2020-2021学年天津市东丽区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2020-2021学年天津市东丽区九年级上学期数学期中试卷及答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 已知2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A. ﹣4B. ﹣2C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先把x＝2代入方程x2﹣c＝0可求出c＝4，然后利用直接开平方法解方程得到该方程另一个根．
【详解】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4，
方程为x2﹣4＝0，
所以x2＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2，
即该方程的另一个根是﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采取直接开平方的方法解一元二次方程．
3. 已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （﹣6，﹣5）B. （6，5）C. （6，﹣5）D. （5，﹣6）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】解：∵点P的坐标是（﹣6，5），
∴P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5），
故选：C．
【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特点是解题的关键．
4. 抛物线：①y＝2x2，②y＝2（x﹣1）2﹣3，③y＝（x+1）2，④y＝﹣3x2﹣1，其中形状相同的是（ ）
A. ①②B. ②③④C. ②④D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，根据二次函数中的二次项系数相同，则形状相同，从而可以解答本题．
【详解】解：∵①y＝2x2的二次项系数是2，
②y＝2（x+1）2﹣3的二次项系数是2，
③y＝（x+1）2的二次项系数是，
④y＝﹣3x2﹣1的二次项系数是﹣3，
∴①②的形状相同，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5. 方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 4、5、81B. 4、﹣5、81C. 4、﹣5、﹣81D. ﹣4、﹣5、﹣81
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程整理为一般形式，找出所求即可．
【详解】解：方程4x2＝5x+81，
整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，
则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
6. 将二次函数y＝x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A. y＝（x﹣2）2﹣3B. y＝（x﹣4）2+1C. y＝（x﹣2）2+1D. y＝（x+2）2﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
【详解】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法进行化为顶点式是解题的关键．
7. 方程x2﹣4x＝5的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：方程化为x2﹣4x﹣5＝0，
∵△＝（4）2﹣4×1×（﹣5）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8. 抛物线y＝﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ）
A. y＝﹣2 （x+1）2+3B. y＝﹣2 （x+1）2﹣3
C y＝﹣2 （x﹣1）2﹣3D. y＝﹣2 （x﹣1）2+3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
9. 若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y2＜y1＜y3D. y3＜y1＜y2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣2，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解：∵二次函数y＝（x+2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
且x＞-2时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
10. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A. x（x+1）＝90B. x（x+1）＝90
C. x（x﹣1）＝90D. x（x﹣1）＝90
【答案】D
【解析】
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．
11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是：_____．
【答案】x1＝﹣2，x2＝3
【解析】
【分析】
利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
【详解】（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
14. 已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于_____．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
则a+b的值为：﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
15. 抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是_____．
【答案】（﹣1，3）
【解析】
【分析】
根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k），可得答案．
【详解】y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．熟记抛物线解析式的顶点式：y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标为（h，k）是解答此题的关键．
16. 已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为出x1和x2，则x1+x2+x1x2＝_____．
【答案】﹣
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣，
所以x1+x2+x1x2＝﹣2﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．
17. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A顺时针旋转后与△ACP1重合，如果AP＝5，那么线段PP1的长等于_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AP＝AP1＝5，∠BAC＝∠PAP1＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转后与重合，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
18. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；
乙：对称轴是直线x＝4；
丙：与y轴的交点到原点的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．
【答案】y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
【解析】
【分析】
根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，0），
∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3．
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2，
把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2，解得a＝，此时抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2；
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣4）2，解得a＝﹣，此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2；
综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
故答案为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【答案】（Ⅰ）x1＝﹣4，x2＝3；（Ⅱ）x1＝1，x2＝
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用因式分解法解方程；
（Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20. 如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将△ABC向下平移4个单位，得到△A' B' C'，再把A'B'C绕点C'顺时针旋转90°， 得到△A"B"C′，请你画出△A' B'C'和△A"B"C′ (不要求写面法)
．
【答案】答案见详解
【解析】
【分析】
根据平移的性质画出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′，顺次连接起来，即可得到△A′B′C′，然后根据旋转的性质和网格特点画出点A′、B′、C′绕点C'顺时针旋转90°后的对应点A″、B″、C′，顺次连接起来，即可得到△A′′B′′C′．
【详解】如图所示：△A′B′C′和△A′′B′′C′即为所求．
【点睛】本题主要考查图形平移和旋转，掌握图形的平移和旋转的画法，是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程kx2+6x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
【答案】（Ⅰ）k＞﹣9且k≠0；（Ⅱ），，
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可．
【详解】解：（Ⅰ）根据题意得，k≠0，且△＞0，即，
解得k＞﹣9，
∴实数k的取值范围为k＞﹣9且k≠0；
（Ⅱ）由（1）知，实数k的取值范围为k＞﹣9且k≠0，故取，
所以该方程为，解得，．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式和解一元二次方程的方法．
22. 已知二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6).
（1）求二次函数的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）（2）对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－2）.
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法，将已知的两个点坐标代入函数即可得解；
（2）将（1）所得函数解析式化为顶点式解析式，然后写出对称轴与顶点坐标即可.
【详解】（1）∵二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6)，
得：，
解得：.
∴二次函数的解析式为：．
（2）原函数可化为：y=2(x﹣1)2﹣2，
则对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）.
23. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
【答案】（1）20%；（2）4147．2元．
【解析】
试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．
（2）5月份盈利=4月份盈利×增长率．
试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
2400（1+x）2=3456，
解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）．
（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：
3456×（1+20%）=4147．2（元）．
答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．
（2）5月份盈利为4147．2元．
考点：一元二次方程的应用．
24. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【答案】（1）A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）本次购买至少准备240元，最多准备290元
【解析】
【分析】
（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解．
【详解】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵-1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键.
25. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（，4）或（，4）或（1，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.二次函数图象上点的坐标特征．