+江苏省南京市联合体2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+江苏省南京市联合体2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝3
C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
2．（2分）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10B．8C．6D．4
4．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若，∠C＝45°，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．D．
5．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上．若DE∥BC，DF∥AC，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①2a+b＝0；
②a+b+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；
④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）若＝，则＝ ．
8．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象的顶点坐标是 ．
9．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝ ．
10．（2分）设x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1＝x2，则m的值为 ．
11．（2分）一个扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为 ．
12．（2分）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积的比为1：4．若AB＝2，则DE的长为 ．
13．（2分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E．若AB＝2，CD＝3，AD＝4，则AE的长为 ．
14．（2分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．
15．（2分）如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB，BC于点E，F．若∠B＝50°，的度数为56°，则∠D＝ °．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AB，交∠ACB的平分线于点D，AB与CD相交于点E．若BE＝3，BD＝6，则AC的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）x﹣2﹣x（x﹣2）＝0．
18．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下：
甲：5，6，7，6，6；
乙：3，6，6，7，8；
（1）根据所给数据填写下表：
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
19．（8分）某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，每位同学可以随机选择其中一个课程参加学习．
（1）甲同学选择插花课程的概率是 ；
（2）求甲、乙两名同学选择同一个课程的概率．
20．（7分）如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F．
（1）求证△DEC∽△EFB；
（2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长．
21．（7分）已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数图象沿直线x＝﹣1翻折，所得图象的函数表达式为 ．
22．（8分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半径．
23．（8分）如图，AD，BC相交于点E，AB∥CD∥EF，B，F，D在一条直线上．AB＝10，CD＝15．
（1）求的值；
（2）求EF的长．
24．（8分）某游乐城销售一种玩具，当售价为50元/件时，每天可以销售40件．现游乐城对该玩具开展酬谢促销活动，通过市场调研发现，该玩具单价每降1元，销量增加4件．若该玩具进价为30元/件．
（1）售价为多少元时，每天的利润为864元？
（2）售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润为多少元？
25．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a为常数）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）该函数图象必过两个定点，它们的坐标分别为 、 ；
（3）当0＜x＜4时，y＜4，直接写出a的取值范围．
26．（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D在AB上，AC＝AD，连接CD并延长交⊙O于点E，点F在AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）连接BE，求证BE＝DE；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若AC＝8，BC＝6，则DE的长为 ．
27．（9分）【经验积累】
如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
（1）求证AD2＝DF•DE．
（2）（Ⅰ）求证△CDF∽△EDC；
（Ⅱ）若，则的值为 ．
【方法迁移】
（3）如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 ．
2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
1．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝3
C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
【解答】解：x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：C．
2．（2分）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵圆被等分成4份，其中白色区域占3份，
∴指针落在白色区域的概率为．
故选：D．
3．（2分）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【解答】解：数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，x前4个数据也是相差2，
若x＝9或x＝﹣1时，两组数据方差相等，
数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，
则x的值不可能是10．
故选：A．
4．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若，∠C＝45°，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠C＝45°，
∴∠D＝45°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠D＝45°，
∵AB＝2，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝2，
∴⊙O的半径AO＝＝．
故选：C．
5．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上．若DE∥BC，DF∥AC，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴，＝，＝＝，＝，
故A，B，C错误，D正确，
故选：D．
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①2a+b＝0；
②a+b+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；
④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
【解答】解：由图象得：a＞0，与x轴相交于点（﹣1，0）和（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，即﹣＝1，
∴b+2a＝0，
故①是正确的；
由图象得：当x＝1，y＜0，即a+b+c＜0，
故②是错误的；
∵a＞0，
∴y＝a在x轴的上方，∴y＝ax2+bx+c的图象与y＝a有两个交点，
故③是正确的；
根据平移得：y＝ax2+bx+c的图象向左平移1个单位得y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的图象，
∴y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的图象与x轴的交点为（﹣2，0）（2，0），
∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
故④是正确的；
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）若＝，则＝ ﹣ ．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝3k（k≠0），
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
8．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象的顶点坐标是 （﹣1，2） ．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
9．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝ 2﹣2 ．
【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
10．（2分）设x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1＝x2，则m的值为 4 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1＝x2，
∴x1＝x2＝2，
∴m＝2×2＝4．
故答案为：4．
11．（2分）一个扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为 π ．
【解答】解：根据弧长的公式l＝，
得到：l＝＝π，
故答案为：π．
12．（2分）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积的比为1：4．若AB＝2，则DE的长为 4 ．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即＝，
∵AB＝2，
∴DE＝4．
故答案为：4．
13．（2分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E．若AB＝2，CD＝3，AD＝4，则AE的长为 ．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∵AB＝2，CD＝3，AD＝4，
∴＝＝，
∴AE＝AD＝AD＝×4＝，
故答案为：．
14．（2分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是 ﹣3＜y＜1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣3中a＝1＞0，
∴有最小值﹣3，
当x＝3时y有最大值＝（3﹣1）2﹣3＝1，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围﹣3≤y＜1，
故答案为：﹣3≤y＜1．
15．（2分）如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB，BC于点E，F．若∠B＝50°，的度数为56°，则∠D＝ 102 °．
【解答】解：如图，连接AF，
∵的度数为56°，
∴∠FAE＝×56°＝28°，
∴∠AFC＝∠FAE+∠B＝28°+50°＝78°，
∵四边形AFCD为圆内接四边形，
∴∠D+∠AFC＝180°，
∴∠D＝180°﹣78°＝102°，
故答案为：102．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AB，交∠ACB的平分线于点D，AB与CD相交于点E．若BE＝3，BD＝6，则AC的长为 4 ．
【解答】解：作EF⊥CB于点F，DH⊥CB交CB的延长线于点H，则∠H＝∠BFE＝∠CFE＝90°，
∵BD⊥AB，BE＝3，BD＝6，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDH＝∠EBF＝90°﹣∠DBH，
∴△BDH∽△EBF，
∴＝＝＝＝2，
∴BH＝2EF，DH＝2BF，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠FEC＝∠HDC＝∠FCE＝45°，
∴CF＝EF，CH＝DH＝2BF，
∴BH＝2CF，
∴CF+BF+2CF＝2BF，
∴BF＝3CF＝3EF，
∴BE＝＝＝EF＝3，
∴CF＝EF＝3，BF＝3EF＝3×3＝9，
∴BC＝BF+CF＝9+3＝12，
∵∠ACB＝∠EFB＝90°，∠ABC＝∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴＝＝＝，
∴AC＝EF＝×3＝4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）x﹣2﹣x（x﹣2）＝0．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝3，x2＝1；
（2）x﹣2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（1﹣x）＝0，
x﹣2＝0或1﹣x＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
18．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下：
甲：5，6，7，6，6；
乙：3，6，6，7，8；
（1）根据所给数据填写下表：
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
【解答】解：（1）甲射靶的成绩为：5，6，6，6，7，
乙射靶的成绩为：3，6，6，7，8，
∴甲的中位数为：6，
乙的平均数为：＝6，众数为：6，
故答案为：6，6，6；
（2）S甲2＝×[（6﹣5）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2]＝0.4，
S乙2＝×[（3﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝2.8，
因为S甲2＜S乙2，
所以乙的成绩波动大．
19．（8分）某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，每位同学可以随机选择其中一个课程参加学习．
（1）甲同学选择插花课程的概率是 ；
（2）求甲、乙两名同学选择同一个课程的概率．
【解答】解：（1）∵某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，
∴甲同学选择插花课程的概率是，
故答案为：；
（2）把插花、烹饪、种植3个劳动课程分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择同一个课程的结果有3种，
∴甲、乙两名同学选择同一个课程的概率为＝．
20．（7分）如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F．
（1）求证△DEC∽△EFB；
（2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∴∠DCE＝∠EBF，
∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，
∴∠DEC＝∠EFB＝90°，
∴△DEC∽△EFB．
（2）解：∵BC＝6，CE＝2，
∴AB＝CD＝BC＝6，BE＝BC+CE＝6+2＝8，
∵△DEC∽△EFB，
∴＝，
∴BF＝＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣＝，
∴AF的长是．
21．（7分）已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数图象沿直线x＝﹣1翻折，所得图象的函数表达式为 y＝x2+6x+9 ．
【解答】解：（1）由表格得：抛物线的顶点为（1，0），
设函数关系式为y＝a（x﹣1）2，
则1＝a（0﹣1）2，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+1；
（2）由（1）得抛物线的顶点为（1，0），
点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴该函数图象沿直线x＝﹣1翻折，所得图象的函数表达式为y＝（x+3）2＝x2+6x+9．
故答案为：y＝x2+6x+9．
22．（8分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC，
∵由C是的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB；
（2）解：由（1）知，OC垂直平分AB，
∵AB＝8，，
∴AD＝AB＝4，
∴CD＝＝＝2，
设⊙O的半径为r，
则OD＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOD中，
AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
23．（8分）如图，AD，BC相交于点E，AB∥CD∥EF，B，F，D在一条直线上．AB＝10，CD＝15．
（1）求的值；
（2）求EF的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴＝＝＝，
又∵AB∥EF，
∴＝＝；
（2）∵CD∥EF，
∴＝，
又∵CD＝15，＝，
∴EF＝CD•＝15×＝6．
24．（8分）某游乐城销售一种玩具，当售价为50元/件时，每天可以销售40件．现游乐城对该玩具开展酬谢促销活动，通过市场调研发现，该玩具单价每降1元，销量增加4件．若该玩具进价为30元/件．
（1）售价为多少元时，每天的利润为864元？
（2）售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设售价为x元时，每天的利润为864元，
由题意得：（x﹣30）[4+4×（50﹣x）]＝864，
解得：x1＝46，x2＝44，
答：售价为46或44元时，每天的利润为864元，
（2）设售价为x元时，每天的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣30）[4+4×（50﹣x）]，
＝﹣4x2+280x﹣6000，
当x＝﹣＝35时，w有最大值，最大值为900元，
答：售价为35元时，每天的利润最大，最大利润为900元．
25．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a为常数）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）该函数图象必过两个定点，它们的坐标分别为 （0，0） 、 （4，0） ；
（3）当0＜x＜4时，y＜4，直接写出a的取值范围．
【解答】（1）证明：由题知，
（﹣4a）2﹣4a×0＝16a2，
因为a≠0，
所以16a2＞0，
故该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：因为y＝ax2﹣4ax＝（x2﹣4x）a，
又因为函数图象必过两个定点，
即与a的取值无关，
所以x2﹣4x＝0，
解得x＝0或4，
所以定点的坐标为（0，0）和（4，0）．
故答案为：（0，0），（4，0）．
（3）解：因为抛物线过定点（0，0）和（4，0），
若a＞0，0＜x＜4时，
此时抛物线都在x轴下方，满足y＜4．
若a＜0，0＜x＜4时，
当x＝2时的函数值小于4，
即4a﹣8a＜4，
解得a＞﹣1，
所以﹣1＜a＜0．
综上所述，﹣1＜a＜0或a＞0．
26．（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D在AB上，AC＝AD，连接CD并延长交⊙O于点E，点F在AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）连接BE，求证BE＝DE；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若AC＝8，BC＝6，则DE的长为 ．
【解答】（1）证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵，
∴∠ACD＝∠EBD，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE；
（2）证明：如图1，
连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠DBE＝∠OEB，
∵∠DBE＝∠ACD＝∠ADC，
∴∠OEB＝∠ADC，
∴∠EOB＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AFE，
∴∠OEB+∠AFE＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（3）解：如图2，
作CG⊥AB于G，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝2，
∵sinA＝，csA＝，
∴，，
∴CG＝，AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝AC﹣AG＝8﹣，
∴CD＝＝，
∵∠ACD＝∠ADC＝∠EDB＝∠EBD，
∴△EDB∽△ADC，
∴，
∴，
∴DE＝，
故答案为：．
27．（9分）【经验积累】
如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
（1）求证AD2＝DF•DE．
（2）（Ⅰ）求证△CDF∽△EDC；
（Ⅱ）若，则的值为 ．
【方法迁移】
（3）如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝∠AED，
∵∠ADF＝∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴AD2＝DF•DE．
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
由（1）知，
∴，
∵∠CDF＝∠EDC，
∴△CDF∽△EDC，
②∵，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（3）过点P作PM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OB，如图：
∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，
∴∠POC＝∠CON＝30°，OC＝4，OP＝2，
∴CN＝2，PM＝3，OM＝，ON＝2，MN＝，
∴PQ≤3，CQ≤2，
当PQ最小时，即Q在M处，
∴CM＝，
当CQ最小时，即点Q在点N处，
∴PN＝2，
∴≤≤，
∴，
∴，即，
∴的最大值为：，
故答案为：．
平均数
中位数
众数
甲
6

6
乙

6

x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
…
平均数
中位数
众数
甲
6
6
6
乙
6
6
6
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
…