2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县九年级上学期数学期末考试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县九年级上学期数学期末考试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（ ）
A. 0.585 kmB. 5.85 kmC. 58.5 kmD. 585km
【答案】C
【解析】
【分析】由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．
【详解】解：设这两城市的实际距离是厘米，
由题意得，，
解得：，
，
故选：．
【点睛】本题考查比例尺的定义，属于基础题型．
2. 下列函数中，不是二次函数的是( )
A. y＝1－x2B. y＝2(x－1)2＋4
C. y＝ (x－1)(x＋4)D. y＝(x－2)2－x2
【答案】D
【解析】
【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．
【详解】解：A．y＝1x2是二次函数，
B．y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6，是二次函数，
C．y（x﹣1）（x+4）x2x﹣2，是二次函数，
D．y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，是一次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．
3. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.36cmD. 7.64cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割比性质可得出结果.
【详解】解：已知书的宽与长之比为黄金比，
书的长为20cm，
根据黄金分割的比值约为0.618，
可得书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选A．
【点睛】本题考查黄金分割比，熟记比值大约0.618是解题的关键．
4. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是x=-1C. 顶点坐标是(1，2)D. 与x轴有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
6. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，
则 ，
.
故选C.
7. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3)B. (4，3)C. (3，1)D. (4，1)
【答案】A
【解析】
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
8. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的图象过点对①进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对②进行判断；利用时函数值为负数可对③进行判断；根据二次函数的增减性对④进行判断．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点是，
，
；所以①正确；
对称轴为直线，
，
，所以②正确；
当时，，
，
即，所以③错误；
当时，的值随值的增大而增大，时，的值随值的增大而减小，
所以④选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，掌握函数的图象和性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）
9. 若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．
【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得．
故答案：．
【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．
10. 如图，在中，点、分别在、上，．若，，则的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据，得出，即可得出，进而得的值．
【详解】解：，
，
，
，，
，
则的值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ADE∽△ABC是解题关键．
11. 中，，，则__．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】解：如图，等腰中，，，
过作于，则，
在中，，，则，
，
故．
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．
12. 锐角满足，则__．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得答案．
【详解】解：，
，
又，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
13. 向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第__秒时炮弹位置达到最高．
【答案】9
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值．
【详解】解：∵此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第9秒．
故答案为：9．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
14. 如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
【答案】∠B=∠1或
【解析】
【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.
15. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_______
【答案】
【解析】
【详解】解：设出抛物线方程y=ax2，
由图象可知该图象经过（-2，-2）点，
故-2=4a，a=-，
故，
故答案：．
16. 如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 __．
【答案】18
【解析】
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则，，
，
又，
，
，
故答案是：18．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】把特殊三角函数值代入，再根据实数混合运算顺序进行运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 已知是和3的比例中项，求．
【答案】，
【解析】
【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵是和3的比例中项，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了比例线段，一元二次方程的解法，熟知比例中项的定义是解决问题的关键．
19. 中，点，分别在，上，，如果，的面积为4，四边形的面积为5，求边的长．
【答案】3
【解析】
【分析】由，是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得，然后由，的面积为4，四边形的面积为5，即可求得的长．
【详解】解：，是公共角，
，
，
的面积为4，四边形的面积为5，
的面积为9，
，
，
解得：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用.
20. 丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
【答案】8m
【解析】
【分析】从抛物线解析式可以看出，有一个待定系数，在抛物线图象上找一个点，就可以确定待定系数，从而确定抛物线解析式，再利用抛物线解析式回答题目的问题．
【详解】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或（舍去），
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，（舍去），
所以铅球的落点与丁丁的距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，已知函数值求解，掌握二次函数的性质是解题的关键.
21. 在中，，，，解这个直角三角形．
【答案】a＝、 b＝2、c＝4
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理构建方程组求出，的值，再利用正切的定义得，解方程组求出，，即可解决问题．
【详解】解：由题意知： ，
解得：，
，
，
由，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是学会利用数量关系构建方程组解决问题．
22. 如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，因为，所以，从而易证，所以，继而可证明；
（2）设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．
【详解】解：（1）证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
（2）在，，，，
，
设半径为，则，
中，，
，
．
【点睛】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．
23. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，，即可证；
（2）由，可得，即可证，进而可证．
【详解】证明：（1）等腰和等腰，
，，
，，，
，，
，且，
∴
（2）∵
，且
∴，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
24. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，求旗杆AB的高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.6）
【答案】旗杆AB的高度约为13.1米．
【解析】
【分析】如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中求出CJ、DJ，再根据tan∠AEM＝构造方程即可解答．
【详解】如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．
在Rt△CJD中， ==，
设CJ=4k，DJ=3k，
则有9k2+16k2=4，
∴k=，
∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=，∴1.6=，
解得：AB≈13.1．
故旗杆AB的高度约为13.1米．
【点睛】本题考查三角函数的综合运用，解题的关键是从图中提取相关信息，特别是直角三角形的三边关系．
25. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．
（1）若，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙的长；
（2）求矩形菜园面积的最大值．
【答案】（1）20m；（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，根据“所围成的矩形菜园的面积为1800平方米”列出方程求解即可；
（2）设，则，分和两种情况讨论．
【详解】解：（1）设，则，根据题意得：
，
解得，，
当时，，不符合题意舍去，
当时，，
答：的长为；
（2）设，
，
当时，则时，的最大值为5000，
当时，则当时，随的增大而增大，
当时，的最大值为，
答：当时，的最大值为5000，当时，的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用参数解决问题．
26. 如图，中，，BC=12cm，，点从点出发，沿方向以2cm/s的速度移动，同时点从出发，沿方向以1cm/s的速度移动．
（1）证明当移动到中点时，四边形面积最小．
（2）经过多少时间，与相似？
【答案】（1）见解析；（2）秒或秒
【解析】
【分析】（1）设经过时，，，，，根据四边形的面积公式得到关于的二次函数关系式，结合二次函数最值的求法解答．
（2）分和两种情况解答，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，并解答即可．
【详解】解：在中，由，，，
可得：．
（1）证明：设经过时，，，，，
，
即：．
当时，四边形面积最小，
，即为中点；
（2）①当时，，有，
即：．
②当时，有．
即：．
答：经过秒或秒时，和相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数实际应用-最值问题，锐角三角函数，勾股定理，找准哪些线段对应成比例时两个三角形相似是解题的关键.
27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），，两点的坐标；
（2）证明与的面积相等；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为，，两点的坐标为、；（2）见解析；（3）存在，和
【解析】
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，则抛物线顶点的坐标为，令，解方程即可求出点、的坐标；
（2）分别表示出与的面积即可证明；
（3）用含的代数式分别表示出、、，再根据为直角三角形，分三种情况：当时，；时，；当时，由，，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
【详解】解：（1），
抛物线顶点的坐标为，
抛物线与轴交于、两点，
当时，，
，
，
解得，，
，两点的坐标为、；
（2）当时，，
点坐标为，
，
过点作轴于，
则，，，
，
，
，
；
（3）存在使为直角三角形的抛物线．
过点作于点，则为直角三角形，，，
，
，
在中，，
在中，；
①如果是直角三角形，且时，，
即，解得 ，
，
．
存在抛物线使得是直角三角形；
②如果是直角三角形，且时，．
即，解得 ，
，
．
存在抛物线使得是△；
③，，
以为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线和使是直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，勾股定理，用含参数m的代数式表示各线段长，再运用分类思是解题的关键.