2020-2021学年江苏省连云港市赣榆区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省连云港市赣榆区九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简代数式＝1＋，再将已知条件代入即可．
【详解】解：∵，
∴＝，
∴ 原式＝，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式化简求值，利用已知条件求出＝是解题的关键．
2. 在一个不透明的盒子中装有8个白球和m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为黄球的概率是，则m的值为（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄球的概率公式列出关于m的方程，求出m的值即可解答．
【详解】解：由题意知： ，
解得m=4．
故选D．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用．解决本题的关键是根据概率公式列出关于m的方程，再利用方程思想求解．
3. 一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π，
∴侧面展开图的弧长为8π，
则圆锥母线长＝＝12（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶5
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
△ABC与△DEF的面积比为：1∶4
故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5. 如图，是的直径，切于点A，若，则的度数为（ ）
A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°
【答案】A
【解析】
【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数．
【详解】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC，
∴∠CAB=90°，
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°，
∴∠AOD=40°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．
6. 已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（ ）
A. m=-2B. m>-2C. m≥-2D. m≤-2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
∵,抛物线开口向下，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，
∵当时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）
A. 15B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD=AF，BD=BE，从而得到AF+BE=AB，再根据三角形的周长的定义解答即可．
【详解】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=1，
由切线长定理得，AD=AF，BD=BE，
∴AF+BE=AD+BD=AB=5，
∴三角形的周长=5+5+1+1=12．
故选:B.
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，
∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH＋∠HAB＝90°，∠HAB＋∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴，即，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2＋2x，OB＝4−x，
∴B（0，4−x），C（-2-2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（-1-x，），
∵P（-1，0），
∴PM＝
最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正确添加辅助线、掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a =9cm，b=4cm，则线段c=________.
【答案】6cm
【解析】
【分析】根据比例中项的性质，列出比例式即可得出线段的长度.
【详解】∵是、的比例中项，
∴，
解得：或(线段为正数，舍去)
故答案为.
【点睛】本题考查比例中项的概念.当两个比例内项相同时，就叫比例中项，注意线段不能是负数.
10. 已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的方差是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]计算方差．
【详解】解：由平均数的公式得：（1+a+3+6+7）÷5=4，
解得a=3；
∴方差=[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（6-4）2+（7-4）2]÷5=．
故答案为．
【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．
11. 某一时刻，测得身高1.6的同学在阳光下的影长为2.8，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2，则教学楼的高为__________.
【答案】14.4
【解析】
【分析】根据题意可知，，代入数据可得出答案．
【详解】解：由题意得出：，
即，
解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．
12. 军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足．经过________秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
【答案】
【解析】
分析】炮弹落到地上即y=0，代入解析式解答即可．
【详解】依题意，关系式化为：
y=− (x−25)2+125.
令y=0，
解得：x=50秒．
故答案为50．
【点睛】二次函数的应用．
13. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【详解】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴，，
∴，
∵AB=1，CD=3，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
14. 将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”直接求出函数解析式即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，关键是掌握平移规律“左加右减，上加下减”．
15. 如图，半圆的直径AB＝4，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于____．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC、OD、CD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．
【详解】解：连接OC、OD、CD，如图所示：
∵△COD和△CDE等底等高，
∴S△COD=S△ECD，
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD=180°÷3=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形COD=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键．
16. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，进而得出谁大谁的函数图象在上面，进而求出x取值范围即可．
【详解】解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，
∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，
观察函数图象可知：当时，抛物线在直线下方，
∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查是二次函数与不等式（组）的知识点，解题关键在于对图像得理解，谁大谁的图象在上面．
三、解答题（本大题共10小题，共102分请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）2（x＋3）＝x2﹣9
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）运用十字相乘法因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程解方程即可；
（2）运用平方差公式和提公因式法因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程解方程即可．
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣45＝0，
，
；
（2）2（x＋3）＝x2﹣9，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解得方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，需要熟练掌握．
18. 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）k≥.
【解析】
【分析】（1）根据判别式的值得到△=（2m－1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+)²+，即可得出结果.
【详解】（1）证：当y=0时 x2－2mx＋m2＋m－1＝0
∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）
＝8m2－4m2－4m＋4
＝4m2－4m＋4
＝（2m－1）2 ＋3＞0
∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根
∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1图像与x轴有两个公共点
（2）解：平移后解析式为: y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,过(0,-2),
∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+)²+,∴k≥.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．
19. 为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
【答案】（1）中位数是82，众数是85；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据中位数及众数的定义解答；
（2）列树状图解答即可.
【详解】（1）甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82，
出现次数最多的年龄是85，故众数是85；
（2）这4名老人的年龄分别为67,68,66,69岁，分别表示为A、B、C、D，
列树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中2名老人恰好来自同一个社区的有4种，分别为AB，BA，CD，DC，
∴P（这2名老人恰好来自同一个社区）=.
【点睛】此题考查统计知识，会求一组数据的中位数、众数，能列树状图求事件的概率，熟练掌握解题的方法是解题的关键.
20. 新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
【答案】10 m
【解析】
【分析】设BC的长度为x，根据题意得出△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA，进而利用相似三角形的性质列出关于x的方程.
【详解】解：设BC的长度为x m
由题意可知CE∥AB∥DF
∵CE∥AB
∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA
∴，即＝
＝，即 ＝
∴＝
∴x＝4
∴AB＝10
答：路灯AB的高度为10 m.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA是解题关键．
21. 已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．
（1）则b＝ ，c＝ ；
（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）2，3；（2）(0，3)，(1，4)；（3）见解析；（4）0【解析】
【分析】（1）将点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y＝－x2＋bx＋c即可；
（2）令x=0即可求得与y轴的交点坐标，将二次函数的解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（3）利用描点法画出图象即可；
（4）直接由图象可得出y的取值范围．
【详解】解：（1）把点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y＝－x2＋bx＋c得
，解得 ，
故答案为：b=2，c=3；
（2）令x=0，c=3， 二次函数图像与y轴的交点坐标为则（0，3），
二次函数解析式为y=y＝-x2＋2x＋3=-(x-1)²+4，则顶点坐标为(1,4)；
（3）函数解析式为：，
列表如下：
描点并连线：
（4）根据图象可知，当－1＜x＜3时，y的取值范围是0＜y＜4．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的作图，待定系数法求解二次函数的解析式，解题的关键是综合运用相关知识解题．
22. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝AB•BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据角平分线定义可证得∠ABD=∠EBD，再根据相似三角形的判定证明△BAD∽△BDE，然后根据相似三角形的性质即可证得结论；
（2）根据（1）中结论求得BD长，再根据勾股定理求得AD长，进而可求得∠ABD=30°，即∠ABC=60°，利用锐角三角函数求得AC长，利用勾股定理求得BC的长，即可得到CE的长．
【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2＝AB•BE；
（2）由（1）可知，BD2＝AB•BE，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴，
∴CE=BC-BE=12-8=4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
23. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）65元或75元；（2）70元
【解析】
【分析】（1）设每千克水果售价为x元，根据利润=（售价-进价）×销售量，列出一元二次方程，即可求解；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，列出二次函数，即可求解．
【详解】解：（1）设每千克水果售价为x元，由题意可得：
8750＝（x－40）[500－10（x－50）]，
解得：x＝65或x＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m－40）[500－10（m－50）]＝－10（m－70）2＋9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
【点睛】本题主要考查二次函数以及一元二次方程的实际应用，找到等量关系，是解题的关键．
24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝3．求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝3，
∴，
∴BF＝2．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25. 问题背景：
（1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值；
灵活运用：
（3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD，直接写出AD的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
（2）连接EC，根据题意得出，由（1）得，在证明，然后根据相似三角形性质求的值即可；
（3）过D作，过点A作，两线相交与点M，先证明，在证明，然后由相似三角形性质、勾股定理以及直角三角形角的性质可得结果．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
（2）如图2，连接EC，
，
，
由（1）知，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
作于H，
，，
，
，
由得，
又，
，
；
（3）如图，过D作，过点A作，
两线相交与点M，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
即AD的长为．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1，PE⊥BC，垂足为E，当CE＝BD时，求△PDE的面积；
（3）如图2，连接AP，交BC于点H，求的最大值；
（4）如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴与点M，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）M（0，）
【解析】
【分析】（1）根据对称轴是直线x＝1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=,DE=，由P的横坐标是a，用含a表示出
CE，DE，BD的长，再BC=CE+DE+BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由PQ⊥OB，AG⊥OB，可得PQ//AG，继而可得△PDH相似于△AHG，由相似三角形的性质可得，即，再根据二次函数求最值求解即可；
（4）设M点坐标（0，m），根据对称性确定M关于CQ对称点M1，由（3）可得Q点坐标（，0），由两角对应相等证△COQ相似于△NOM，利用相似三角形性质求出直线MM1与x轴交点N的坐标（-2m，0），待定系数法求出直线MM1的解析式，联立两个直线解析式求出直线交点R，根据R是M和M1的中点，由中点坐标公式计算出M1，再将M1代入二次函数解析式即可列方程求解.
【详解】（1）解：将C（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c可得c=3，
因为对称轴是直线x＝1，
所以即，解得b=2，
所以二次函数解析式为；
（2）令解得，
所以A(-1，0)，B（3，0），
所以OB=3，
因为OC=3，
所以△OBC是等腰直角三角形，
所以∠OBC=45°，BC=,
因为PQ⊥OB，PE⊥BC，
所以∠PQB=∠PED=90°，
所以∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
所以△DQB和△PED是等腰直角三角形，
所以BQ=DQ，BD=，DE=，
因为P点横坐标是a，且在抛物线上，
所以PQ=，OQ=a，
所以BQ=DQ=3-a，BD=，
所以PD=PQ-DQ=，DE=，
因为CE=BD，BC=CE+DE+BD，
所以，
整理得：，解得： ，
所以PE=DE=，
所以S△PDE=；
（3）过点A作x轴垂线交BC与点G，
设直线BC解析式为，
将B（3，0）和C（0，3）代入可得：，
解得：，
所以直线BC解析式为，
因为A（-1，0），
所以G（-1，4），
AG=4，
因为PQ⊥OB，AG⊥OB，
所以PQ//AG，
所以△PDH相似于△AHG，
所以，
当a=时，有最大值，最大值是；
（4）当a=时，则Q（，0），
设直线CQ的解析式为，
把C（0，3）和Q（，0）代入可得：，
解得：，
所以直线CQ的解析式为，
如图设点M关于CQ对称点M1，
连接MM1交CQ于点R，交x轴与点N，则R是MM1的中点，且MM1⊥CQ，
所以∠OMN+∠QCO =90°，
因为∠CQO+∠QCO =90°，
所以∠CQO=∠OMN，
因为∠COQ=∠NOM=90°，
所以△COQ相似于△NOM，
所以,
设M（0，m），
所以，解得：，
设直线M M1的解析式为，将M（0，m），N（-2m，0）代入可得：
，解得： ，
所以直线M M1的解析式为：，
将和联立可得：
，解得：，
所以点R的坐标是，
因为M（0，m），且R点是M和M1的中点，
根据中点坐标公式可求出点M1坐标为，
因为点M1在抛物线上，
所以，
，
因为M与C不重合，
所以，故，解得：，
所以M（0，）
【点睛】主要考查二次函数与几何图形和一次函数综合，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质和几何图形的性质，一次函数图象性质.
甲社区
67
68
73
75
76
78
80
82
83
84
85
85
90
92
95
乙社区
66
69
72
74
75
78
80
81
85
85
88
89
91
96
98