，，
∴在Rt△EHF中，勾股定理得，
解得：，
∴BE=5，
∴在Rt△EBC中，，
由（1）得，
∴；
（3）如（2）图，由（2）可得：，，
设CF=x，则有FH=5-x，
∴在Rt△EHF中，，
在中，，
∴，
∴当x=5时，取最大值，即最大值为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、正方形的性质、旋转的性质及二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、正方形的性质、旋转的性质及二次函数的性质是解题的关键．
26. 已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）若点A的坐标为（4，0）、点B的坐标为（﹣1，0），求a+b的值；
（2）若图像经过P（1，y1），Q（m，n），M（3，y2），N（3﹣m，n），试比较y1、y2的大小关系；
（3）若y＝ax2+bx﹣2的图像的顶点在第四象限，且点B的坐标为（﹣1，0），当a+b为整数时，求a的值．
【答案】（1）-1；（2）若a＞0，则y1＜y2；若a＜0，则y1＞y2；（3）
【解析】
【分析】（1）把A（4，0），B（-1，0）代入二次函数关系式求出a，b的值即可得到结果；
（2）由点Q，点N的纵坐标相同，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，确定点P距对称轴更近，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可；
（3）分别求出a+b=1，a-b-2=0，联立方程组求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图像过A（4，0），B（-1，0）
∴
解得，
∴
（2）∵Q（m，n），N（3﹣m，n），
∴二次函数图象的对称轴为
∵P（1，y1），M（3，y2），
∴点P距离对称轴更近
若a＞0，则y1＜y2；
若a＜0，则y1＞y2；
（3）由题意知，∵图像的顶点在第四象限，
∴对称轴＞0
∵B（﹣1，0），
∴A点横坐标大于1
当x=1时，y=a+b-2＜0
∴0＜a+b＜2
∵a+b为整数
∴a+b=1
又∵B（﹣1，0），
∴a-b-2=0
联立
解得，
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质．
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
2019年12月
7
9
8
11
12
9
10
10
12
12
2020年12月
9
11
10
9
10
11
11
9
10
10