2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线与y轴的交点是（ ）
A. （0，4）B. （0，2）C. （0，-3）D. （0，0）
【答案】A
【解析】
【分析】把x＝0代入抛物线，即得抛物线与y轴的交点坐标．
详解】解：把x＝0代入抛物线，得y＝4，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，4）．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标问题，掌握求抛物线与y轴的交点的坐标的方法是解题的关键．
2. 已知点（-2，a），（2，b），（3，c）在函数的图象上，则下列关于a，b，c的大小关系判断中，正确的是（ ）
A. a【答案】D
【解析】
【分析】把点A（﹣2，a），B（2，b），C（3，c）代入函数y上求出a、b、c的值，再进行比较即可．
【详解】解：把点A（﹣2，a）代入函数y可得，a＝-3；
把点B（2，b）代入函数可得，b＝3；
把点C（3，c）代入函数可得，c=2．
∵3＞2＞-3，即b＞c＞a．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式
3. 如图，AB是半圆的直径，CD为半圆的弦，且CD//AB，∠ACD=26°，则∠B等于（ ）
A. 26°
B. 36°
C. 64°
D. 74°
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质，得∠ACD=∠CAB=26°，根据直径上的圆周角为直角，得∠ACB=90°，利用直角三角形的性质计算即可．
【详解】∵CD//AB，∠ACD=26°，
∴∠ACD=∠CAB=26°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=64°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角的原理，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用是解题的关键．
4. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图面积为60π，则该圆锥的底面圆的半径长等于（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】所用等量关系为：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】解：设底面半径为r，则底面周长＝2πr，圆锥的侧面展开图的面积2πr×10＝60π，
∴r＝6．
故答案选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题时利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，难度不大．
5. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，则sinA=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理可求得，再利用正弦的定义即可计算出结果．
详解】解：∵AC=2，BC=3，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了求角的正弦值，掌握锐角三角函数求角的正弦值的方法是解题的关键．
6. 如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．
【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．
7. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A. h·sinαB. h·csα
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由，即可求出BC的长度．
【详解】AC与BC互相垂直
，，
．
在中，
，
．
故选:D．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
8. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD=120°，CO=CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A. （2，）B. （3，）
C. （3，）D. （，）
【答案】B
【解析】
【分析】作AE⊥OB于E，根据等腰三角形的性质求出∠COD＝∠CDO＝30°，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k即可求出点C的坐标．
【详解】解：作AE⊥OB于E，
∵∠OCD＝120°，CO＝CD，B（2，0），
∴∠COD＝∠CDO＝30°，OB＝2，
∴AE＝OA，
∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴AO＝AB，
∴OE＝AB＝1，
∴OA2－AE2＝OE2，
即3AE2＝1，解得AE＝，
∴点A的坐标为：（1，），
∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
∴点C的坐标为（3，），
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换、直角三角形的性质等知识，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质是解题的关键．
9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数（x>0）的图象经过线段AB的中点C，则△ABO的面积为（ ）
A. 2
B. 4
C 8
D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求ab的值．
【详解】解：设点A（a，0），点B（0，b），
∵点C是AB中点，
∴点C（，），
∵点C在双曲线y（k≠0）上，
∴k4，
∴ab＝16
∵点A（a，0），点B（0，b），
∴OA＝a，OB＝b，
∵S△ABO，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握点在图象上，点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
10. 已知抛物线的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y轴的交点的纵坐标为n，则n的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出与的关系，再根据抛物线与轴交点的纵坐标为，即，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】 抛物线的顶点在上，抛物线的顶点标为（、）
抛物线与轴交点的纵坐标为
的最大值为
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分）
11. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_________．
【答案】k＞4
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当4−k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴4−k＜0，
解得k＞4，
故答案为：k＞4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AB=______．
【答案】
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，根据正弦定义，结合题意得到，再代入BC=8，即可解题．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=25°，则∠P=______．
【答案】．
【解析】
【分析】利用切线长定理可得，由等边对等角得到，，再根据互余的性质解得的度数，最后由三角形内角和180°解题．
【详解】解：是的切线，为切点，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
【答案】8米．
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=8(米)，
故答案为：8(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
15. 服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x>100）元出售，每天可销售（200－x）件，则每天可获得的最大利润为_______元．
【答案】
【解析】
【分析】设获得的利润为元，根据总利润=单利销售量，列出函数式，再利用配方法将二次函数化为顶点式解析式，根据二次函数的最值性质解题．
【详解】解：设获得的利润为元，根据题意得，
元时，有最大值元，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16. 如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=，则图中阴影部分的面积等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，则证得△COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-S△OCD进行计算后即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC−∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC2+ OD2＝CD2．即2OC2=50，
∴OC=5，
∴S阴影=S扇形OCD-S△OCD=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键．
17. 若A（m-2，n），B（m+2，n）为抛物线上两点，则n=_______．
【答案】2016
【解析】
【分析】根据二次函数图象与性质可得抛物线的对称轴为，再利用m-2+m+2=2h，解得m=h，则可得A（h−2，n），B（h＋2，n），将B（h＋2，n）代入函数关系式即可求出结果．
【详解】解：∵A（m-2，n），B（m+2，n）是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴为，
∴m-2+m+2=2h，解得m=h，
∴A（h−2，n），B（h＋2，n），
当x＝h＋2时，n＝−（h＋2−h）2＋2020＝2016，
故答案为：2016．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．
18. 已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE，CD=，则BC的长为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，可得出AE：EC=2：1，AD：BD=2：1，则可证明DE∥BC，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE，根据相似三角形的判定可推出，计算后即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵S△ADE：S△DEC=4：2，
∴AE：EC=2：1，
∵S△ADE：S△DEC：S△BCD =4：2：3，
∴S△ACD：S△BCD=6：3，
∴AD：BD=2：1，
∵，
∴DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠ACD=∠ADE，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
同理可证：△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，，
∴，
∵AD：BD=2：1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CD=，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
19. （1）计算：2sin60°—cs45°+3tan30°
（2）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，求证：
【答案】(1) （2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）将特殊角的函数值代入求得式子的值即可；
（2）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论．
【详解】解：（1）原式＝23
1
＝；
（2）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD•CD
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及特殊角的函数值的知识，属于中考常考题型．
20. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）60°；（2）5．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果．
【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴＝，，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
21. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上？（结果保留整数．参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【答案】334 m
【解析】
【分析】确定∠E=90°，在Rt△BDE中然后在Rt△BDE中利用三角函数解答即可．
【详解】解：∵∠ABD=∠E+∠D，∠ABD=140°，∠D=50°，
∴∠E=∠ABD-∠D=90°，
在Rt△BDE中，∠E=90°，∠D=50°，BD=520m，
∴csD= ,
∴DE=BD·csD
=520×cs50°
≈520×0.643
≈334（m），
答：另一边开挖点E离D约334m正好使A，C，E三点在一直线上．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形，然后利用三角函数是解题的关键．
22. 为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg）与时间x （min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x （min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）燃烧时，y=（0≤x≤8）；燃烧后，y=（x＞8）；（2）消毒有效，见解析．
【解析】
【分析】（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；当x＞8时，设反比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；（2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可．
【详解】（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式为y=kx，
把点（8，6）代入解析式，得
8k=6，
解得 k=，
∴y关于x的函数关系式为y=（0≤x≤8）；
当x＞8时，设反比例函数的解析式为y=，把点（8，6）代入解析式，得
m=6×8=48，
∴y关于x的函数关系式为y=（x＞8）；
（2）当y=3时，
=3，
解得=4；
当y=3时，
=3，
解得=16；
∴持续时间为-=16-4=12＞10，
∴本次消毒有效．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的解析式的确定和生活中的实际意义，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活求自变量值是解题的关键．
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF．
（1）求证：△EFD~△FBC；
（2）求tan∠AFB的值．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得到，结合互余定义解得，再由可证明；
（2）在由勾股定理解得的长，继而得到的长，再在中，利用正切定义解得，然后由矩形对应边平行的性质结合翻折性质，解得，最后由正切定义解题即可．
结合．
【详解】解：（1）折叠
；
（2）在
中
矩形中，
折叠
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME~△ABC；
（2）求证：；
（3）若AD=5，BC=7，求MN的长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可
（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明，，根据三角形相似的性质即可解答．
（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN的长
【详解】（1）
，
（2），
E是MN的中点，ME=NE=
（3）结合（2）的结论，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为B．将抛物线向右平移m（m>0）个单位，A，B的对应点分别为，，平移前后的两图象交于点P，连接PB，，．
（1）求OA的长；
（2）若△恰好为等腰直角三角形，且：=2：5，
①求m的值；
②求a的值．
【答案】（1）6；（2）①m=4；②．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象与性质可得抛物线与x轴交点，即可求得OA的长；
（2）①根据平移性质可得BB1=m，AA1=m，则可得出OA1=OA+ AA1=6+m，结合已知可列出关于m的比例式，即可求解；
②设P（x，y），利用二次函数的顶点坐标特点可得B（3，-9a），再利用勾股定理可求得BP，根据函数的平移规律可得，求出x的值，则可利用函数关系式求得P（5，-5a），最后利用两点间距离公式即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的正半轴交于点A，
∴，即，
解得或，
∴OA=6；
（2）①由题意得，BB1=m，AA1=m，
∴OA1=OA+ AA1=6+m，
∵：=2：5，
∴，
解得m=4，经检验，符合题意，
所以m=4；
②设P（x，y），
∵点B为抛物线的顶点，
∴B（3，-9a），
∵为等腰直角三角形，
∴BP2+ B1P2= BB12，
即2BP2=16，解得BP=，
∵抛物线向右平移m个单位后，
∴， 解得，
将代入得：，
∴P（5，-5a），
∴，即，
解得或，
由抛物线的图象开口向下可得．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移问题，掌握平移的性质与二次函数图象的平移规律是解题的关键．
26. 定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”．根据上述定义解决下列问题，在△ABC中，AB=AC=5， BC=6，设△ABC的“切接圆”的半径为r．
（1）如图1，△ABC的“切接圆”的圆心D在边AB上，求r；
（2）如图2，请确定r的最小值，并说明理由；
（3）如图3，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上． 求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作△ABC的“切接圆”．
【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见解析；
【解析】
【分析】（1）作，，根据勾股定理和相似三角形的性质计算即可；
（2）判断出r的最小值范围，根据等面积法确定计算即可；
（3）设抛物线上任意一点为，证明P到x轴的距离与PA的距离相等即可；
【详解】（1）如图所示，作，，
∵AM∥DE，，AB=AC，
∴，
∴，
由题可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）由几何关系得，当这个图的直径是三角形的一条高时，最短；
∵A到BC的距离为4，
∴，；
设C到AB的距离是m，
则，
∴，
∴，，
∵＞，
∴为最小值，
∴；
（3）设抛物线上任意一点为，因为抛物线的开口向上，顶点坐标为（3，2），所以对于抛物线上任意一点来说，纵坐标均为正数，
则P到x轴的距离为，
①，
∵，
∴，
∴，
将上式代入①得，
，
∴，
即说明抛物线上任意一点P均是△ABC的切接圆圆心．
【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合相似三角形的性质、勾股定理计算是解题的关键．